2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分满分15分把答案填在题中横线上dx(1)xln?x(2)已知函数y=y(x)由方程e+6xy+x2-1=0确定,则y"(0)=(3)）微分方程+y"2=0满足初始条件=1,=的特解是(4)已知实二次型f(x,x2,x3)=a(x+x+x)+4xx2+4x,x+4x2x,经正交变换x=Py可化成标准型f=6y,则a=(5)设随机变量X服从正态分布N(u,α)α>0),且二次方程y+4y+X=0无实根的概1率为一则u：2二、选择题（本题共5小题，每小题3分满分15分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)考虑二元函数f(x,Jy)的下面4条性质①f(x,y)在点(xo,y）处连续；②f(x,y)在点(xo,yo）处的两个偏导数连续③f(x,y)在点(xo,y)处可微；f(x,y)在点(xoy）处的两个偏导数存在，若用“P=Q”表示可由性质P推出性质Q，则有(A)②=?=0(B) ③=②=0(C)?=④=0(D) @=0=@(2)设u, 0(n=1,2,3,L),且lim兰=1,则级数之(-1-1)+1(1unn=lu.(A）发散(B）绝对收敛(C）条件收敛(D）收敛性根据所给条件不能判定数学(一)试题第1页(共13页)
数学(一)试题 第1页(共 13 页) 2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) + e x x dx 2 ln = . (2)已知函数 y y x = ( ) 由方程 6 1 0 2 e + xy + x − = y 确定,则 y (0) = . (3)微分方程 0 2 yy + y = 满足初始条件 0 0 1 1, ' 2 x x y y = = = = 的特解是 . (4) 已知实二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = a(x1 + x + x ) + 4x x + 4x x + 4x x 经正 交 变 换 x Py = 可化成标准型 2 6 1 f = y ,则 a = . (5)设随机变量 X 服从正态分布 2 N( , )( 0) ,且二次方程 4 0 2 y + y + X = 无实根的概 率为 1 2 ,则 ＝ . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质: ① f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处连续; ② f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的两个偏导数连续; ③ f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微; ④ f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的两个偏导数存在． 若用“ P Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ,则有 (A) ② ③ ①. (B) ③ ② ①. (C) ③ ④ ①. (D) ③ ① ④. (2)设 0( 1,2,3, ) n u n = L ,且 lim 1 n n n → u = ,则级数 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) n n n n u u + = + − + (A) 发散. (B) 绝对收敛. (C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定
(3)设函数y=f(x)在(0,+oo)内有界且可导,则(A)当 limf(x)=0时,必有limf'(x)=0(B）当limf(x)存在时,必有limf(x)=0(C）当limf(x)=0时,必有limf(x)=0(D)当 lim f(x)存在时,必有lim f(x)=0(4)设有三张不同平面的方程a,x+ai2y+as==b,i=1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为区2(A)(B)(C)(D)(5)设X，和X，是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f(x）和f,（x），分布函数分别为F(x)和E(x),则(A）f(x)+f,(x)必为某一随机变量的概率密度(B）f(x)f,(x)必为某一随机变量的概率密度(C）F(x)+F(x)必为某一随机变量的分布函数(D）F(x)F(x)必为某一随机变量的分布函数三、（本题满分6分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(O)±0,f(O)±0，若af(h)+bf(2h)-f(O)在h一→0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值数学(一)试题第2页(共13页)
数学(一)试题 第2页(共 13 页) (3)设函数 y f x = ( ) 在 (0, ) + 内有界且可导,则 (A) 当 lim ( ) = 0 →+ f x x 时,必有 lim ( ) = 0 →+ f x x . (B) 当 lim f (x) x →+ 存在时,必有 lim ( ) = 0 →+ f x x . (C) 当 0 lim ( ) 0 x f x → + = 时,必有 0 lim ( ) 0 x f x → + = . (D) 当 0 lim ( ) x f x → + 存在时,必有 0 lim ( ) 0 x f x → + = . (4)设有三张不同平面的方程 i i i i 1 2 3 a x a y a z b + + = , i = 1,2,3 ,它们所组成的线性方程组的系 数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为 1 f x( ) 和 2 f x( ), 分布函数分别为 1 F x( ) 和 2 F x( ),则 (A) 1 f x( ) ＋ 2 f x( ) 必为某一随机变量的概率密度. (B) 1 f x( ) 2 f x( ) 必为某一随机变量的概率密度. (C) 1 F x( ) ＋ 2 F x( ) 必为某一随机变量的分布函数. (D) 1 F x( ) 2 F x( ) 必为某一随机变量的分布函数. 三、(本题满分 6 分) 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域 内 具有一阶连续导数 , 且 f f (0) 0, (0) 0 , 若 af h bf h f ( ) (2 ) (0) + − 在 h →0 时是比 h 高阶的无穷小,试确定 a,b 的值
四、（本题满分7分）rctane-dt在点(O,O)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限已知两曲线y=f(x）与y=2lim nf(=)n五、（本题满分7分）计算二重积分 JJemx(x,)dxdy,其中 D=(x,)[0≤x≤1,0≤≤1)D六（本题满分8分）设函数f(x)在(-o0,+oo)内具有一阶连续导数,L是上半平面（y>0)内的有向分段光滑曲线其起点为（a,b）终点为（c,d）记[1+y ()]d+ ()-1]dy,V（1）证明曲线积分I与路径L无关(2)当ab=cd时,求I的值七、（本题满分7分)6393r3n2+L(1)验证函数(x)=1++L（-80<x<+0）满足微分方程3!6!9!(3n)!y"+y'+y=e';(2)利用(1)的结果求幂级数之瑞的和函数= (3n)!八（本题满分7分）设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D=((x,y)|x2-xy≤75),小山的高度函数为h(xJ)=75-x2-+xyV(1)设M(xo，yo）为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？数学(一)试题第3页(共13页)
数学(一)试题 第3页(共 13 页) 四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 y = f (x) 与 − = x t y e dt arctan 0 2 在点 (0,0) 处的切线相同,写出此切线方程,并求极限 ) 2 lim ( n nf n→ . 五、(本题满分 7 分) 计算二重积分 e dxdy D x y max{ , } 2 2 ,其中 D = {( x, y) | 0 x 1,0 y 1} . 六、(本题满分 8 分) 设函数 f (x) 在 ( , ) − + 内具有一阶连续导数, L 是上半平面( y ＞0)内的有向分段光滑曲线, 其起点为( a,b ),终点为( c, d ).记 2 2 2 1 [1 ( )] [ ( ) 1] , L x I y f xy dx y f xy dy y y = + + − (1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关; (2)当 ab = cd 时,求 I 的值. 七、(本题满分 7 分) (1) 验证函数 3 3 3 3 6 9 ( ) 1 ( ) 3! 6! 9! (3 )! n x x y x x n = + + + + + + − + L L 满 足 微 分 方 程 x y + y + y = e ; (2)利用(1)的结果求幂级数 3 0 (3 )! n n x n = 的和函数. 八、(本题满分 7 分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面,其底部所占的区域为 2 D x y x ={( , ) | 2 + − y xy 75},小山的高度函数为 h(x, y) = − x − y + xy 2 2 75 . (1)设 ( , ) 0 0 M x y 为区域 D 上一点,问 h(x, y) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?
若记此方向导数的最大值为g(xo,y。）,试写出g(xo,yo）的表达式(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点也就是说,要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出使(1)中g(x,J)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置九、（本题满分6分）已知四阶方阵A=(αα2α,α)α,α2α,α均为4维列向量,其中α2αα线性无关，α,=2αz-α,如果β=α+αz+α+α4,求线性方程组Ax=β的通解十、（本题满分8分）设A,B为同阶方阵(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立(3）当A.B均为实对称矩阵时，证明（1)的逆命题成立十一、（本题满分7分）设维随机变量X的概率密度为(1000x0≤X≤元,-COS0f(x)=2其他。0,对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于的次数,求Y2的数学期望3十二、(本题满分7分)设总体X的概率分布为X20130202P20(1-0)1-20-I其中0-）是未知参数利用总体X的如下样本值2数学(一)试题第4页(共13页)
数学(一)试题 第4页(共 13 页) 若记此方向导数的最大值为 ( , ) 0 0 g x y ,试写出 ( , ) 0 0 g x y 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点. 也就是说,要在 D 的边界线 2 2 x y xy + − = 75 上找出使(1)中 g(x, y) 达到最大值的点.试确定攀登 起点的位置. 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵 ( , , , ) A = 1 2 3 4 , 1 2 3 4 , , , 均为 4 维列向量,其中 2 3 4 , , 线性无关, 1 = 2 2 −3 ,如果 =1 + 2 +3 + 4 ,求线性方程组 Ax = 的通解. 十、(本题满分 8 分) 设 A B, 为同阶方阵, (1)若 A B, 相似,证明 A B, 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 A B, 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 X 的概率密度为 1 cos , 0 , ( ) 2 2 0, x x f x = 其他. 对 X 独立地重复观察４次,用 Y 表示观察值大于 3 的次数,求 2 Y 的数学期望. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 2 (1− ) 2 1−2 其中 1 (0 ) 2 是未知参数,利用总体 X 的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3求的矩估计值和最大似然估计值2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题+dInx原式==1（1）【分析】In2xInx（2）【分析】方程两边对x两次求导得①e"y'+6xy+6y+2x=0e'y"+e'y?+6xy"+12y'+2=0.②以x=0代入原方程得y=0，以x=y=0代入①得y=0,，再以x=y=y=0代入②得y"(0) = -2（3）【分析】这是二阶的可降阶微分方程dy"dp=pdp令"=P(y)(以为自变量),则y"=dxdxdydpypdp+P2=0即y+P=0（或P=0,但其不满足初始条件代入方程得dydydP =0,分离变量得PyIn|PI+In以=C,即P=(P=0对应C,=0);积分得11由x=0时y=1P=y=5，得C=于是P2数学(一)试题第5页(共13页)
数学(一)试题 第5页(共 13 页) 3,1,3,0,3,1,2,3, 求 的矩估计值和最大似然估计值. 2002 年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 原式 2 ln 1 1. ln ln e e d x x x + + = = − = (2)【分析】 方程两边对 x 两次求导得 ' 6 ' 6 2 0, y e y xy y x + + + = ① 2 '' ' 6 '' 12 ' 2 0. y y e y e y xy y + + + + = ② 以 x = 0 代入原方程得 y = 0 , 以 x y = = 0 代入 ①得 y ' 0, = , 再以 x y y = = =' 0 代 入 ② 得 y ''(0) 2. = − (3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程. 令 y P y ' ( ) = (以 y 为自变量),则 ' '' . dy dP dP y P dx dx dy = = = 代入方程得 2 0 dP yP P dy + = ,即 0 dP y P dy + = (或 P = 0 ,但其不满足初始条件 0 1 ' 2 x y = = ). 分离变量得 0, dP dy P y + = 积分得 ln ln ', P y C + = 即 C1 P y = ( P = 0 对应 1 C = 0 ); 由 x = 0 时 1 1, ' , 2 y P y = = = 得 1 1 . 2 C = 于是
y'= P=二,2ydy= dx,积分得 y2 =x+C,21又由=0=1得C,=1,所求特解为y=/x+1(4）【分析】因为二次型xAx经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值所以6.0.0是A的特征值又因a,=^,故a+a+a=6+0+0,=a=2(5）【分析】设事件A表示“二次方程v?+4v+X=0无实根”则A=(16-4X1P(A)=P(X>4)=4].依题意，有24-μP(X>4)=1-P)X≤4)=1-Φ(而a1 4-μ4-μ4-μL=0.=μ=41-Φ(即226oa二、选择题（1）【分析】这是讨论函数f(x,y)的连续性，可偏导性，可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道，f(x,y)的两个偏导数连续是可微的充分条件，若f(x,y)可微则必连续，故选（A).111un由lim=1>0=n充分大时即N,n>时0月lim=0,不妨认为(2）【分析】1unn-++ann1的单调性.Vn,u,>O,因而所考虑级数是交错级数，但不能保证un按定义考察部分和k+1 1)=之(-1)+1 11)4+-1)kS=+>>u,Uk+luUk+1k=lk=lk=l数学(一)试题第6页(共13页)
数学(一)试题 第6页(共 13 页) 1 ' ,2 , 2 y P ydy dx y = = = 积分得 2 2 y x C = + . 又由 0 1 x y = = 得 2 C =1, 所求特解为 y x = +1. (4)【分析】 因为二次型 T x Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值,所以 6,0,0 是 A 的特征值. 又因 ii i a = ,故 a a a a + + = + + = 6 0 0, 2. (5)【分析】 设事件 A 表示“二次方程 4 0 2 y + y + X = 无实根”,则 A X X = − = {16 4 0} { 4}. 依题意,有 1 ( ) { 4} . 2 P A P X = = 而 4 P X P X { 4} 1 { 4} 1 ( ), − = − = − 即 4 1 4 1 4 1 ( ) , ( ) , 0. 4. 2 2 − − − − = = = = 二、选择题 (1)【分析】 这是讨论函数 f x y ( , ) 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关 系.我们知道, f x y ( , ) 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若 f x y ( , ) 可微则必连续,故选(A). (2)【分析】 由 1 lim 1 0 1 n n u n n →+ = 充分大时即 N n N , 时 1 0 n u ,且 1 lim 0, n n →+ u = 不妨认为 , 0, n n u 因而所考虑级数是交错级数,但不能保证 1 n u 的单调性. 按定义考察部分和 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) n n n k k k n k k k k k k k S u u u u + + + = = = + + = − + = − + −
(-1)+11+00)uku,uUn+1u1=l=二原级数收敛11n+1nn1.注意Un+1再考察取绝对值后的级数2.-unn+1U+1Un+1un=lnS发散二)发散.因此选(C).>=nunUn+1n=l(3）【分析】证明(B)对：反证法.假设limf(x)=α±0,则由拉格朗日中值定理f(2x)-f(x)= f'()x →00(x →+00)(当x→+00时,→+o0,因为x<≤<2x);但这与f(2x)-f(x)≤f(2x)+f(x)≤2M矛盾(f(x)≤M)（4）【分析】因为r(A）=r(A)=2<3,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选（B），(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是r(A)=r(A)=3(C)中三个平面没有公共交点，即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行，故r(A)=2和r(A)=3,且A中任两个平行向量都线性无关类似地,(D)中有两个平面平行,故r(A)=2,r(A)=3,且A中有两个平行向量共线(5）【分析】首先可以否定选项（A)与（C),因[Lfi(x)+ fi(x)]dx= [ f(x)dx+ [ f:(x)dx =2 + 1,F(+o0)+ F(+o0) =1+1=2 ±1.数学(一)试题第7页(共13页)
数学(一)试题 第7页(共 13 页) 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( ), n n k n l k l k l n n u u u u u + + = = + − − = − + − = + → → + 原级数收敛. 再考察取绝对值后的级数 1 1 1 1 ( ) n n n u u = + + .注意 1 1 1 1 1 2, 1 1 n n n n u u n n n u u n n + + + + = + → + 1 1 n n = 发散 1 1 1 1 ( ) n n n u u = + + 发散.因此选(C). (3)【分析】 证明(B)对:反证法.假设 lim ( ) 0 x f x a →+ = ,则由拉格朗日中值定理, f x f x f x x (2 ) ( ) '( ) ( ) − = → → + (当 x → + 时, → + ,因为 x x 2 );但这与 f x f x f x f x M (2 ) ( ) (2 ) ( ) 2 − + 矛盾 ( ( ) ). f x M (4)【分析】 因为 r A r A ( ) ( ) 2 3 = = ,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯 一,因此应选(B). (A)表示方程组有唯一解,其充要条件是 r A r A ( ) ( ) 3. = = (C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故 r A( ) 2 = 和 r A( ) 3 = ,且 A 中任两个平行向量都线性无关. 类似地,(D)中有两个平面平行,故 r A( ) 2 = ,r A( ) 3 = ,且 A 中有两个平行向量共线. (5)【分析】 首先可以否定选项(A)与(C),因 1 2 1 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 1, ( ) ( ) 1 1 2 1. f x f x dx f x dx f x dx F F + + + − − − + = + = + + + = + =
1-20gf(h)+br(2h)-f(0)= lim gf (h)+2bf (2h)lim又由洛必达法则h1=(a+2b)f(0)=0,及f(0)±0,则有a+2b=0综上,得a=2,b=-1.四、【解】由已知条件得tanf(0)=0, (0)=(故所求切线方程为V=X.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得(2)- f(0)f(x)- f(0) = 2 f (0) = 2.22limlimnf(0=2Jim210n-ox2MD是正方形区域如图.因在D上被积函数分块表示五、【分析与求解】x,xzy,max,x(x,y)eDy,xsy,数学(一)试题第8页(共13页)
数学(一)试题 第8页(共 13 页) 对于选项(B),若 1 2 1, 2 1, 1,0 1, ( ) ( ) 0, 0, x x f x f x − − = = 其他， 其他， 则对任何 x − + ( , ), 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 , 1 2 f x f x dx ( ) ( ) 0 1, + − = 因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D). 进一步分析可知,若令 X X X = max( , ) 1 2 ,而 ~ ( ), 1,2, X f x i i i = 则 X 的分布函数 F x( ) 恰是 1 2 F x F x ( ) ( ). 1 2 1 2 F x P X X x P X x X x ( ) {max( , ) } { , } = = 1 2 1 2 = = P X x P X x F x F x { } { } ( ) ( ). 三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知 0 lim[ ( ) (2 ) (0)] ( 1) (0). h af h bf h f a b f → + − = + − 由于 f (0) 0 ,故必有 a b + − =1 0. 又由洛必达法则 0 0 ( ) (2 ) (0) '( ) 2 '(2 ) lim lim h h 1 af h bf h f af h bf h → → h + − + = = + = ( 2 ) '(0) 0, a b f 及 f (0) 0 ,则有 a b + = 2 0 . 综上,得 a b = = − 2, 1. 四、【解】 由已知条件得 f (0) 0, = 2 2 arctan arctan 0 0 2 0 '(0) ( )' 1, 1 x x t x x x e f e dt x − − = = = = = + 故所求切线方程为 y x = .由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得 0 2 ( ) (0) 2 ( ) (0) lim ( ) 2lim 2lim 2 '(0) 2. n n x 2 f f n f x f nf f n x n → → → − − = = = = 五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在 D 上被积函数分块表示 2 2 2 2 , , max{ , } ( , ) , , , x x y x y x y D y x y =
于是要用分块积分法用V=x将D分成两块8D=D, UD,,D, =DI (y≤x),D, =DI (y≥x)D,I = [[emaxx,y)dxdy+ [[emaxx,y)dxdyU01xDL[Jer dxdy+ [Jer dxdy =2][ er dxdy (D 关于 y = x 对称)2f'dx['erdy (选择积分顺序)=2["xen dx=er |=e-1六，【分析与求解】（1）易知Pdx+Qdy日原函数，Pdx+Qdy==dx+y(xy)dx+ xf()dy-号dy=(ydx-xdy)+f(y)(ydx+xdy)N11= d(一)+ f(xy)d(xy)= d[=+ [ f()di)=→在y>0上Pdx+Qdy3原函数,即u(x,)=×+[f(t)dt1→积分在y>0与路径无关ca(2)因找到了原函数,立即可得|=u(x,J)[(g)ahdb七【证明】与书上解答略有不同参见数三2002第七题（1)因为幂级数3xtnxto+L+Ly(x)=1+3!6!9!(3n)!的收敛域是（-00<x+0),因而可在（-00<x+80）上逐项求导数，得xs+3n-1x5x2y(x)+L+1812!5!(3n-1)!数学(一)试题第9页(共13页)
数学(一)试题 第9页(共 13 页) 于是要用分块积分法,用 y x = 将 D 分成两块: 1 2 1 2 D D D D D y x D D y x = = = U I I , { }, { }. I 2 2 2 2 1 2 max{ , } max{ , } x y x y D D = + e dxdy e dxdy 2 2 2 1 2 1 2 x y x D D D = + = e dxdy e dxdy e dxdy ( D 关于 y x = 对称) 1 2 0 0 2 x x = dx e dy (选择积分顺序) 1 2 2 1 0 0 2 1. x x = = = − xe dx e e 六、【分析与求解】 (1)易知 Pdx Qdy + 原函数, 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y + = + + − = − + + 0 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]. x x xy d f xy d xy d f t dt y y = + = + 在 y 0 上 Pdx Qdy + 原函数,即 0 ( , ) ( ) x xy u x y f t dt y = + . 积分 I 在 y 0 与路径无关. (2)因找到了原函数,立即可得 ( , ) ( , ) ( , ) . c d a b c a I u x y d b = = − 七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三 2002 第七题(1)因为幂级数 3 6 9 3 ( ) 1 3! 6! 9! (3 )! n x x x x y x n = + + + + + + L L 的收敛域是 ( ) − + x ,因而可在 ( ) − + x 上逐项求导数,得 2 5 8 3 1 '( ) 2! 5! 8! (3 1)! n x x x x y x n − = + + + + + − L L
+-3n-2x14+Ly"(x)=LL4!7!(3n-2)!xx"所以+I+Iy"+y'+y=l+04(-00< x+00)2!n!(2)与y"+y'+y=e相应的齐次微分方程为y"+y+y=01+ V3其特征方程为++1=0,特征根为，22V3V3因此齐次微分方程的通解为Y=e2(C,cosx+C,sinx)22设非齐次微分方程的特解为y=Aer将y代入方程v"+v'+y=e可得1A-即有33V3V3E于是，方程通解为y=Y+y=e2(C,cossinx)221y(0)=1:32-0当x=0时有-V321y(0)=0322于是幂级数2L的和函数为y(x)cOs2x-x+323= (3n)!八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质：函数h(x,y）)在点M处沿该点的梯度方向ah ah,gradh(x,y)( 60) (-2g + %, 2 % + x)(xo,yo)方向导数取最大值即gradh(x,)(0）的模,=g(xo,y)=/%-2x）+(x-2y)(2)按题意,即求g(x,J)求在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点数学(一)试题第10页(共13页)
数学(一)试题 第10页(共 13 页) 4 7 3 2 ''( ) 4! 7! (3 2)! n x x x y x x n − = + + + + + − L L , 所以 2 '' ' 1 2! ! n x x x y y y x e n + + = + + + + + = L L ( ) − + x . (2)与 '' ' x y y y e + + = 相应的齐次微分方程为 y y y '' ' 0 + + = , 其特征方程为 2 + + =1 0,特征根为 1,2 1 3 2 2 = − i . 因此齐次微分方程的通解为 2 1 2 3 3 ( cos sin ) 2 2 x Y e C x C x − = + . 设非齐次微分方程的特解为 x y Ae = ,将 y 代入方程 '' ' x y y y e + + = 可得 1 3 A = ,即有 1 3 x y e = . 于是,方程通解为 2 1 2 3 3 1 ( cos sin ) 2 2 3 x x y Y y e C x C x e − = + = + + . 当 x = 0 时,有 1 1 2 1 2 1 (0) 1 , 3 2 , 0. 1 3 1 3 '(0) 0 . 2 2 3 y C C C y C C = = + = = = = − + + 于是幂级数 3 0 (3 )! n n x n = 的和函数为 2 2 3 1 ( ) cos 3 2 3 x x y x e x e − = + ( ) − + x 八、【分析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数 h(x, y) 在点 M 处沿该点的梯度方向 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) { , } { 2 , 2 } x y x y h h h x y x y y x x y = = − + − + grad 方向导数取最大值即 0 0 ( , ) ( , ) x y gradh x y 的模, 2 2 0 0 0 0 0 0 = − + − g x y y x x y ( , ) ( 2 ) ( 2 ) . (2)按题意,即求 g x y ( , ) 求在条件 2 2 x y xy + − − = 75 0 下的最大值点