1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）f(3 -h)- f(3) _(1)已知f(3)=2,则lim2h(2）设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2[" f(t)dt,则 f(x)=(3）设平面曲线L为下半圆周y=-1-x，则曲线积分（(x+y)ds=(4)向量场u(x,y,z)=xyi+yeij+xln(1+2)k在点P(1,1,0)处的散度divu=(300)(100)4001(5）设矩阵A=1F=0，则逆矩阵（A-2E)-=(003)(001二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）1()(1）当x>0时，曲线y=xsin-X（A）有且仅有水平渐近线(B）有且仅有铅直渐近线(C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线(D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线(2）已知曲面z=4-x2y?上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0,则点P的坐标是()(A)(1,-1,2)(B)(-1,1, 2)(D) (-1,-1,2)(C)(1,1, 2)(3）设线性无关的函数y、、都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C、C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()(A) Cy+C+y3(B) Cy+C2-(C +C2)y(C) Cy+C,y2-(1-C, -C2)y3(D) Cy+C +(1-C,-C2)y3(4)设函数f(x)=x2,0≤x<1,而S(x)=b,sinn元x,-00<x<+00,其中b, =2[,f(x)sin nxdx, n=1,2,3, ., 则 S(-()）等于2
1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 已知 f (3) 2 = ,则 0 (3 ) (3) lim h 2 f h f → h − − = _. (2) 设 f x( ) 是连续函数,且 1 0 f x x f t dt ( ) 2 ( ) = + ,则 f x( ) = _. (3) 设平面曲线 L 为下半圆周 2 y x = − −1 , 则曲线积分 2 2 ( ) L x y ds + = _. (4) 向量场 2 2 ( , , ) ln(1 ) z u x y z xy i ye j x z k = + + + 在点 P(1,1,0) 处的散度 divu = _. (5) 设矩阵 3 0 0 1 4 0 0 0 3 A = , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E = ,则逆矩阵 1 ( 2 ) A E − − =_. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 当 x 0 时,曲线 1 y x sin x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 已知曲面 2 2 z x y = − − 4 上点 P 处的切平面平行于平面 2 2 1 0 x y z + + − = ,则点 P 的 坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2) (3) 设线性无关的函数 1 y 、 2 y 、 3 y 都是二阶非齐次线性方程 y p x y q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的 解 , C1 、 C2 是任意常数 , 则 该 非 齐 次 方 程 的 通 解 是 ( ) (A) C y C y y 1 1 2 2 3 + + (B) 1 1 2 2 1 2 3 C y C y C C y + − + ( ) (C) 1 1 2 2 1 2 3 C y C y C C y + − − − (1 ) (D) 1 1 2 2 1 2 3 C y C y C C y + + − − (1 ) (4) 设函数 2 f x x x ( ) ,0 1, = 而 1 ( ) sin , , n n S x b n x x = = − + 其中 1 0 2 ( )sin , 1,2,3, n b f x n xdx n = = .,则 1 ( ) 2 S − 等于 ( )
(A)_1(B) _!11(C)(D)2244((5）设A是n阶矩阵，且A的行列式|A=O，则A中（A）必有一列元素全为0(B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合(D）任一列向量是其余列向量的线性组合三、（本题满分15分，每小题5分.）(1）设z=f(2x-y)+g(x,ry),其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有连续的二阶偏导数，2求axoy(2）设曲线积分[xydx+yp(x)dy与路径无关，其中p(x)具有连续的导数,且p(0)=0,计算[)T) dx+ yo(n)dy的值(3）计算三重积分[[(x+z)dV,其中Q是由曲面z=x2+y与z=/1-x-所围Q成的区域.四、（本题满分6分.）1+x将函数f(x)=arctan展为x的幂级数1-x五、（本题满分7分.）设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数，求f(x)六、（本题满分7分.）X/1-cos2xdx在区间(0，+oo）内有且仅有两个不同实根，证明方程Inx=e七、（本题满分6分.）问入为何值时，线性方程组X=元x+4x+x+2x,=+26x+x+4x,=2a+3有解，并求出解的一般形式，八、（本题满分8分.）
(A) 1 2 − (B) 1 4 − (C) 1 4 (D) 1 2 (5) 设 A 是 n 阶矩阵,且 A 的行列式 | | 0 A = ,则 A 中 ( ) (A) 必有一列元素全为 0 (B) 必有两列元素对应成比例 (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.) (1) 设 z f x y g x xy = − + (2 ) ( , ) ,其中函数 f t() 二阶可导, g u v ( , ) 具有连续的二阶偏导数, 求 2 z x y . (2) 设曲线积分 2 ( ) C xy dx y x dy + 与路径无关,其中 ( ) x 具有连续的导数,且 (0) 0 = , 计算 (1,1) 2 (0,0) xy dx y x dy + ( ) 的值. (3) 计算三重积分 ( ) x z dV + ,其中 是由曲面 2 2 z x y = + 与 2 2 z x y = − − 1 所围 成的区域. 四、(本题满分 6 分.) 将函数 1 ( ) arctan 1 x f x x + = − 展为 x 的幂级数. 五、(本题满分 7 分.) 设 0 ( ) sin ( ) ( ) x f x x x t f t dt = − − ,其中 f 为连续函数,求 f x( ) . 六、(本题满分 7 分.) 证明方程 0 ln 1 cos 2 x x xdx e = − − 在区间(0,+ )内有且仅有两个不同实根. 七、(本题满分 6 分.) 问 为何值时,线性方程组 1 3 1 2 3 1 2 3 4 2 2 6 4 2 3 x x x x x x x x + = + + = + + + = + 有解,并求出解的一般形式. 八、(本题满分 8 分.)
假设入为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：1为A"的特征值；(1)元[4](2)为A的伴随矩阵A*的特征值元九、（本题满分9分.）设半径为R的球面Z的球心在定球面x?+y?+z?=α(a>0)上，问当R为何值时，球面Z在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题（本题满分6分，每小题2分.）(1）已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8,则和事件AUB的概率P(AUB)=(2）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为(3）若随机变量=在（1,6)上服从均匀分布，则方程x2+=x+1=0有实根的概率是十一、（本题满分6分.）设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布，而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数
假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值,证明： (1) 1 为 1 A − 的特征值； (2) A 为 A 的伴随矩阵 A 的特征值. 九、(本题满分 9 分.) 设半径为 R 的球面 的球心在定球面 2 2 2 2 x y z a a + + = ( 0) 上,问当 R 为何值时,球 面 在定球面内部的那部分的面积最大？ 十、填空题(本题满分 6 分,每小题 2 分.) (1) 已知随机事件 A 的概率 P A( ) =0.5,随机事件 B 的概率 P B( ) =0.6 及条件概率 P B A ( ) =0.8,则和事件 A B 的概率 P A B ( ) =_. (2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5.现已知目标被命中, 则它是甲射中的概率为_. (3) 若随机变量 在(1,6)上服从均匀分布,则方程 2 x x + + = 1 0 有实根的概率是_. 十一、(本题满分 6 分.) 设随机变量 X 与 Y 独立,且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 2 的正态分布,而 Y 服从标准正态分布.试求随机变量 Z X Y = − + 2 3 的概率密度函数
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分,满分15分.）(1)【答案】-1IIm (3-h)- ()--r(3)=-1.【解析】原式=-2 -h→0-h2(2）【答案】x-1【解析】由定积分的性质可知，"f(1)dt和变量没有关系，且f(x)是连续函数，故f(t)dt为一常数,为简化计算和防止混淆,令f"f(t)dt=a,则有恒等式f(x)=x+2a,两边0到1积分得J°(x)dx=J(x+2a)dx,a= J(x+ 2a)dx= J xd +2af,dx=[↓[ +2a[x] =→+2a,即，因此f(x)=x+2a=x-1解之得a=(3）【答案】元【解析】方法一：L的方程又可写成x?+y2=1(y≤O)，被积分函数在L上取值，于是原积分=1ds=元（半径为1的的半圆周长）.方法二：写出L的参数方程，x=cost(v= sin/ (-n ≤/≤0)[,(x? + y")ds = [° (cos’t+sin’t)/(-sint)* +cos’ tdt = [ 1.dt = π则(4）【答案】2【解析】直接用散度公式aaa(ay2)+-(xIn(1+ 22)|,divu p=[(yei) +Ozayox20220)=12+e°+0.=(y? +e"+x=1+1=2.1(1.101+021+20010(5）【答案】2200
1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 −1 【解析】原式= 0 1 (3 ) (3) 1 lim (3) 1 2 2 h f h f f − → h − − − = − = − − . (2)【答案】 x −1 【解析】由定积分的性质可知, 1 0 f t dt ( ) 和变量没有关系,且 f x( ) 是连续函数,故 1 0 f t dt ( ) 为一常数,为简化计算和防止混淆,令 1 0 f t dt a ( ) = ,则有恒等式 f x x a ( ) 2 = + , 两边 0 到 1 积分得 1 1 0 0 f x dx x a dx ( ) ( 2 ) = + , 即 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 ( 2 ) 2 2 2 a x a dx xdx a dx x a x = + = + = + 1 2 2 = + a , 解之得 1 2 a = − ,因此 f x x a x ( ) 2 1 = + = − . (3)【答案】 【解析】方法一： L 的方程又可写成 2 2 x y y + = 1( 0),被积分函数在 L 上取值,于是 原积分= 1 L ds = (半径为 1 的的半圆周长). 方法二：写出 L 的参数方程, cos sin x t y t = = , ( 0) − t 则 0 0 2 2 2 2 2 2 ( ) (cos sin ) ( sin ) cos 1 L x y ds t t t tdt dt − − + = + − + = = . (4)【答案】 2 【解析】直接用散度公式 2 2 [ ( ) ( ) ( ln(1 ))] z P P divu xy ye x z x y z = + + + 2 2 0 2 2 (1,1,0) 2 20 ( ) 1 0 1 1 2 1 1 0 z z y e x e z = + + = + + = + = + + . (5)【答案】 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 1 −
【解析】由于(300)00A-2E:40020(002)00300为求矩阵的逆可有多种办法，可用伴随，可用初等行变换，也可用分块求逆。方法一：如果对(A-2E:E)作初等行变换，则由（A-2E:E)→(E:（A-2E)-")可以直接得出(A-2E)-1.I本题中，第一行乘以（-1)加到第二行上；再第二行乘以，有2000100010000200011000C0001从而知（A-2E)-0200b方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：则求A的伴随矩阵dA=C如果A±0,这样一lad-0再利用分块矩阵求逆的法则：B-10B00010本题亦可很容易求出（A-2E）-12200二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）
【解析】由于 3 0 0 2 0 0 1 0 0 2 1 4 0 0 2 0 1 2 0 0 0 3 0 0 2 0 0 1 A E − = − = , 为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆. 方法一：如果对 ( 2 ) A E E − 作初等行变换,则由 1 ( 2 ) ( ( 2 ) ) A E E E A E − − → − 可以直接 得出 1 ( 2 ) A E − − . 本题中,第一行乘以 (−1) 加到第二行上;再第二行乘以 1 2 ,有 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 → − → − , 从而知 1 1 0 0 1 1 ( 2 ) 0 2 2 0 0 1 A E − − = − . 方法二：对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律： a b A c d = ,则求 A 的伴随矩阵 * a b d b A c d c a − = = − . 如果 A 0 ,这样 1 a b d b d b 1 1 c d c a c a A ad bc − − − = = − − − . 再利用分块矩阵求逆的法则： 1 1 1 0 0 0 0 A A B B − − − = , 本题亦可很容易求出 1 1 0 0 1 1 ( 2 ) 0 2 2 0 0 1 A E − − = − . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1）【答案】(A)只有间断点x=0【解析】函数y=xsin-x1limy=limxsin=，其中sin是有界函数，而当x→0+时，x为无穷小，而无穷YOr0xx小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小，1所以lim y= lim xsin三0，故函数没有铅直渐近线xX-→>0*x-→01sin-1sint中令t=lim1lim y= limX→+ox→+00xX→0*tx所以y=1为函数的水平渐近线，所以答案为（A)【相关知识点】1铅直渐近线：如函数y=f(x)在其间断点x=x处有limf(x)=co，则x=x是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当limf(x)=a,(a为常数）,则y=a为函数的水平渐近线(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面S:F(x,y,z)=0(其中F(x,y,z)=z+x?+y?-4)上点P使S在该点处的法向量n与平面2x+2y+z-1=0的法向量n=(2,2,1)平行S在P(x,y,=)处的法向量JoFOFOF]n==[2x,2y,1][OxOy 0z若n//no,则n=no,为常数，即2x=2,2y=2,1=.即x=1y=1又点 P(x,,2)S,所以z=4-2-a,)=(1,)=4--=2,故求得 P(1,1,2),因此应选(C)(3）【答案】(D)【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知，J-y3,J2-,为方程对应齐次方程的特解,所以方程y"+p(x)y+g(x)y=f(x)的通解为y=C(y-y)+C(y2-y)+y3,即y=Cy+C2+(1-C,-C)y,故应选D
(1)【答案】(A) 【解析】函数 1 y x sin x = 只有间断点 x = 0 . 0 0 1 lim lim sin x x y x x → → + + = ,其中 1 sin x 是有界函数,而当 x 0 → + 时, x 为无穷小,而无穷 小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 0 0 1 lim lim sin 0 x x y x x → → + + = = ,故函数没有铅直渐近线. 0 1 sin 1 sin lim lim lim 1 x x 1 x t x y t x t x →+ →+ → + = = = 令 , 所以 y = 1 为函数的水平渐近线,所以答案为(A). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数 y f x = ( ) 在其间断点 0 x x = 处有 0 lim ( ) x x f x → = ,则 0 x x = 是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当 lim ( ) ,( x f x a a → = 为常数）,则 y a = 为函数的水平渐近线. (2)【答案】(C) 【解析】题设为求曲面 S F x y z : ( , , ) 0 = (其中 2 2 F x y z z x y ( , , ) 4 = + + − )上点 P 使 S 在该点处的法向量 n 与平面 2 2 1 0 x y z + + − = 的法向量 n0 =2,2,1 平行. S 在 P x y z ( , , ) 处的法向量 , , 2 ,2 ,1 FFF n x y x y z = = , 若 0 n n // , 则 0 n n = , 为常数,即 2 2 ,2 2 ,1 x y = = = .即 x y = = 1, 1. 又点 P x y z S ( , , ) ,所以 2 2 2 2 ( , ) (1,1) 4 4 1 1 2 x y z x y = − − = − − = = ,故求得 P(1,1,2) . 因此应选(C). (3)【答案】(D) 【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知, 1 3 2 3 y y y y − − , 为方程对应齐 次方程的特解,所以方程 y p x y q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的通解为 1 1 3 2 2 3 3 y C y y C y y y = − + − + ( ) ( ) , 即 1 1 2 2 1 2 3 y C y C y C C y = + + − − (1 ) ,故应选 D
(4）【答案】(B)【解析】S(x)是函数f(x)先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数-的和函数,由于 S(x)是奇函数，于是 S(-)=-S(-)21当X=时，f(x)连续，由傅式级数的收敛性定理，S(.因此1(-=422L11S.应选(B).=24(5）【答案】(C)【解析】本题考查|A=0的充分必要条件，而选项（A）、(B)、(D)都是充分条件，并不必要.因为对矩阵A来说，行和列具有等价性，所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了「A=0的必要条件，但是不具有任意性，只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合，(112)123以3阶矩阵为例，若A=(134)条件（A)必有一列元素全为0，(B)必有两列元素对应成比例均不成立，但有A0，所以（A)、(B)不满足题意，不可选，(12 3)若A=124,则|A}=0，但第三列并不是其余两列的线性组合，可见(D)不正确.(125)这样用排除法可知应选(C).三、（本题满分15分，每小题5分.）OzOz（1）【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，可以先求也可以先求OxdyOz方法一：先求，由复合函数求导法，axdaOza(2x-y)+gl(x) + g2 (y)=2f'+g'+yg2,axaxaxax再对y求偏导，得z0%(2f'+8 +yg)=2"%(2x-y)ayaxoyayao%(1)+g2%(x)+ yg22 gioy(xy)+g2+yg21(xy)ayOyoy
(4)【答案】(B) 【解析】 S x( ) 是函数 f x( ) 先作奇延拓后再作周期为 2 的周期延拓后的函数的傅式级数 的和函数,由于 S x( ) 是奇函数,于是 1 1 ( ) ( ) 2 2 S S − = − . 当 1 2 x = 时, f x( ) 连续,由傅式级数的收敛性定理, 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 S f = = = .因此, 1 1 ( ) 2 4 S − = − .应选(B). (5)【答案】(C) 【解析】本题考查 | | 0 A = 的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必 要. 因为对矩阵 A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了 | | 0 A = 的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合. 以 3 阶矩阵为例,若 1 1 2 1 2 3 1 3 4 A = , 条件(A)必有一列元素全为 0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有 | | 0 A = ,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选. 若 1 2 3 1 2 4 1 2 5 A = ,则 | | 0 A = ,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确. 这样用排除法可知应选(C). 三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.) (1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求 z x ,也可以先求 z y . 方法一：先求 z x ,由复合函数求导法, 1 2 1 2 (2 ) ( ) ( ) 2 z f x y g x g xy f g yg x x x x = − + + = + + , 再对 y 求偏导,得 2 1 2 (2 ) 2 (2 ) z f g yg f x y x y y y = + + = − 11 12 2 21 22 g x g xy g yg x yg xy ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y + + + + +
=-2f"+gil-0+xgi2+g2+yg21-0+xyg22=-2f"+ xg2 +g2 + xyg22方法二；先求dyaaOza-(2x-y)+g(x)+g2(xy)=-f'+xg,dyOyoy再对x求偏导数，得0=-==%(-f'+xg)axoyoyoxaxanaa(2x- y)+g2 +xg217(x)+ xg22(xy)oaxax-2f" +g2 +xg21 +xyg22.【相关知识点】复合函数求导法则：若u=u(x,y)和v=v(x,y)在点(x,y)处偏导数存在，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)在点(x,J)处的偏导数存在,且Oz_of ou,of ovoz_af ouof ovaxOuaxOvaxayOudyavay(2）【解析】方法一：先求出(x），再求曲线积分设P(x,),O(x,J)有连续偏导数，在所给的单连通区域D上，【Pdx+Qdy与路径无关,o0oP则在D上有9,所以 yp(x)=2xy,即p(x)=2x,p(x)=x2 +C.由p(0)=0,得axayC=0,即p(x)=x2,因此 ydx* +x'dy?+=+42J(0.0) a(xy)=(y) 22J(0.0)或取特殊路径如图：1=Jxydx+ x'dy=f'odx+fyoPdyy0
11 12 2 21 22 = − + + + + + 2 0 0 f g xg g yg xyg 21 2 22 = − + + + 2 f xg g xyg . 方法二：先求 z y , 1 2 2 (2 ) ( ) ( ) z f x y g x g xy f xg y y y y = − + + = − + , 再对 x 求偏导数,得 2 2 2 ( ) z z f xg x y y x x = = − + 2 21 22 f x y g xg x xg xy (2 ) ( ) ( ) x x x = − − + + + 2 21 22 = − + + + 2 f g xg xyg . 【相关知识点】复合函数求导法则：若 u u x y = ( , ) 和 v v x y = ( , ) 在点 ( , ) x y 处偏导数存在, 函数 z f u v = ( , ) 在对应点 ( , ) u v 具有连续偏导数,则复合函数 z f u x y v x y = [ ( , ), ( , )] 在点 ( , ) x y 处的偏导数存在,且 , z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y = + = + . (2)【解析】方法一：先求出 ( ) x ,再求曲线积分. 设 P x y Q x y ( , ), ( , ) 有连续偏导数,在所给的单连通区域 D 上, L Pdx Qdy + 与路径无关, 则在 D 上有 Q P x y = ,所以 y x xy ( ) 2 , = 即 2 ( ) 2 , ( ) x x x x C = = + .由 (0) =0,得 C = 0,即 2 ( ) x x = ,因此 (1,1) (1,1) (1,1) 2 2 2 2 2 2 2 (0,0) (0,0) (0,0) 1 ( ) 2 I xy dx y x dy xy dx yx dy y dx x dy = + = + = + (1,1) (0,0) (1,1) 2 2 2 2 (0,0) 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 = = = d x y x y . 或取特殊路径如图： 1 1 2 2 2 0 0 0 1 L I xy dx yx dy dx y dy = + = +
方法二：不必求出(x)，选取特殊的路径，取积分路径如图，则I=[(,) xy' dx + yp(x)dyJ. yo(0)dy+f'xdx=0+1=1220(3）【解析】利用三重积分的性质，Q关于y平面对称，x对x为奇函数,所以[[[xdV=0,即[[(x+2)dV=[[zdVQQ是由球心在原点半径为1的上半球面与项点在原点、对称轴为≥轴、半顶角为的锥面A所围成。.故可选用球坐标变换，则2:0≤0≤2元,0≤≤元0≤p≤12I = J] zdv = J] pcos p-p' sin pd pdpde所以2=f"dof.cospsinpdofpd=2sin2pdpp'dp-[-oo2] []-四、（本题满分6分.)【解析】直接展开f(x）相对比较麻烦，可f(x)容易展开，211-x-(1+x)·(-1)f'(x)=(1- x)21+×2(1-x)2 +(1+x)1+x1+-1-1+t(-1)"t",(tk1),令t=x2得.+(-1)"t" +..中+1n=0(-1)"x2n,(x2 <1)=1-x2+x4-...+(-1)"x2n +...1+t1+xn=(1即-1)"x2n,(I xk1)f'(x)=1 ± x2三所以f(x)= ["f(u)du+ f(0)
1 2 0 1 1 2 2 y = = . 方法二：不必求出 ( ) x ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则 (1,1) 2 (0,0) I xy dx y x dy = + ( ) 1 1 0 0 1 1 (0) 0 2 2 = + = + = y dy xdx . (3)【解析】利用三重积分的性质, 关于 yz 平面对称, x 对 x 为奇函数,所以 xdV 0 = ,即 ( ) x z dV zdV + = . 是由球心在原点半径为 1 的上半球面与顶点在原点、对称轴为 z 轴、半顶角为 4 的锥面 所围成.故可选用球坐标变换,则 0 2 0 0 1 4 ： ， ， , 所以 2 I zdV d d d cos sin = = 2 1 1 4 4 3 3 0 0 0 0 0 1 cos sin 2 sin 2 2 d d d d d = = 1 4 4 0 0 1 1 cos 2 2 4 8 = − = . 四、(本题满分 6 分.) 【解析】直接展开 f x( ) 相对比较麻烦,可 f x ( ) 容易展开, 2 2 2 2 2 1 1 (1 ) ( 1) 2 1 ( ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 ( ) 1 x x f x x x x x x x − − + − = = = + − − + + + + − . 由 2 0 1 1 ( 1) ( 1) ,(| | 1) 1 n n n n n t t t t t t = = − + − + − + = − + ,令 2 t x = 得 2 4 2 2 2 2 0 1 1 1 ( 1) ( 1) ,( 1) 1 1 n n n n n x x x x x t x = = = − + − + − + = − + + 即 2 2 0 1 ( ) ( 1) ,(| | 1) 1 n n n f x x x x = = = − + 所以 0 ( ) ( ) (0) x f x f u du f = +
1+0元-1)"u?"du+arctanu2ndi1-042n+!元,(/xk1)2n+14n=042n+11+×在x=1处无定义，当x=±时，式(均收敛，而左端f(x)=arctan2n+11-xn=01+*-+2-2n+1因此+1,xe[-1,1),f(x)=arctan1-x4n=02n+1五、（本题满分7分.）【解析】先将原式进行等价变换，再求导，试着发现其中的规律" f()dt+f' f()dt f(x)= sin x-(x-t)f(t)dt=sinx-x/所给方程是含有未知函数及其积分的方程，两边求导，得f(x)=cosx-f f(t)dt -xf(x)+xf(x)=cos x- [ f(t)dt再求导，得f"(x)=-sinx-f(x),即f"(x)+ f(x)=-sinx.这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，对应的齐次方程的特征方程为?+1=0，此特征方程的根为r=土i，而右边的sinx可看作esinβx，α土iβ=土i为特征根，因此非齐次方程有特解Y=xasinx+xbcosx，1，故Y=代入方程并比较系数，得a=0,b=cosx，所以2xf(x)=c,cosx+c,sinx+cosx,211x,即f(x)=又因为f(0)=0,f(0)=1，所以c=0,Csinx+cosx222六、（本题满分7分.）【解析】方法一：判定方程f(x)=0等价于判定函数y=f(x）与x的交点个数f(x)=Inx-三+ "/1-cos2xdx,令其中【/1-cos2xdx是定积分，为常数，且被积函数1-cos2x在(O,元）非负，故X+k《/1-cos2xdx>0，为简化计算，令1-cos2xdx=k>0,即f(x)=lnx-e
2 2 0 0 0 0 1 0 ( 1) arctan ( 1) 1 0 4 x x n n n n n n u du u du = = + = − + = + − − 2 1 0 ( 1) 4 2 1 n n n x n + = = + − + ,(| | 1) x 当 x =1 时,式 2 1 0 ( 1) 2 1 n n n x n + = − + 均收敛,而左端 1 ( ) arctan 1 x f x x + = − 在 x =1 处无定义. 因此 2 1 0 1 ( 1) ( ) arctan , [ 1,1) 1 4 2 1 n n n x f x x x x n + = + − = = + − − + . 五、(本题满分 7 分.) 【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0 0 0 ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) x x x f x x x t f t dt x x f t dt tf t dt = − − = − + , 所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得 0 0 ( ) cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) x x f x x f t dt xf x xf x x f t dt = − − + = − , 再求导,得 f x x f x ( ) sin ( ) = − − ,即 f x f x x ( ) ( ) sin + = − . 这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为 2 r + =1 0 , 此特征方程的根为 r i = ,而右边的 sin x 可看作 sin x e x , = i i 为特征根,因此非 齐次方程有特解 Y xa x xb x = + sin cos . 代入方程并比较系数,得 1 0, 2 a b = = ,故 cos 2 x Y x = ,所以 1 2 ( ) cos sin cos 2 x f x c x c x x = + + , 又因为 f f (0) 0, (0) 1 = = ,所以 1 2 1 0, 2 c c = = ,即 1 ( ) sin cos 2 2 x f x x x = + . 六、(本题满分 7 分.) 【解析】方法一：判定方程 f x( ) 0 = 等价于判定函数 y f x = ( ) 与 x 的交点个数. 令 0 ( ) ln 1 cos 2 x f x x xdx e = − + − , 其中 0 1 cos 2xdx − 是定积分,为常数,且被积函数 1 cos2 − x 在 (0, ) 非负,故 0 1 cos2 0 xdx − ,为简化计算,令 0 1 cos2 0 xdx k − = ,即 ( ) ln x f x x k e = − +