教学建议学习目标第四章积分及其应用$4.1定积分的概念与性质84.2不定积分的概念与性质84.3禾积分的基本公式$ 4.4换元积分法$ 4.55分部积分法S4.6无限区间上的反常积分84.7积分学的应用
§4.1 定积分的概念与性质 §4.3 积分的基本公式 第四章 积分及其应用 §4.4 换元积分法 §4.2 不定积分的概念与性质 §4.5 分部积分法 §4.6 无限区间上的反常积分 §4.7 积分学的应用 教学建议 学习目标
$ 4.4换元积分法在利用基本积分公式对被积函数f(x)求不定积分f(x)dx时,要求积分变量x与被积函数f(x)中的元(即x)必须严格对应.只有这样才能直接积分.否则,就不能利用直接积分法例如,/ cos2xdx ± sin 2x +C这是因为(sin 2x) = 2 cos 2x. 所以,sin 2x不是 cos 2x的原函数换元要解决上述问题，可进行适当的变量替换积分法
§4.4 换元积分法 这是因为 (sin 2x) = 2cos 2x. cos 2 d sin 2 , 例如, x x x +C 所以, sin 2x 不是 cos2x 的原函数. 换元 要解决上述问题,可进行适当的变量替换 积分法 在利用基本积分公式对被积函数 求不定积分 时,要求积分变量 与被积函数 中的元(即 )必须严格对 应.只有这样才能直接积分.否则,就不能利用直接积分法. f x x ( )d x f (x) x f (x)
例如，cos 2xdx ± sin 2x + C换元这是因为(sin 2x)= 2cos2x.所以积分法sin 2x不是 cos 2x的原函数du.令u = 2x, 则 du = 2dx, dx = 7被积函数 cos 2x = cosu,du被积表达式 cos 2xdx = cosu2{ cos 2xdx = [ cosu.I du所以,2= ↓ sin u+C sin 2x+C.将u =2x 代回
这是因为 (sin 2x) = 2cos 2x. cos 2 d sin 2 , 例如, x x x +C sin 2x 不是 cos2x 的原函数. 换元 积分法 = sin u +C 2 1 所以, 令 u = 2x, 则 d . 2 1 du = 2dx, dx = u 被积函数 cos 2x = cosu, 被积表达式 d , 2 1 cos 2xdx = cosu u 所以, x x = u du 2 1 cos2 d cos 将 u = 2x 代回 sin 2 . 2 = 1 x +C
换元令u = 2x, 则 du = 2dx, dx = du.积分法cos 2x= [ cosudu是否 sin 2x +C.sin u+C=s正确呢?由于( sin 2x)=言 cos 2x · 2 = cos 2x,即1sSin 2x是coS 2x的原函数.所求不定积分是正确的2上述方法具有普遍性
换元 积分法 = sin u +C 2 1 令 u = 2x, 则 d . 2 1 du = 2dx, dx = u x x = u du 2 1 cos2 d cos sin 2 . 2 = 1 x +C cos 2 2 cos 2 , 2 1 sin 2 ) 2 1( x = x = x 由于 即 sin 2x 是 的原函数.所求不定积分是正确的. 2 1 cos2x 上述方法具有普遍性 是否 正 确 呢?
求不定积分2x ·cos x?dx.分析案例1从求导数入手微分法逆运算积分法对于复合函数y= sin x?.复合函以上积逆运算令u= x, 则 y= sin u. J数导数分过程(sin x2) = (sin u) (x) = cosu ·(x) = cos x ·Zx.将上式右端求不定积分：cos x2 . 2xdx =cos x2 . (x2)dx = / cos x2dx2变量替换变量还原用积分公式sinu+Ccosu du(sin x) = cos x今xu=x三u= sin x? +C
案例1 分析 求不定积分 2 cos d . 2 x x x 微分法 逆运算 积分法 从求导 数入手 对于复合函数 sin , 2 y = x 令 , 2 u = x 则 y = sin u. 2 y = sin x 对 x 的导数为 (sin ) (sin ) ( ) cos ( ) cos 2 . 2 2 2 2 x = u x = u x = x x 将上式右端求不定积分: = = 2 2 2 2 2 cos x 2xdx cos x (x )dx cos x dx ======= 变量替换 令 x = u 2 cosu du sin u +C ======= 变量还原 2 u = x ========= 用积分公式 (sin x) = cos x sin . = x 2 +C 复合函 数导数 以上积 分过程 逆运算
换元 ( f(u)du = F(u)+C,设积分法若u = の(x)是可微函数,则有( f[(x)]·p(x)dx = ( f[o(x)]dp(x)变量替换用积分公式f(u)duF()=(u) F(u) + Cβ(x)=u变量还原F(β (x)+C=()
f [(x)](x)dx = f [(x)]d(x) ======= 变量替换 (x) = u f (u)du ========= 用积分公式 F(u) = f (u) F(u) +C ======== 变量还原 u = (x) F( (x)) +C. 换元 积分法 设 ( )d ( ) , f u u = F u +C 若 u = (x) 是可微函数, 则有
案对换元积分法公式例照这是β(x)的导数这是β (x)的函数1f To(x)10(x)+C[(x)]p(x)dx =lF(β(x)x2cos x?2xCcos x2=sin x2 + Cdx =这是x-的导数这是x的函数案例的计算过程
对 照 案 例 一 = f [(x)] (x)dx cos x 2x dx = 2 f [(x)]d(x) = F( (x)) +C 2 2 cos x d x = sin x 2 +C 换元积分法公式 这是 (x) 的函数 案例的计算过程 这是 x 2 的函数 这是 (x) 的导数 这是 x 2 的导数
练习1 求dxsin? x cos x解被积函数是两个因子：Sin-x和 coS.x的乘积注意到(sin x) = cos x, 视p(x) = sin x, 则因子 sin2x 是 sin x 的函数可用换元而因子cosx恰是 sin x的导数，积分法由此 sin2 x cos x 正是f(o(x))·(x))形式.设u = sin x, 则du =cosxdx. 于是[ sin? xcos xdx =[ udu =↓u +C3$ sin'3x +c.-
练习1 求 解 sin cos d . 2 x x x 被积函数是两个因子: sin 2 x 和 cos x 的乘积 注意到 (sin x) = cos x, 视 (x) = sin x, 则 因子 x 2 sin 是 sin x 的函数, 而因子 cos x 恰是 sin x 的导数. 由此 sin xcos x 2 正是 f ((x))(x) 形式. 设 u = sin x, 则 du = cos xdx. 于是 sin x cos xdx 2 = u du 2 = u 3 +C 3 1 sin . 3 = 1 3 x +C 可用换元 积分法
练习2 求dx.exR的乘积被积函数是两个因子：ex和大解大视p(x)=ex可用换元,积分法于是被积函数具有形式11) = - f(β(x)· (x)-exexx设u=l_ldx.于是则 du =心x1dx e"du=-eu +C=-ex +Cex
练习2 求 解 被积函数是两个因子: 和 2 的乘积 1 x x 1 e 视 ( ) e , 1 x = x 于是被积函数具有形式 − f ((x))(x) 则 d . 1 d 2 x x u = − 于是 可用换元 积分法 e d . 1 1 2 x x x 因 , 1 ) 1( 2 x x = − = − − ) = 1 e e ( 1 2 1 1 2 x x x x 设 , 1 x u = x x ex d 1 1 2 = − u u e d = −e u +C e . 1 = − x +C
练习2求dx.Z的乘积被积函数是两个因子：ex和大解1大文，视p(x)=ex,可用换元积分法于是被积函数具有形式11. = - f(Φ(x))·@(xex =-ex :0t1按如下格式书写：量u=本例可不设出中间变量x↓)dx =-[edd↓= -e+ +C.J+ed dx=-fe(-+x
练习2 求 解 被积函数是两个因子: 和 2 的乘积 1 x x 1 e 视 ( ) e , 1 x = x 于是被积函数具有形式 − f ((x))(x) 可用换元 积分法 e d . 1 1 2 x x x 因 , 1 ) 1( 2 x x = − = − − ) = 1 e e ( 1 2 1 1 2 x x x x 本例可不设出中间变量 ,按如下格式书写: x u 1 = x x ex d 1 1 2 x x x )d 1 e ( 2 1 = − − e . 1 e d 1 1 C x = − x = − x +