考研数学历年真题：1999考研数一真题及解析

区跨考教育KLIAKAOEDUCATIOBornto win1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。）11(1) limxtanx["'sin(x-1)'dt =(2) :dxJo(3）y"_4y=e2x的通解为y=（4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是(5）设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：9P(AUBUC):ABC =Φ, P(A)= P(B)= P(C)0Vx(2)设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处（x"g(x),x≤0(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导10≤x≤x,12,S(x)=+(3) 设f(x)=>a.cosn元x.-00n时，必有行列式AB=0(A)当m>n时，必有行列式|AB+0(D)当n>m时，必有行列式|AB=0(C)当n>m时，必有行列式AB*0(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（O.1）和N（1,1），则1

Born to win 1 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。) (1) 2 0 1 1 lim x→ x x x tan     − =   (2) 2 0 sin( ) d x x t dt dx − =  (3) 2 " 4 x y y e − = 的通解为 y = (4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的 n 个特征值是 (5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件： 1 , ( ) ( ) ( ) , 2 ABC P A P B P C = = =   9 ( ) , 16 P A B C   = 则 P A( ) = 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1)设 f x( ) 是连续函数， F x( ) 是 f x( ) 的原函数，则 ( ) (A) 当 f x( ) 是奇函数时， F x( ) 必是偶函数。 (B) 当 f x( ) 是偶函数时， F x( ) 必是奇函数。 (C) 当 f x( ) 是周期函数时， F x( ) 必是周期函数。 (D) 当 f x( ) 是单调增函数时， F x( ) 必是单调增函数。 (2)设 2 1 cos , 0 ( ) ( ), 0 x x f x x x g x x  −   =     其中 g x( ) 是有界函数，则 f x( ) 在 x = 0 处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导 (3) 设 0 1 1 , 0 2 ( ) , ( ) cos , , 1 2 2 2 , 1 2 n n x x a f x S x a n x x x x   =     = = + −   +    −     其中 1 0 2 ( )cos ,( 0,1,2, ), n a f x n xdx n = =    则 5 2 S     −   等于 ( ) (A) 1 2 (B) 1 2 − (C) 3 4 (D) 3 4 − (4)设A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则 (A)当 m n  时，必有行列式 AB 0  (B)当 m n  时，必有行列式 AB 0 = (C)当 n m 时，必有行列式 AB 0  (D)当 n m 时，必有行列式 AB 0 = (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1) 和N (1,1) ，则

凶跨煮教育IVABornto win(A) PX+Y≤0)=(B) P(X+Y≤1) =(C) P(X-Y≤0)= (D) P(X-Y≤1)=2C三、（本题满分5分）设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f 和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求兰dr四、（本题满分5分）求[=[(e'siny-b(x+y))dx+(ecosy-ax)dy,其中a,b为正常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=/2ax-x到点O(0,0)的弧五、(本题满分6分)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y(x)>0，y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,Jy)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S,，区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S，并设2S,-S,恒为1，求此曲线y=y(x)的方程六、（本题满分6分）试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2七、（本题满分6分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m30m抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?（说明：①1N×1m=1J；其中m,N,s,J分别表示米，牛顿，秒，焦耳：②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)八、(本题满分7分)x2V-+22=1的上半部分，点P(x,J,=)ES,元为S在点P处的切平面，设S为椭球面2+2Zp(x,y,2)为点O(0,0,0)到平面元的距离，求[dss p(x,y,2)九、(本题满分7分)tan"xdx.设a2

Born to win 2 (A)   1 0 . 2 P X Y+  = (B)   1 P X+Y 1 . 2  = (C)   1 P X-Y 0 . 2  = (D)   1 P X-Y 1 . 2  = 三、(本题满分5分) 设 y y x = ( )， z z x = ( ) 是由方程 z xf x y = + ( ) 和 F x y z ( , , ) =0所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 dz dx 。 四、(本题满分5分) 求 ( sin ( ) cos , ) ( ) x x L I e y b x y dx e y ax dy = − + + −  其中a,b 为正常数， L 为从点A (2a,0) 沿曲线 2 y= 2 - ax x 到点O (0,0) 的弧. 五、 (本题满分6分) 设函数 y x x ( )(  0) 二阶可导，且 y x ( )  0 ， y(0 1 ) = . 过曲线 y y x = ( ) 上任意一点 P x y ( , ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 1 S ，区 间 0, x 上以 y y x = ( ) 为曲边的曲边梯形面积记为 2 S ，并设 1 2 2S S − 恒为 1，求 此曲线 y y x = ( ) 的方程 六、(本题满分6分) 试证：当 x  0 时， ( ) ( ) 2 2 x x x −  − 1 ln 1 . 七、(本题满分6分) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深 30m 30m,抓斗自重 400N , 缆绳每米重 50N ，抓斗抓 起的污泥重 2000N ，提升速度为 3 / m s,在提升过程中，污泥以 20 / N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：① 1 1 1 ; N m J  = 其中 m N s J , , , 分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.) 八、(本题满分7分) 设S 为椭球面 2 2 2 1 2 2 x y + + = z 的上半部分，点P ( , , ) x y z ∈S,π为S 在点P 处的切平面， ( , , ) x y z 为点O (0,0,0) 到平面π的距离，求 . ( , , ) S z dS  x y z  九、(本题满分7分) 设 4 0 tan , n n a xdx  = 

跨煮教育Bornto win(1)求(a,+a2)的值；in(2) 试证：对任意的常数)>0, 级数≥%收敛n=in十、(本题满分8分)aC56设矩阵A=3其行列式A=-1,又A的伴随矩阵A有一个特征值，属1-c0-a于的一个特征向量为α=(-1,-1,1),求a,b,c和的值十一、（本题满分6分）设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mxn实矩阵，BI为B的转置矩阵，试证：BAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n十二、（本题满分8分）设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（XY）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处Yyiy2y3P(X =x)=Pix1-8X1-8X211P(Y=y)=p)16十三、（本题满分6分）设总体X的概率密度为6x),0<x<6Hf(x):其他0.X,X,X是取自总体X的简单随机样本(1）求的矩估计量0(2)求θ的方差D(e)1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析3

Born to win 3 (1) 求 ( 2 ) 1 1 n n n a a n  + =  + 的值； (2) 试证：对任意的常数λ>0,. 级数 1 n n a n   =  收敛 十、(本题满分8分) 设矩阵 1 5 3 , 1 0 a c A b c a   −   =       − − 其行列式 A =−1, 又A 的伴随矩阵 * A 有一个特征值 0 ，属 于 0 的一个特征向量为 ( 1, 1,1) , T  = − − 求 abc , , 和 0 的值. 十一、(本题满分6分) 设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵， T B 为B的转置矩阵，试证： T B AB 为正 定矩阵的充分必要条件是B的秩 r B n ( ) = . 十二、(本题满分8分) 设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 (X,Y) 联合分布律及关于X 和关 于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处. Y X 1 y 2 y 3 y P X x p  = = i i  1 x 1 8 2 x 1 8 P Y y p  = = j j  1 6 1 十三、(本题满分6分) 设总体X 的概率密度为 3 6 ( ),0 ( ) 0, x x x f x      −   =    其他 1 2 , , , X X X n  是取自总体X 的简单随机样本. (1) 求θ的矩估计量  (2) 求  的方差 D( ). 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

跨考教育XKUAKAOCATBornto win一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.）1(")【答案】3【分析】利用x一→0的等价变换和洛必达法则求函数极限【详解】11tanx-xtanx-x方法1：limxlimimtanx~43xxtanxx-0xtanxx-→0+Sec2x-12tanx1洛lim= limxlimtanx3x23x2+-03x23x>0x-→01cos.xsinx-xcosx方法2：limlimlimx"sinxxsinxx-→0Axtanxxsinx_1sinx-xcosxcosx-cosx+xsinx洛limlimsinx~xlimx33x23x3x-0X-0x-→0(2)【答案】sinx2d【分析】欲求p(x,t)dt，唯一的办法是作变换，使含有p(x,t)中的x"转移"到p之外dx【详解】令u=x-t，则dt=-du，所以有" sin(x-1)’d =兴(-sin u )u=[[' sin u’du = sin x?Jr(3)【答案】 y=C,e-2*+C,+x ee2,其中C,C,为任意常数4【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解【详解】原方程对应齐次方程"-4y=0的特征方程为：2-4=0.解得=2.=-2，故y"-4y=0的通解为y=Ce-2x+C,e2由于非齐次项为f(x)=e2*因此原方程的特解可设为y=Axe2x，代入原方程可求得1故所求通解为y=+=C,e-2+ICa+1A=4(4)【详解】因为

Born to win 4 一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.) (1)【答案】 1 . 3 【分析】利用 x →0 的等价变换和洛必达法则求函数极限. 【详解】 方法1： 2 2 3 0 0 0 1 1 tan tan lim lim tan lim x x x tan tan x x x x x x → → → x x x x x x   − −   − =   2 2 0 sec 1 lim x 3 x → x − 洛 2 2 0 tan lim x 3 x → x = 2 2 0 1 tan lim x 3 3 x x x → x = 方法2： 2 2 2 0 0 0 1 1 1 cos sin cos lim lim lim x x x tan sin sin x x x x → → → x x x x x x x x     −     − = − =     3 2 0 0 sin cos cos cos sin sin lim lim x x 3 x x x x x x x x x → → x x − − + 洛 0 sin 1 lim x 3 3 x → x = = (2)【答案】 2 sin x 【分析】欲求 ( , ) b a d x t dt dx  ，唯一的办法是作变换，使含有 ( , ) x t 中的 x “转移”到  之外 【详解】令 u x t = − ，则 dt du =− ，所以有 ( ) 0 2 2 0 sin( ) sin x x d d x t dt u du dx dx − = −   2 2 0 sin sin d x u du x dx = =  (3)【答案】 2 2 1 2 1 , 4 x x y C e C x e −   = + +     其中 1 2 C C, 为任意常数. 【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解. 【详解】原方程对应齐次方程 y y " 4 0 − = 的特征方程为： 2  − = 4 0, 解得 1 2   = = − 2, 2，故 y y " 4 0 − = 的通解为 2 2 1 1 2 , x x y C e C e − = + 由于非齐次项为 2 ( ) , x f x e = 因此原方程的特解可设为 * 2 , x y Axe = 代入原方程可求得 1 4 A = ，故所求通解为 * 2 2 1 1 2 1 4 x x y y y C e C x e −   = + = + +     (4)【详解】因为

区跨考教育KUAKAOBorn to win(α-1-1++.1-1--1TE-A=(对应元素相减）-1-1元-1t两边取行列式，1-1-1[a-n-1-1-11-1把第2，n列2-1-1-1nAE-A加到第1列..-1-11-1-1-1Λ-n-1[2行-1行1-11-1提取第1列1011-13行-1行-1L的公因子1-10202.-n行-1行= a"l(a-n)令E-A="(-n)=0，得=n(1重)，=0(n-1)重)，故矩阵A的n个特征值是n和0((n-1)重)(5)【答案】1/4【详解】根据加法公式有P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AC)- P(AB)- P(BC)+P(ABC)因为 P(A)=P(B)=P(C),设 P(A)= P(B)= P(C)= p由于A,B,C两两相互独立，所以有P(AB)= P(A)P(B)= px p= p,P(AC)= P(A)P(C)= p× p= p,P(BC)= P(B)P(C)= p× p= p,又由于 ABC=①,因此有 P(ABC)=P(O)=0,所以P(AUBUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AC)-P(AB)-P(BC)+ P(ABC)=p+p+p-p?-p2-p?+0=3p-3p299则有3p-3p°_从而 P(AUBUC)=3p-3p*= P(AUBUC)==016161632或p=1=0，解得=pP-n-16445

Born to win 5 E A− 1 1 . 1 1 1 . 1 . . . . 1 1 . 1      − − −   − − −   =       − − − (对应元素相减) 两边取行列式， 1 1 . 1 1 1 . 1 . . . . 1 1 . 1 E A     − − − − − − − = − − − 1 . 1 2 1 . 1 1 . . . . 1 . 1 n n n n      − − −  − − − − − − 把第 ， ， 列 加到第 列 1 1 . 1 1 1 1 . 1 ( ) . . . . 1 1 . 1 n    − − − − − − − 提取第 列 的公因子 2 1 1 1 . 1 3 1 0 . 0 ( ) . . . . 1 0 0 . n n    − − − − − − 行 行 行 行 行 行 -1( ) n = −   n 令 -1( ) 0 n    E A n − = − = ，得 1 2   = = − n n (1 0(( 1) 重)， 重) ，故矩阵A的n个特征值 是n和0( ( -1) n 重) (5)【答案】 14 【详解】根据加法公式有 P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + 因为 P A P B P C ( ) ( ) ( ) = = ，设 P A P B P C p ( ) ( ) ( ) = = = 由于 A B C , , 两两相互独立，所以有 2 P AB P A P B p p p ( ) ( ) ( ) = =  = ， 2 P AC P A P C p p p ( ) ( ) ( ) = =  = ， 2 P BC P B P C p p p ( ) ( ) ( ) = =  = ， 又由于 ABC = ，因此有 P ABC P ( ) ( ) 0, =  = 所以 P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + 222 = + + − − − + p p p p p p 0 2 = − 3 3 p p 又 9 ( ) 16 P A B C = ，从而 2 9 ( ) 3 3 16 P A B C p p = − = ，则有 2 9 3 3 0 16 p p − − = 2 3 0 16  − + = p p ，解得 3 1 4 4 p = = 或p

跨考教育XKUAKAOEBornto win，故，即P(A)=因 P(A)=P(B)= P(C)= pn244二、选择题(1I)【答案】（A）【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性f(x)的原函数 F(x)可以表示为F(x)=[f(t)dt+C,于是F(-x)=J. f()dt+C= T° f(-u)d(-u)+C.当f(x)为奇函数时，f(-u)=-f(u)，从而有F(-x)=[f(u)du+C= ["f(t)dt+C=F(x)即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：x3+1不是奇函数，可排除(B)：f(x)=x是偶函数，但其原函数F(x)=311f(x)=cos2x是周期函数，但其原函数F(x)=sin2x不是周期函数，可排除x+-24(C):x2在区间-00,+)内f(x)=x在区间(-o0,+oo)内是单调增函数，但其原函数F(x)=2非单调增函数，可排除(D)(2)【答案】（D）【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手= lim2(x)- f(O) = lim 1-cosxf(0)= lim )因为=0.x-0r→0*r→0*xx-0* xxx g(x) = lim xg(x)=0,f(x)-f(O)f'(0) = lim limx-0x→0x→0x从而，f(O)存在，且f(O)=0，故正确选项为(D)(3)【答案】（C）【详解】由题设知，应先将f(x)从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[-1,1]上的偶函数，然后再作周期（周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数6

Born to win 6 因 1 ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P C p = = =  ，故 1 4 p = ，即 1 ( ) 4 P A = 二、选择题 (1)【答案】( A ) 【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性. f x( ) 的原函数 F x( ) 可以表示为 0 ( ) ( ) , x F x f t dt C = +  于是 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) . u t x x F x f t dt C f u d u C − = − − = + = − − +   当 f x( ) 为奇函数时， f u f u ( ) ( ) − = − ，从而有 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x x F x f u du C f t dt C F x − = + = + =   即 F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项. (B)、(C)、(D)可分别举反例如下： 2 f x x ( ) = 是偶函数，但其原函数 1 3 ( ) 1 3 F x x = + 不是奇函数，可排除(B)； 2 f x x ( ) cos = 是周期函数，但其原函数 1 1 ( ) sin 2 2 4 F x x x = + 不是周期函数，可排除 (C)； f x x ( ) = 在区间 ( , ) − + 内是单调增函数，但其原函数 1 2 ( ) 2 F x x = 在区间 ( , ) − + 内 非单调增函数，可排除(D). (2)【答案】( D ) 【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手. 因为 2 0 0 0 1 ( ) (0) 1 cos 2 (0) lim lim lim 0, x x x 0 x f x f x f x x x x x + → → → + + + − −  = = = = − 2 0 0 0 ( ) (0) ( ) (0) lim lim lim ( ) 0, x x x 0 f x f x g x f xg x x x − → → → − − − −  = = = = − 从而， f (0) 存在，且 f (0) 0 = ，故正确选项为(D). (3)【答案】( C ) 【详解】由题设知，应先将 f x( ) 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作 周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数

跨考教育KUAKABornto winSS) = S(-2 -) = S(-=S(-而x=是f(x）的间断点，按狄利克雷定理有，2+0)+1242(4)【答案】B【详解】方法1：A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则AB是m阶方阵，因r(AB)≤min[r(A),r(B)]≤min(m,n),当m>n时，有r(AB)≤min[r(A),r(B))≤nn时，则r(B)=n（系数矩阵的秩小于未知数的个数），方程组Bx=0必有非零解，即存在x。0，使得Bx。=0，两边左乘A，得ABx。=0，即ABx=0有非零解，从而AB=0，故选(B)方法3：用排除法00,Bm =(0 0), AB=AB=0，(A)不成立(A)m>n,取Amn0000AB=0，AB=0，(C)不成立(C)n>m,取Amn=(1 0),BnxmAB=1，[AB=1，(D)不成立，故选(B)(D)n>m, 取Amm=(1 0),Bm =(5）【答案】B【详解】根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布因X和Y相互独立，且X～N(O,1)，Y～N(1,1)，所以T=X+Y~N(u,o), T, =X-Y~N(u,o,)其中u=E(X+Y),=D(X+Y),, =E(X-Y),, =D(X-Y)由期望的性质：E(T)=E(X+Y)=EX+EY=0+1=1,E(T)= E(X-Y)= EX - EY =0-1=-1由独立随机变量方差的性质：D(T)=D(X+Y)=DX+DY=1+1=27

Born to win 7 5 1 1 1 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 2 2 2 2 S S S S − = − − = − = 而 1 2 x = 是 f x( ) 的间断点，按狄利克雷定理有， 1 1 1 ( 0) ( 0) 1 1 3 2 2 2 ( ) . 2 2 2 4 f f S − + + + = = = (4)【答案】B 【详解】 方法1： A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则 AB 是 m 阶方阵，因 r AB r A r B m n ( ) min ( ), ( ) min ,     ( ) 当 m n  时，有 r AB r A r B n m ( ) min[ ( ), ( )]    ( ( ) 0 AB x = 的系数矩阵的秩小于未知 数的个数)，故有行列式 AB = 0 ，故应选(B) 方法 2： B 是 n m 矩阵,.当 m n  时, 则 r B n ( ) = (系数矩阵的秩小于未知数的个数) ，方程 组 Bx = 0 必有非零解，即存在 0 x  0 ，使得 0 Bx = 0 ，两边左乘 A ，得 0 ABx = 0 ，即 ABx = 0 有非零解，从而 AB = 0，故选(B) 方法 3：用排除法 (A) m n  ，取 ( ) 1 , 0 0 , 0 A B m n n m     = =     0 0 0 0 AB   =     ， AB = 0，(A)不成立 (C) n m ，取 ( ) 0 1 0 , , 1 A B m n n m     = =     AB = 0， AB = 0，(C)不成立 (D) n m ，取 ( ) 1 1 0 , , 0 A B m n n m     = =     AB =1， AB =1，(D)不成立，故选(B) (5)【答案】B 【详解】 根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布. 因 X Y 和 相互独立，且 X N~ (0,1) ，Y N ~ (1,1) ，所以 2 T X Y N u 1 1 1 = + ~ ( , )  , 2 T X Y N u 2 2 2 = − ~ ( , )  其中 1 u E X Y = + ( )， 2 1  = + D X Y ( )， 2 u E X Y = − ( ) ， 2 2  = − D X Y ( ) 由期望的性质： 1 E T E X Y EX EY ( ) ( ) 0 1 1 = + = + = + = ， 2 E T E X Y EX EY ( ) ( ) 0 1 1 = − = − = − = − 由独立随机变量方差的性质： 1 D T D X Y DX DY ( ) ( ) 1 1 2 = + = + = + =

7跨考教育XKUAKACATIBornto winD(T,)= D(X -Y)= DX +DY =1+1=2所以T =X+Y~ N(1,2), T, = X-Y~ N(-1,2)（一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点出发)A选项：P(X+Y≤0)=!.因T,=X+Y~N(1,2)2由标准化的定义： 若X~ N(u,"),则二"~ N(0.)aX+Y-1所以，～N(O,1)，将其标准化有2P(X+Y≤0)=P[X+y-1<0-1][X+Y-1122（保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化又因为标准正态分布图像是关于y轴对称，所以[X+Y-][X+Y-l<0}-]DJ，而P所以A错J2V222]2IB选项：PX+Y≤I=2[X+Y-1[X+Y-1-1-]]≤0将其标准化有：（根据标准正态分布的对称性）2V2N2V2故B正确.C选项：P(X-Y≤0)=2[x-y-(-1) _ 0-(-1))[X-Y+111=PO将其标准化有：故C错VV222D选项：P[X-Y≤1)=2[X-Y+1,2/_X-Y-(-1) _1-(-1))故D错将其标准化有：2122三【详解】分别在z=xf(x+y）和F(xy,=)=0的两端对x求导数，得8

Born to win 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 D T D X Y DX DY ( ) ( ) 1 1 2 = − = + = + = 所以. . . . T X Y N 1 = + ~ (1,2) ，T X Y N 2 = − − ~ ( 1,2) (一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两 点出发) A选项：   1 0 . 2 P X Y+  = 因 T X Y N 1 = + ~ (1,2) 由标准化的定义：若 2 X N u ~ ( , )  ，则 ~ (0,1) X u N  − 所以， 1 (0,1) 2 X Y N + − ，将其标准化有   1 0 1 1 1 0 2 2 2 2 X Y X Y P X Y P P     + − − + − +  =  =  −         (保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化) 又因为标准正态分布图像是关于 y 轴对称，所以 1 1 0 2 2 X Y P   + −    =   ，而 1 1 1 2 2 2 X Y P   + −    −    ，所以A错 B选项：   1 1 . 2 P X Y+  = 将其标准化有： 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 X Y X Y P P     + − − + −      =  =     (根据标准正态分布的对称性) 故B正确 C选项：   1 0 . 2 P X Y−  = 将其标准化有： ( 1) 0 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 2 X Y X Y P P     − − − − − − +      =       ，故C错 D选项：   1 1 . 2 P X Y−  = 将其标准化有： ( 1) 1 ( 1) 1 2 1 P 2 2 2 2 2 X Y X Y P     − − − − − − +      =       ，故D错 三【详解】分别在 z xf x y = + ( ) 和 F x y z ( , , ) 0 = 的两端对 x 求导数，得

跨煮教育Bornto win[层=(x, )+x(+)f'(x,y)dxdxF'+F'dyrdz=0dxdxdydz-xf(x,y)=f(x,y)+xf'(x,y)dxtdx整理后得Frdzdy-F'Fdxdx解此方程组，得-xff +xf"F'-F'dz(+F--,(F,+F*0)dx1-xf"F'+xfF'FF'四【详解】方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式添加从点O(0,0)沿y=0到点A(2a,0)的有向直线段L，如图，则 (e' sin y-b(x+y)dx+(e'cos y-ax)d)J, (e' sin y-b(x+ y)dx+(e' cos y-ax)dy2ax0L1利用格林公式，前一积分[(%-)txdy= J[(b-a)dxdy=号a(b-a)(axay)2其中D为L+L所围成的半圆域，后一积分选择x为参数，得L：x=x.(0≤x≤2a),V-2a(-bx)dx=-2a2b，故=I,-Ilab-可直接积分L=1+2方法2：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算[=[,(e'sin y-b(x+y))dx+(e'cos y-ax)d)[,e' sin ydx+e' cos ydy-f, b(x+y)dx+axdy9

Born to win 9 ( , ) 1 ( , ) 0 x y z dz dy f x y x f x y dx dx dy dz F F F dx dx    = + +            + + =  整理后得 ( , ) ( , ) ( , ) y z x dy dz xf x y f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx  − + = +       + = −    解此方程组，得 ( ) ,( 0) 1 y x y z y z y z y z xf f xf dz F F f xf F xf F F xf F dx F xf F xf F F − +     − + −     = = +     −     +   四【详解】 方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式. 添加从点 O(0,0) 沿 y = 0 到点 A(2a,0) 的有向直 线段 L1 , 如图，则 ( ) ( ) 1 sin ( ) cos x x L L I e y b x y dx e y ax dy + = − + + −  ( ) ( ) 1 sin ( ) cos x x L − − + + − e y b x y dx e y ax dy  利用格林公式，前一积分 2 1 ( ) ( ) 2 D D Q P I dxdy b a dxdy a b a x y      = − = − = −         其中D为 L1 +L所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L1 : , 0 2 , ( ) 0 x x x a y  =     = 可直接积分 2 2 2 0 ( ) 2 a I bx dx a b = − = −  ，故 2 3 1 2 2 . 2 2 I I I a b a     = − = + −     方法2：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计 算. ( sin ( ) cos ) ( ) x x L I e y b x y dx e y ax dy = − + + −  sin cos ( ) x x L L = + − + + e ydx e ydy b x y dx axdy  

跨煮教育VAVABorn to win前一积分与路径无关，所以(0,0)e' sin ydx +e' cos ydy = e' sin y=0(2a0对后一积分，取L的参数方程[dx = -asin tdtx=a+acost[dy=acosidi，1从0到元，得y=asint[ b(x + y)dx + axdy-["(-a'bsint-a'bsintcost-a'bsin't+a cost+a' cos t)dt2ra'b+=-2a’b_1,S2a31=0-(-2a'b-{元d'b+,元0从而元032222五【详解】如图，曲线y=y(x)上点P(x,)处的切线方程为Y-y(x)=y(x)(X-x)ytV所以切线与x轴的交点为x-0y'y-y(x)L由于 y(x)>0,y(0)=1, 因此y(x)>0 (x>0)P(x,y)1-于是2..AX0又S,(t)dt根据题设2S,-S,=1，即2.二y(t)dt=1,两边对x求导并化简得yy"=(y)2v'这是可降阶得二阶常微分方程，令p=,则"==pdxdydxPdy=，分离变量得dy=Cy2，解得=Cy，即则上述方程可化为ypdydxpy从而有y=Ce'+C，根据y(0)=1,y(0)=1,可得C, =1,C, =0,故所求曲线得方程为y=er六【详解】构造函数，利用函数的单调性，证法1:令f(x)=(x2-1)nx-(x-1)°.易知f(1)=010

Born to win 10 前一积分与路径无关，所以 (0,0) (2 ,0) sin cos sin 0 x x x L a e ydx e ydy e y + = =  对后一积分，取 L 的参数方程 cos sin x a a t y a t  = +   = ，则 sin cos dx a tdt dy a tdt  = −   = ，t 从 0 到  ，得 ( ) L b x y dx axdy + +  2 2 2 2 3 3 2 0 ( sin sin cos sin cos cos ) a b t a b t t a b t a t a t dt  = − − − + +  2 2 3 1 1 2 2 2 = − − + a b a b a   从而 2 2 3 2 3 1 1 0 ( 2 ) 2 2 2 2 2 I a b a b a a b a       = − − − + = + −     五【详解】如图，曲线 y y x = ( ) 上点 P x y ( , ) 处的切线方程为 Y y x y x X x − = − ( ) ( )( )  所以切线与 x 轴的交点为 ,0 ' y x y     −   由于 y x y '( ) 0, (0) 1,  = 因此 y x( ) 0  ( 0) x  于是 2 1 1 . 2 ' 2 ' y y S y x x y y   = − − =     又 2 0 ( ) x S y t dt =  ， 根据题设 1 2 2 1, S S − = 即 2 0 2 ( ) 1, 2 ' y x y t dt y − =  两边对 x 求导并化简得 ( ) 2 yy y " ' = 这是可降阶得二阶常微分方程，令 p y =  , 则 dp dp dy dp y p dx dy dx dy  = = = ， 则上述方程可化为 2 , dp yp p dy = 分离变量得 dp dy p y = ，解得 1 p C y = , 即 1 , dy C y dx = 从而有 1 2 x y C e C = + ，根据 y y (0) 1, '(0) 1, = = 可得 1 2 C C = = 1, 0, 故所求曲线得方程为 x y e = 六【详解】构造函数，利用函数的单调性， 证法1：令 ( ) ( ) 2 2 f x x x x ( ) 1 ln 1 . = − − − 易知 f (1) 0 =