2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题，每小题4分,共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当x→0 时,f(x)=x-sinax与g(x)=x2 In(1-bx)等价无穷小,则(B)a=1,b=}(A)α=1,b=-661(D)α=-1,b=(C)a=-1,b=-66(2)如图,正方形(x,J)x≤1,以≤1) 被其对角线划分为四个区域D;(k=1,2,3,4),1,=JJ ycos xdxdy，则max(1t)=(A) 1)(B) 12-1(C) 1,(D) 14(3)设函数y=f(x)在区间[-1,3]上的图形为f(a)2则函数F(x)=[f(t)dt的图形为
2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四 个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 号内.) (1)当 时, 与 等价无穷小,则 (A) (B) (C) (D) (2)如图,正方形 被其对角线划分为四 个区域 , ,则 (A) (B) (C) (D) (3)设函数 在区间 上的图形为 则函数 的图形为 x →0 f x x ax ( ) = −sin ( ) ( ) 2 g x x bx = − ln 1 1 1, 6 a b = = − 1 1, 6 a b = = 1 1, 6 a b = − = − 1 1, 6 a b = − = ( x y x y , 1, 1 ) D k k ( =1, 2,3, 4) cos k k D I y xdxdy = 1 4 max k k I = 1 I 2 I 3 I 4 I y f x = ( ) −1,3 ( ) ( ) 0 x F x f t dt = -2 1 0 2 3 -1 O
f(a)-2-1(A)(B)f()Y2f(o)-1A(C)(D)f)A-1(4)设有两个数列(a,),(b,)，若lima,=0,则
(A) (B) (C) (D) (4)设有两个数列 a b n n , ,若 lim 0 n ,则 n a → = 0 -2 1 2 3 -1 1 0 -2 1 2 3 -1 1 0 -1 1 2 3 1 0 -2 1 2 3 -1 1
(A)当之b,收敛时,2a,b,收敛(B)当之b,发散时,Za,b,发散(C)当之[b|收敛时,a,b,收敛.n=l7=1(D)当之b|发散时,ab发散(5)设a,a,,a,是3维向量空间R的一组基，则由基a,到基IL.3a,+az,az+as,a,+a,的过渡矩阵为(101)(120)(A)|220(B)023(103)(033)1)111111222462111111(D)(C)446442111111166664(6)设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若[A=2,|B=3,则分块矩阵(°4)的伴随矩阵为(B O)3B*2B*O(B)A3A*02A(D)(3B*0B(7) 设随机变量X 的分布函数为F(t)=0.30(x)+0.7o(号),其中Φ(x)为标准正态分布函数，则EX
(A)当 收敛时, 收敛. (B)当 发散时, 发散. (C)当 收敛时, 收敛. (D)当 发散时, 发散. (5)设 是 3 维向量空间 的一组基,则由基 到基 的过渡矩阵为 (A) (B) (C) (D) (6)设 均为 2 阶矩阵, 分别为 的伴随矩阵,若 ,则分块矩阵 的伴随矩阵为 (A) (B) (C) (D) (7)设随机变量 的分布函数为 ,其中 为标准正态分布函数,则 1 n n b = 1 n n n a b = 1 n n b = 1 n n n a b = 1 n n b = 2 2 1 n n n a b = 1 n n b = 2 2 1 n n n a b = 1 2 3 α , , α α 3 R 1 2 3 1 1 , , 2 3 α α α 1 2 2 3 3 1 α + + + α , , α α α α 1 0 1 2 2 0 0 3 3 1 2 0 0 2 3 103 1 1 1 2 4 6 1 1 1 2 4 6 1 1 1 2 4 6 − − − 1 1 1 2 2 2 1 1 1 4 4 4 1 1 1 6 6 6 − − − A, B * * A B, A, B A B = = 2, 3 O A B O * * 3 2 O B A O * * 2 3 O B A O * * 3 2 O A B O * * 2 3 O A B O X ( ) ( ) 1 0.3 0.7 2 x F x x − = + ( x) EX =
(A) 0(B) 0.3(D) 1(C) 0. 7(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为P(Y=0)=P(Y=1)=,记Fz(=)为随机变量Z=XY 的分布函数，则函数Fz()的间断点个数为(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）(9)设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，z=f(x,xy)，则82axdy(10）若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay+by=0的通解为y=(C+Czx)e，则非齐次方程y"+ay+by=x满足条件y(0)=2,y(0)=0的解为y=,(11)已知曲线L:y=x(0≤x≤~2),则[,xds=(12) 设2= (x, y,=)]x2 + y2 +2 ≤1) , 则[ =2dxdydz=(13)若3维列向量a,β满足a'β=2，其中a为α的转置,则矩阵βa的非零特征值为(14)设X,Xz,X为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，x和s?分别为样本均值和样本方差.若x+ks?为np?的无偏估计量，则
(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1 (8)设随机变量 与 相互独立,且 服从标准正态分布 , 的概率分布为 ,记 为随机变量 的分布 函数,则函数 的间断点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题 纸指定位置上.) (9) 设 函 数 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , , 则 . (10)若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ,则非齐次方程 满足条件 的解为 . (11)已知曲线 ,则 . (12)设 ,则 . (13)若 3 维列向量 满足 ,其中 为 的转置,则矩阵 的非零特征值为 . (14)设 为来自二项分布总体 的简单随机样本, 和 分别为样本均值和样本方差.若 为 的无偏估计量,则 X Y X N (0,1) Y 1 0 1 2 P Y P Y = = = = F z Z ( ) Z XY = F z Z ( ) f u v ( , ) z f x xy = ( , ) 2 z x y = y ay by + + = 0 ( 1 2 )e x y C C x = + y ay by x + + = y y (0 2, 0 0 ) = = ( ) y = ( ) 2 L y x x : 0 2 = L xds = ( ) 2 2 2 = + + x y z x y z , , 1 2 z dxdydz = α,β 2 T α β = T α α T βα 1 2 , , , X X X m B n p ( , ) X 2 S 2 X kS + 2 np
k=三、解答题（15一23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值（16）（本题满分9分）设a为曲线y=x"与y=x(n=1,2,）所围成区域的面积，记S-Za,S,-aam-,求s与S,的值n=ln=l
. 三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位 置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 9 分) 求二元函数 的极值. (16)(本题满分 9 分) 设 为曲线 与 所围成区域的面积, 记 ,求 与 的值. k = ( ) 2 2 f x y x y y y ( , ) 2 ln = + + n a n y x = ( ) 1 1, 2,. n y x n + = = 1 2 2 1 1 1 , n n n n S a S a − = = = = 1 S 2 S
(17)(本题满分11分）椭球面S是椭圆兰+兰=1绕x轴旋转而成，圆锥面S，是过点(4,0)+43且与椭圆兴+y2同=1相切的直线绕轴旋转而成，+43(1)求S, 及S, 的方程。(2)求S，与S，之间的立体体积
(17)(本题满分 11 分) 椭球面 是椭圆 绕 轴旋转而成,圆锥面 是过点 且与椭圆 相切的直线绕 轴旋转而成. (1)求 及 的方程. (2)求 与 之间的立体体积. 1 S 2 2 1 4 3 x y + = x 2 S (4, 0) 2 2 1 4 3 x y + = x 1 S 2 S 1 S 2 S
（18）（本题满分11分）(1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,bl上连续，在(a,b)可导,则存在e(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'()(b-a) :(2)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0,S)(8>0)内可导，且lim f"(x)=A,则f:(0) 存在,且fi(0)= A（19）（本题满分10分）
(18)(本题满分 11 分) (1)证明拉格朗日中值定理:若函数 在 上连续,在 可导,则存在 ,使得 . (2)证明:若函数 在 处连续,在 内可导,且 ,则 存在,且 (19)(本题满分 10 分) f x( ) a b, ( , ) a b (a b, ) f b f a f b a ( ) − = − ( ) ( )( ) f x( ) x = 0 (0, 0 )( ) ( ) 0 lim x f x A → + = f + (0) f A + (0) =
计算曲面积分1=+d+，其中是曲面W(x2 +y2 +2)2x2+2y2+22=4的外侧（20）（本题满分11分）
计 算 曲 面 积 分 , 其 中 是 曲 面 的外侧. (20)(本题满分 11 分) ( ) 3 2 2 2 2 xdydz ydzdx zdxdy I x y z + + = + + 2 2 2 2 2 4 x y z + + =
设A：0-4-2-2(1)求满足A5, =5 的 .A,=5,的所有向量,,5.(2)对(1)中的任意向量2，5，证明，52，53无关（21)（本题满分11分）设二次型(x,2,)=ax +ax2+(a-1)x+2xx-2x.(1)求二次型的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f的规范形为+，求a的值
设 , (1)求满足 的 . 的所有向量 , . (2)对(1)中 的任意向量 , 证明 无关. (21)(本题满分 11 分) 设二次型 . (1)求二次型 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型 的规范 形为 ,求 的值. 1 1 1 1 1 1 0 4 2 − − = − − − A 1 1 1 2 − = − ξ Aξ2 1 = ξ 2 ξ 2 A ξ3 1 = ξ 2 ξ 3 ξ 2 ξ 3 ξ 1 2 3 ξ , , ξ ξ ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 f x x x ax ax a x x x x x , , 1 2 2 = + + − + − f f 2 2 1 2 y y + a
22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求p(X=1Z=0)．(2)求二维随机变量(X,Y)概率分布23）（本题满分11分）[a"xe-x,x>0,其中参数(>0)未知，设总体X的概率密度为f(x）=0,其他X，X，X，是来自总体Y的简单随机样本(1）求参数入的矩估计量
(22)(本题满分 11 分) 袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与3 个白球,现有回放地从袋中取 两次,每次取一球,以 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与 白球的个数. (1) 求 . (2)求二维随机变量 概率分布 (23)(本题满分 11 分) 设总体 的概率密度为 ,其中参数 未知, , ,. 是来自总体 的简单随机样本. (1)求参数 的矩估计量. X Y Z , , p X Z = = 1 0 ( X Y, ) X 2 , 0 ( ) 0, x xe x f x − = 其他 ( 0) X1 X2 X n X