考研数学历年真题：2016考研数学二真题

新东方在线考研[http://kaoyan.koolearn.com]新东方在线考研权威解析2016考真题、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.设a=x(cosx-1)，a,=/ln(1+/)，a,=/x+1-1.当x→0+时，以(1）上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是(A)a,a,ag(B) az,ag,a(D) as,a2,a(c) az,aj,a[2(x-1), x<1,(2）已知函数f(x)=则f(x）的一个原函数是Inx,x≥1, (x-1)2, x<1.(x-1)2,x<1.(A) F(x)=(B) F(x)=x(lnx-1), x≥1.[x(nx+1)-1, x≥1.(x-1)2,(x-1)*,x<1.x<1. :(D) F(x) =(C) F(x)=x(lnx-1)+1, x≥1.x(lnx+1)+1, x≥1.+01（3）反常积分①°。edx,②e*dx的敛散性为x2（A）①收敛，②收敛.（B）①收敛，②发散（C）①收敛，②收敛.（D）①收敛，②发散（4）设函数f(x)在（-o0,+oo)内连续，求导函数的图形如图所示，则（A）函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(αx)有2个拐点(B）函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点(C）函数f(x)有3个极值点，曲线y=(x)有1个拐点D）函数f(x）有3个极值点，曲线y=f(x）有2个拐点(5）设函数f(x)(i=1,2)具有二阶连续导数，且f(）<0(i=1,2)，若两条曲线y=f(x)(i=1,2)在点(xo,yo)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f(x)的曲率大于曲线y=f(x)的曲率，则在x的某个领域内，有(A) f(x)≤f(x)≤g(x)(B) f(x)≤ f(x)≤g(x)我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！

新东方在线考研 [http://kaoyan.koolearn.com ] 新东方在线考研权威解析 2016 考真题 1 我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！ 一、选择：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合要求的. （1） 设 1 a x x = − (cos 1) ， 3 2 a x x = + ln(1 )， 3 3 a x = + −1 1.当 x 0 → + 时，以 上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是 （A） 1 2 3 a a a , , . （B） 2 3 1 a a a , , . （C） 213 a a a , , . （D） 3 2 1 a a a , , . （2）已知函数 2( 1), 1, ( ) ln , 1, x x f x x x  −  =    则 f x( ) 的一个原函数是 （A） 2 ( 1) , 1. ( ) (ln 1), 1. x x F x x x x  −  =   −  （B） 2 ( 1) , 1. ( ) (ln 1) 1, 1. x x F x x x x  −  =   + −  （C） 2 ( 1) , 1. ( ) (ln 1) 1, 1. x x F x x x x  −  =   + +  （D） 2 ( 1) , 1. ( ) (ln 1) 1, 1. x x F x x x x  −  =   − +  （3）反常积分 1 0 2 1 x e dx x − ① ， 1 + 2 0 1 x e dx x  ② 的敛散性为 （A） ① 收敛，② 收敛.（B） ① 收敛，② 发散. （C） ① 收敛，② 收敛.（D） ① 收敛，② 发散. （4）设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 内连续，求导函数的图形如图所示，则 （A）函数 f x( ) 有 2 个极值点，曲线 y f x = ( ) 有 2 个拐点. （B）函数 f x( ) 有 2 个极值点，曲线 y f x = ( ) 有 3 个拐点. （C）函数 f x( ) 有 3 个极值点，曲线 y f x = ( ) 有 1 个拐点. （D）函数 f x( ) 有 3 个极值点，曲线 y f x = ( ) 有 2 个拐点. （5）设函数 ( )( 1,2) i f x i = 具有二阶连续导数，且 0 ( ) 0( 1,2) i f x i  = ，若两条曲线 ( )( 1,2) i y f x i = = 在点 0 0 ( , ) x y 处具有公切线 y g x = ( ) ，且在该点处曲线 1 y f x = ( ) 的曲率 大于曲线 2 y f x = ( ) 的曲率，则在 0 x 的某个领域内，有 （A） 1 2 f x f x g x ( ) ( ) ( )   （B） 2 1 f x f x g x ( ) ( ) ( )  

新东方在线考研[http://kaoyan.koolearn.com]新东方在线考研权威解析2016考真题(C) f(x)≤g(x)≤f2(x)(D) (x)≤g(x)≤f(x)er(6）已知函数f(x,J)=，则x-y(A) f.-f,=0(B) f +f,=0(C) f-f,=f(D) f+f,=f（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）A与BT相似（B）A-与B-相似(C）A+A"与B+B’相似（D）A+A-与B+B-相似(8)设二次型(,）=a(+x+)+2x+2x+2x的正、负惯性指数分别为1,2，则(A) a>l(B) a<-2(c) -2<a<1(D)a=1与a=-2二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。x（9）曲线y+arctan(1+x）的斜渐近线方程为1+x2211n+2sin=（10）极限lim-(sin=+nsin"-nnnn（11）以y=x-e"和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为(12)已知函数f(x)在(-0,+o0)上连续，且f(x)=(x+1)+2[f(t)dt，则当n≥2时，2我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！

新东方在线考研 [http://kaoyan.koolearn.com ] 新东方在线考研权威解析 2016 考真题 2 我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！ （C） 1 2 f x g x f x ( ) ( ) ( )   （D） 2 1 f x g x f x ( ) ( ) ( )   （6）已知函数 ( , ) x e f x y x y = − ，则 （A） ' ' 0 x y f f − = （B） ' ' 0 x y f f + = （C） ' ' x y f f f − = （D） ' ' x y f f f + = （7）设 A ， B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是 （A） T A 与 T B 相似 （B） 1 A − 与 1 B − 相似 （C） T A A + 与 T B B+ 相似 （D） 1 A A− + 与 1 B B− + 相似 （8）设二次型 222 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x a x x x x x x x x x ( , , ) ( ) 2 2 2 = + + + + + 的正、负惯性指数分别 为 1,2，则 （A） a 1 （B） a −2 （C） −   2 1 a （D） a =1 与 a =−2 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。 （9）曲线 3 2 2 arctan(1 ) 1 x y x x = + + + 的斜渐近线方程为_. （10）极限 2 1 1 2 lim (sin 2sin sin ) n n n → n n n n + + + = _. （11）以 2 x y x e = − 和 2 y x = 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_. （12）已知函数 f x( ) 在 ( , ) − + 上连续，且 2 0 ( ) ( 1) 2 ( )d x f x x f t t = + +  ，则当 n  2 时

新东方在线考研[http://kaoyan.koolearn.com]新东方在线考研权威解析2016考真题f(n)(O) =（13）已知动点P在曲线y=x"上运动，记坐标原点与点P间的距离为1.若点P的横坐标时间的变化率为常数vo，则当点P运动到点（1,1)时，1对时间的变化率是10a-1 -110-11等价，则a=（14）设矩阵-1 a -1与101][-1-1 a]解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分10分）（16）（本题满分10分）2-x2dt(x>0)，求f(x)并求f(x)的最小值设函数f(x)=（17）（本题满分10分）已知函数z=z(xJ)由方程(x2+y)z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x,y)的极值（18）（本题满分10分）2-xy-y设D是由直线y=1，y=x，y=-x围成的有界区域，计算二重积分dxdyx?+y?（19）（本题满分10分）已知y(x)=e，y2(x)=u(x)e是二阶微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y+2y=0的解，若u(-1)=e，u(O)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。（20）（本题满分11分）ECOS设D是由曲线y=1-x(0≤x≤1)与围成的平面区域，求D绕x2y=sin'1轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。（21）（本题满分11分）.31上连续，在(0,3元cOSx已知f(x)在[0)内是函数的一个原函数f(0)=0。222x-3元3元（1）求f(x)在区间[0,1上的平均值；23元（I）证明(x)在区间(O,)内存在唯一零点。23我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！

新东方在线考研 [http://kaoyan.koolearn.com ] 新东方在线考研权威解析 2016 考真题 3 我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！ ( ) (0) n f = _. （13）已知动点 P 在曲线 3 y x = 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标 时间的变化率为常数 0 v ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时，l 对时间的变化率是 _. （14）设矩阵 1 1 1 1 1 1 a a a   − −   − −       − − 与 1 1 0 0 1 1 1 0 1     −       等价，则 a = _. 解答题：15~23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） （16）（本题满分 10 分） 设函数 1 2 2 0 f x t x dt x ( ) ( 0) = −   ，求 ' f x( ) 并求 f x( ) 的最小值. （17）（本题满分 10 分） 已知函数 z z x y = ( , ) 由方程 2 2 ( ) ln 2( 1) 0 x y z z x y + + + + + = 确定，求 z z x y = ( , ) 的极值. （18）（本题满分 10 分） 设 D 是由直线 y = 1，y x = ，y x = − 围成的有界区域，计算二重积分 2 2 2 2 . D x xy y dxdy x y − − +  （19）（本题满分 10 分） 已知 1 ( ) x y x e = ， 2 ( ) ( ) x y x u x e = 是二阶微分方程 (2 1) (2 1) ' 2 0 n x y x y y − − + + = 的解，若 u e ( 1) − = ，u(0) 1 = − ，求 u x( ) ，并写出该微分方程的通解。 （20）（本题满分 11 分） 设 D 是由曲线 2 y x x = −   1 (0 1) 与 3 3 cos 0 sin 2 x t t y t  =          =   围成的平面区域，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。 （21）（本题满分 11 分） 已知 f x( ) 在 3 [0, ] 2  上连续，在 3 (0, ) 2  内是函数 cos 2 3 x x −  的一个原函数 f (0) 0 = 。 （Ⅰ）求 f x( ) 在区间 3 [0, ] 2  上的平均值； （Ⅱ）证明 f x( ) 在区间 3 (0, ) 2  内存在唯一零点

新东方在线考研[http://kaoyan.koolearn.com]新东方在线考研权威解析2016考真题（22）（本题满分11分）(011 1-a101设矩阵A=β=且方程组Ax=β无解。a(2a-2)(a+11a+1（I）求a的值；（II）求方程组AAx=Aβ的通解。（23）（本题满分11分）(0-1 1)22-30已知矩阵A=(o 00(1) 求A99（II）设3阶矩阵B=(α,αz,α）满足B=BA。记Bl00=(β,β2,β)，将β,β2,β,分别表示为α,αz,α,的线性组合。4我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！

新东方在线考研 [http://kaoyan.koolearn.com ] 新东方在线考研权威解析 2016 考真题 4 我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！ （22）（本题满分 11 分） 设矩阵 1 1 1 1 0 1 1 1 a A a a a   −   =       + + ， 0 1 2 2 a      =       − ，且方程组 Ax =  无解。 （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求方程组 T T A Ax A =  的通解。 （23）（本题满分 11 分） 已知矩阵 0 1 1 2 3 0 0 0 0 A   −   = −       （Ⅰ）求 99 A （Ⅱ）设 3 阶矩阵 1 2 3 B = ( , , )    满足 2 B BA = 。记 100 1 2 3 B = ( , , )    ，将 1 2 3    , , 分别 表示为 1 2 3    , , 的线性组合