考研数学历年真题：2017年考研数学三真题与答案

2017年考研数学三真题、选择题1一8小题.每小题4分，共32分[1-cos xx>01. 若函数f(x)=在x=0处连续，则axb,x≤011(B)ab:(C)ab=0(D)ab=2(A) ab:2211- cos /x1【详解】limf(x)=limlimlimf(x)=b=f(O)，要使函数在x=0处连续，02aaxaxx-→011必须满足=b=ab=·所以应该选（A）22a)2.二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是（(A) (0,0)(B) (0,3)(C) (3,0)(D) (1,1)OzOz=3x-x2-2xy,=y(3-x-j)-xy=3y-2xy-y2【详解】axdy* =-2y.%--2x 0= - = -3-2xax2Oy?"axoyOvox[% =3y-2x- =0ax解方程组，得四个驻点。对每个驻点验证AC－B2，发现只有在点(1,1)处满足==3x-×2 -2x=0ayAC-B2=3>0，且A=C=-20，则(C) F()>F(-1)/(D) [(1)f(-1)(B) f(I)0，也就是((x)"是单调增加函数。也就得到(f(1))>(f(-1)=[f(1)>[(-1),所以应该选 (C)[sin - In(I-1、若级数〗收敛，则k=（)1nnn=2L(A) 1(B) 2(C) -1(D) -21

1 2017 年考研数学三真题 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1．若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x          在 x  0 处连续，则 （A） 1 2 ab  （B） 1 2 ab   （C） ab  0 （D） ab  2 【详解】 0 0 0 1 1 cos 1 2 lim ( ) lim lim x x x 2 x x f x ax ax a           ， 0 lim ( ) (0) x f x b f     ，要使函数在 x  0 处连续， 必须满足 1 1 2 2 b ab a    ．所以应该选（A） 2．二元函数 z xy x y    (3 ) 的极值点是（ ） （A）(0,0) （B）( , ) 0 3 （C）( , ) 3 0 （D）( , ) 1 1 【详解】 2 (3 ) 3 2 z y x y xy y xy y x          ， 2 3 2 z x x xy y      ， 2 2 2 2 2 2 2 , 2 , 3 2 z z z z y x x x y x y y x                  解方程组 2 2 3 2 0 3 2 0 z y xy y x z x x xy y              ，得四个驻点．对每个驻点验证 2 AC B ，发现只有在点( , ) 1 1 处满足 2 AC B  3 0 ，且 A C    2 0，所以( , ) 1 1 为函数的极大值点，所以应该选（D） 3．设函数 f x( ) 是可导函数，且满足 f x f x ( ) ( ) 0   ，则 （A） f f (1) ( 1)   （B） f f ( ) ( ) 1 1   （C） f f ( ) ( ) 1 1   （D） f f ( ) ( ) 1 1   【详解】设 2 g x f x ( ) ( ( ))  ，则 g x f x f x   ( ) 2 ( ) ( ) 0   ，也就是   2 f x( ) 是单调增加函数．也就得到     2 2 f f f f (1) ( 1) (1) ( 1)      ，所以应该选（C） 4． 若级数 2 1 1 sin ln(1 ) n k n n            收敛，则k （ ） （A）1 （B） 2 （C） 1 （D） 2

)-(+)+【详解】 ivn→0时sin=-kln(1-)-—-k/-显然当且仅当(1+k)=0，也就是k=-1时，级数的一般项是关于的二阶无穷小，级数收敛，从而选择n(C).5.设α为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（A）E-αα不可逆（B）E+ααT不可逆（C）E+2αα不可逆（D）E-2αα不可逆【详解】矩阵αα的特征值为1和n-1个0，从而E-αα,E+ααE-2αα,E+2αα的特征值分；-1,1,1,,1；3,1,1,…,1。显然只有E-αα存在零特征值，所以不可逆，别为0,1,1,.1；2,1,1,..,1;应该选（A).(2 0 0)(21 0)(100)0200021B=20，则6.已知矩阵A=C(o 0(002)(001)1(A）A,C 相似，B,C 相似(B）A,C相似，B,C不相似(C）A,C不相似，B,C相似（D）A,C不相似，B,C不相似【详解】矩阵A,B的特征值都是==2,2=1：是否可对解化，只需要关心入=2的情况，(000)00-1，秩等于1，也就是矩阵A属于特征值元=2存在两个线性无关的对于矩阵A，2E-A=(o 01特征向量，也就是可以对角化，也就是A～C.(0 -1 0)0对于矩阵B，2E-B=0秩等于2，也就是矩阵A属于特征值入=2只有一个线性无关的(o01特征向量，也就是不可以对角化，当然B,C不相似故选择（B)。7.设A,B，C是三个随机事件，且A,C相互独立，B,C相互独立，则AUB与C相互独立的充分必要条件是（)（A）A,B相互独立（B）A,B互不相容(C) AB,C相互独立（D）AB,C互不相容【详解】2

2 【详解】iv n  时 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin ln(1 ) (1 ) 2 2 k k k o k o n n n n n n n n n                                   显然当且仅当(1 ) 0   k ，也就是 k  1时，级数的一般项是关于 1 n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择 （C）． 5．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则 （A） T E  不可逆 （B） T E  不可逆 （C） 2 T E   不可逆 （D） 2 T E   不可逆 【详解】矩阵 T  的特征值为1和 n 1个 0 ，从而 , , 2 , 2 T T T T E E E E         的特征值分 别为0,1,1, 1  ； 2,1,1, ,1  ；1,1,1, ,1  ；3,1,1, ,1  ．显然只有 T E  存在零特征值，所以不可逆， 应该选（A）． 6．已知矩阵 2 0 0 0 2 1 0 0 1 A            ， 2 1 0 0 2 0 0 0 1 B            ， 1 0 0 0 2 0 0 0 2 C            ，则 （A） A C, 相似， B C, 相似 （B） A C, 相似， B C, 不相似 （C） A C, 不相似， B C, 相似 （D） A C, 不相似， B C, 不相似 【详解】矩阵 A B, 的特征值都是 1 2 3       2, 1．是否可对解化，只需要关心  2 的情况． 对于矩阵 A ， 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 E A              ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值  2 存在两个线性无关的 特征向量，也就是可以对角化，也就是 A C~ ． 对于矩阵 B ， 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 E B              ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值  2 只有一个线性无关的 特征向量，也就是不可以对角化，当然 B C, 不相似故选择（B）． 7．设 A B, ，C 是三个随机事件，且 A C, 相互独立， B C, 相互独立，则 A B  与C 相互独立的充分必要 条件是（ ） （A） A B, 相互独立 （B） A B, 互不相容 （C） AB C, 相互独立 （D） AB C, 互不相容 【详解】

P(AU B)C)= P(AC + AB)= P(AC)+ P(BC)- P(ABC)= P(A)P(C)+ P(B)P(C)- P(ABC)P(AUB)P(C)=(P(A)+ P(B)- P(AB)P(C)= P(A)P(C)+ P(B)P(C)- P(AB)P(C)显然，AUB与C相互独立的充分必要条件是P(ABC)=P(AB)P(C)，所以选择（C)8.设X,X2,,X,(n≥2)为来自正态总体N(μ,1)的简单随机样本，若X-x,，则下列结论中不ni=正确的是（）(A）(X,-)服从分布(B)2(X-X)服从x2分布i=l(C)(X,-X)服从分布(D）n(X-μ)服从×分布解：(1)显然(X,-μ)~N(0,1)=(X,-μ) ~x(1),i=1,2,-n且相互独立，所以Z(X,-μ)服从x（n)分布，也就是（A）结论是正确的；(2) ≥(x,-) =(n-D)s=_ ("-~(n-1), 所以 (C) 结论也是正确的;a=(3) 注意~N(μ,)=Vn(-)~N(0,1)=n(X-μ) ~(I), 所以 (D) 结论也是正确的;(4) 对于选项(B): (X,-X)~N(0,2)=~N(0,)=(X,-X)~2(),所以 (B)结V2论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9."(sinx+元2-x)dx=解：由对称性知（sinx+√元2-x)dx=2]V元2-xdx=O10.差分方程y+1-2y,=2'的通解为【详解】齐次差分方程yt+1-2y,=0的通解为y=C2"；设y-2y,=2'的特解为y,=at2"，代入方程，得a=所以差分方程y+1-2y,=2'的通解为y=C2'+2211.设生产某产品的平均成本C(Q)=1+e-°，其中产量为Q，则边际成本为3

3 P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        显然， A B  与C 相互独立的充分必要条件是 P ABC P AB P C ( ) ( ) ( )  ，所以选择（C ）． 8．设 1 2 , , , ( 2) X X X n  n  为来自正态总体 N( ,1)  的简单随机样本，若 1 1 n i i X X n    ，则下列结论中不 正确的是（ ） （A） 2 1 ( ) n i i X     服从 2  分布 （B）   2 1 2 X X n  服从 2  分布 （C） 2 1 ( ) n i i X X    服从 2  分布 （D） 2 n X( )   服从 2  分布 解：（1）显然 2 2 ( ) ~ (0,1) ( ) ~ (1), 1,2, X N X i n i i         且相互独立，所以 2 1 ( ) n i i X     服从 2  ( ) n 分布，也就是（A）结论是正确的； （2） 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( ) ( 1) ~ ( 1) n i i n S X X n S n           ，所以（C）结论也是正确的； （3）注意 1 2 2 X N n X N n X ~ ( , ) ( ) ~ (0,1) ( ) ~ (1) n         ，所以（D）结论也是正确的； （4）对于选项（B）： 1 2 2 1 1 1 ( ) ~ (0, 2) ~ (0,1) ( ) ~ (1) 2 2 n n n X X X X N N X X       ，所以（B）结 论是错误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9． 3 2 2 (sin ) x x dx         ． 解：由对称性知 3 3 2 2 2 2 0 (sin ) 2 2 x x dx x dx               ． 10．差分方程 1 2 2t t t y y    的通解为 ． 【详解】齐次差分方程 1 2 0 t t y y    的通解为 2x y C ； 设 1 2 2t t t y y    的特解为 2t t y at  ，代入方程，得 1 2 a  ； 所以差分方程 1 2 2t t t y y    的通解为 1 2 2 . 2 t t y C t   11．设生产某产品的平均成本 ( ) 1 Q C Q e   ，其中产量为Q ，则边际成本为

【详解】答案为1+(1-Q)e-0平均成本C(Q)=1+e-°，则总成本为C(Q)=QC(Q)=Q+Qe-°，从而边际成本为C()=1+(1-)e-012.设函数f(x,y)具有一阶连续的偏导数，且已知df(x,y)=ye'dx+x(1+y)e'dy，f(0,0)=0，则f(x,y)=【详解】df(x,y)=ye'dx+x(1+y)edy=d(xye')，所以f(x,y)=xye"+C，由f(0,0)=0，得C=0，所以 f(x, y) = xye*.(1 0 1)13.设矩阵A:-1α,αz,α,为线性无关的三维列向量，则向量组Aαi,Aαz,Aα,的秩(011为10010【详解】对矩阵进行初等变换A=-知矩阵A的秩为2，由于000010αi,αz,α,为线性无关，所以向量组Aα,Aαz,Aα,的秩为2.14.设随机变量X的概率分布为P(X=-2)=，P[X=1)=a,P[X=3)=b,若EX=0,则DX =【详解】显然由概率分布的性质，知a+b+2.b=EX =-2x+1xa+3xb=a+3b-1=0，解得a=24a9EX?=2+a+9b=DX = EX?- E(X):22三、解答题15.（本题满分10分）Vx-te'dt求极限limVx→0【详解】令x-t=u，则t=x-u,dt=-du，Vx-te'dtVuer-"d('Vx-te'dte'"f'Vue"du"Yue-"duVxe2lim=limlimlimVVVr3X~0*Exx-→0x-→>0x-→0*24

4 【详解】答案为1 (1 ) Q Q e   ． 平均成本 ( ) 1 Q C Q e   ，则总成本为 ( ) ( ) Q C Q QC Q Q Qe    ，从而边际成本为 ( ) 1 (1 ) . Q C Q Q e     12．设函数 f x y ( , ) 具有一阶连续的偏导数，且已知 ( , ) (1 ) y y df x y ye dx x y e dy    ， f (0,0) 0  ，则 f x y ( , )  【详解】 ( , ) (1 ) ( ) y y y df x y ye dx x y e dy d xye     ，所以 ( , ) y f x y xye C   ，由 f (0,0) 0  ，得C  0 ， 所以 ( , ) y f x y xye  ． 13．设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A            ， 1 2 3    , , 为线性无关的三维列向量，则向量组 1 2 3 A A A    , , 的秩 为 ． 【详解】对矩阵进行初等变换 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 A                      ，知矩阵 A 的秩为 2，由于 1 2 3    , , 为线性无关，所以向量组 1 2 3 A A A    , , 的秩为 2． 14．设随机变量 X 的概率分布为   1 2 2 P X    ， P X a    1 ， P X b    3 ，若 EX  0 ，则 DX  ． 【详解】显然由概率分布的性质，知 1 1 2 a b    1 2 1 3 3 1 0 2 EX a b a b            ，解得 1 1 , 4 4 a b   2 9 2 9 2 EX a b     ， 2 2 9 ( ) 2 DX EX E X    ． 三、解答题 15．（本题满分 10 分） 求极限 0 0 3 lim x t x x te dt x     【详解】令 x t u   ，则t x u dt du     , ， 0 0 x x t x u x te dt ue du      0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 2 lim lim lim lim 3 3 2 x x x t x u u x x x x x x te dt e ue du ue du xe x x x x                   

16.（本题满分10分）y3计算积分门dxdy，其中D是第一象限中以曲线y=√与x轴为边界的无界区域.(1+ x2 + yt)【详解】dxdxdy = [+x +y*y:(1+x+y)" dardi+r+y)(1+x? +y')-()-(-号)17.（本题满分10分）求limkIn1+【详解】由定积分的定义limkk1/kin/1+=limx In(1+ x)dx-ln/1+nnn-→nin1-['ln(1+ x)dr2 - !N18.（本题满分10分）1已知方程k在区间（0,1）内有实根，确定常数k的取值范围，In(1 + x)x11【详解】设f(x),xE(0,1)，则In(1+x)x11(1+x)ln(1+x)-x2f'(x)=(1+x)ln2(1+x)x2x(1 +x) ln(1 +x)令 g(x)=(1+x)ln(1+x)-x2, 则g(0)= 0,g(1)=2 ln22-1g(x)= ln2(1+x)-21n(1+x)-2x,g(0)=0g()=2(n+-0,x(0,),所以g()在(0,)上单调减少,1+x由于g(0)=0，所以当xE(0,1)时，g(x)<g'0)=0,也就是g(x)g(x)在(0,1)上单调减少，当x(0,1)时，g(x)<g(0)=0，进一步得到当xe(0,1)时，(x)<0，也就是f(x)在(0,1)上单调减少1111x-ln(1+x)11lim f(x) = limlim2(0)1，也就是得到-1<k<2ln2In2In(1 + x)xln(1+x)x-→0*x5

5 16．（本题满分 10 分） 计算积分 3 2 4 2 (1 ) D y dxdy   x y  ，其中 D 是第一象限中以曲线 y x  与 x 轴为边界的无界区域． 【详解】 3 3 2 4 2 2 4 2 0 0 2 4 2 4 2 0 0 2 2 0 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 4 (1 ) 1 1 1 2 1 4 1 1 2 8 2 x D x y y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x                                       17．（本题满分 10 分） 求 2 1 lim ln 1 n n k k k   n n         【详解】由定积分的定义 1 2 0 1 1 1 2 0 1 lim ln 1 lim ln 1 ln(1 ) 1 1 ln(1 ) 2 4 n n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx                             18．（本题满分 10 分） 已知方程 1 1 ln(1 ) k x x    在区间(0,1) 内有实根，确定常数k 的取值范围． 【详解】设 1 1 ( ) , (0,1) ln(1 ) f x x x x     ，则 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 )ln (1 ) ( ) (1 )ln (1 ) (1 )ln (1 ) x x x f x x x x x x x             令 2 2 g x x x x ( ) (1 )ln (1 )     ，则 2 g g (0) 0, (1) 2ln 2 1    2 g x x x x g   ( ) ln (1 ) 2ln(1 ) 2 , (0) 0       2(ln(1 ) ) ( ) 0, (0,1) 1 x x g x x x        ，所以 g x ( )在(0,1) 上单调减少， 由于 g(0) 0  ，所以当 x(0,1)时，g x g   ( ) 0) 0   ，也就是 g x( ) g x ( )在(0,1) 上单调减少，当 x(0,1) 时， g x g ( ) (0) 0   ，进一步得到当 x(0,1)时， f x ( ) 0  ，也就是 f x( ) 在(0,1) 上单调减少． 0 0 0 1 1 ln(1 ) 1 lim ( ) lim lim x x x ln(1 ) ln(1 ) 2 x x f x x x x x                     ， 1 (1) 1 ln 2 f   ，也就是得到 1 1 1 ln 2 2    k ．

19.（本题满分10分）1(na,+an-)(n=1,2,3..),，S(x)为幂级数a,x"的和函数设α=1,a,=0,a+=n+1nao（1）证明a,x"的收敛半径不小于1.n=0(2）证明(1-x)S(x)-xS(x)=0(xe(-1,1))，并求出和函数的表达式【详解】（1）由条件aa+1(na,+a,-)=(n+1)an+i=na,+an-In+11也就得到(n+1(a-α,)=-(aα,-αa,-),， 也就得到m-α=-n+,n=1,2...an-an-11- _ -α × , ---x,- = (-1)*(n+1)!a,-aga, -aoa,-an-I an-1-an-21也就得到aa+1-α,=(-1)1,n=1,2,..(n+1)!-1)4+11anI =(an -a,)+(a,-a,-)+...+(a,-a)+a, =k!k=2++≤lim"e=1，所以收敛半径R≥1p= lim /la,|≤lim,V2!3!n!(2）所以对于幂级数a,x"，1，所以由和函数的性质，可得S(x)=Ena,x"-福Wreln=0Zna,x(1-x)(*)=(-)2ma,-)-Znaxn=ln=lN1C(n+1)an+x"-)Zna,xns0n=l=a, +E(n+ 1)an+1 - na,)x"n=11Za,l=+Za,x"= ()n=0n=07=l也就是有(1-x)S'(x)-xS(x)=0(xE(-1,1).Ce-由于S(0)=a=1，得C=1解微分方程(1-x)S(x)-xS(x)=0，得S(x)1所以S(x)=6

6 19．（本题满分 10 分） 设 0 1 1 1 1 1, 0, ( )( 1, 2,3 ), 1 n n n a a a na a n n          ， S x( ) 为幂级数 0 n n n a x    的和函数 （1）证明 0 n n n a x    的收敛半径不小于1． （2）证明(1 ) ( ) ( ) 0( ( 1,1))      x S x xS x x  ，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) 1 n n n n n n a na a n a na a n            也就得到 1 1 ( 1)( ) ( ) n n n n n a a a a        ，也就得到 1 1 1 , 1,2, 1 n n n n a a n a a n          1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 ( 1) ( 1)! n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n                       也就得到 1 1 1 ( 1) , 1, 2, ( 1)! n n n a a n n         1 1 1 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) ! n k n n n n n k a a a a a a a a k                  1 1 1 lim lim lim 1 2! 3! ! n n n n n n n a e n             ，所以收敛半径 R 1 （2）所以对于幂级数 0 n n n a x    ， 由和函数的性质，可得 1 1 ( ) n n n S x na x       ，所以 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 (1 ) ( ) (1 ) ( 1) (( 1) ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x S x x na x na x na x n a x na x a n a na x a x a x x a x xS x                                                   也就是有(1 ) ( ) ( ) 0( ( 1,1))      x S x xS x x  ． 解微分方程(1 ) ( ) ( ) 0    x S x xS x  ，得 ( ) 1 x Ce S x x    ，由于 0 S a (0) 1   ，得C 1 所以 ( ) 1 x e S x x    ．

20.（本题满分11分）设三阶矩阵A=（α,αz,α）有三个不同的特征值，且α=α,+2αz(1) 证明： r(A)=2;(2）若β=α,+αz,α，求方程组Ax=β的通解。【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是r(A)≥1.假若r(A)=1时，则r=0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A)≥2，又因为α-α+2αz=0，也就是α,α2,α,线性相关，r(A)<3，也就只有r(A)=2.(2)因为r(A)=2，所以 Ax=0的基础解系中只有一个线性无关的解向量。由于α,-α, +2α,=0，所以基础解系为x又由β=α,+αz,α，得非齐次方程组Ax=β的特解可取为1方程组Ax=β的通解为x其中k为任意常数。121.（本题满分11分）设二次型f(x,,）=2x-x+ax+2xx-8xx+2x5在正交变换x=Oy下的标准形为+y，求a的值及一个正交矩阵Q.21 -4)-1 1【详解】二次型矩阵A：1(-41a)因为二次型的标准形为+.也就说明矩阵A有零特征值，所以A=0，故α=2[3-1-14[E- A| =元+11=2(+3)(-6)14-1元-2令E-A=0得矩阵的特征值为=-3,=6,=0.7

7 20．（本题满分 11 分） 设三阶矩阵 A     1 2 3 , ,  有三个不同的特征值，且 3 1 2      2 . （1）证明：r A( ) 2  ； （2）若 1 2 3       , ，求方程组 Ax   的通解． 【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是 r A( ) 1  ． 假 若 r A( ) 1  时 ， 则 r  0 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值 ， 与 条 件 不 符 合 ， 所 以 有 r A( ) 2  ， 又 因 为 3 1 2       2 0 ，也就是 1 2 3    , , 线性相关， r A( ) 3  ，也就只有 r A( ) 2  ． （2）因为r A( ) 2  ，所以 Ax  0的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于 3 1 2       2 0 ，所 以基础解系为 1 2 1 x             ； 又由 1 2 3       , ，得非齐次方程组 Ax   的特解可取为 1 1 1           ； 方程组 Ax   的通解为 1 1 2 1 1 1 x k                        ，其中k 为任意常数． 21．（本题满分 11 分） 设 二 次 型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2       在 正 交 变 换 x Qy  下 的 标 准 形 为 2 2 1 1 2 2   y y  ，求 a 的值及一个正交矩阵Q ． 【详解】二次型矩阵 2 1 4 1 1 1 4 1 A a             因为二次型的标准形为 2 2 1 1 2 2   y y  ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A  0，故a  2. 1 1 4 1 1 1 ( 3)( 6) 4 1 2 E A                  令 E A   0 得矩阵的特征值为 1 2 3        3, 6, 0 ．

属于特征值特通过分别解方程组（2,E一A)x=0得矩阵的属于特征值3的特征向量征值=6的特征向量=0的特征向量2V61111210为所求正交矩阵。所以Q=(51,52,5)3N6111T63222.（本题满分11分）1设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为PX=0=P(X=2)，Y的概率密度为2[2y,0<y<1f(y)=0,其他1）求概率P(Y≤EY)：（2）求Z=X+Y的概率密度【详解】(1) EY=[yf,(v)dy=f"2y-dy=所以 P(Y≤EY)= P[≤)=J32ydy=oC31（2）Z=X+Y的分布函数为F,(z)=P(Z≤z)= P(X+Y≤z)= P[X+Y≤z,X =0)+P(X+Y≤z,X=2)= P(X =0,Y ≤z)+P(X =2,Y≤z-2)P(Y≤2)+P(Y≤=-2)22[F,(2) + F,(≥-2)]故Z=X+Y的概率密度为J(2)=F2(2)=[F(2)+ f(=-2)0≤z≤1二，=3z-2,2≤z<3[o，其他23.（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量u是已知的，设9

8 通过分别解方程组( ) 0 i E A x   得矩阵的属于特征值 1   3 的特征向量 1 1 1 1 3 1             ，属于特征值特 征值 2   6 的特征向量 2 1 1 0 2 1              ， 3   0 的特征向量 3 1 1 2 6 1             ， 所以   1 2 3 1 1 1 3 2 6 1 2 , , 0 3 6 1 1 1 3 2 6 Q              为所求正交矩阵． 22．（本题满分 11 分） 设 随 机 变 量 X Y, 相 互 独 立 ， 且 X 的 概 率 分 布 为   1 0 { 2} 2 P X P X     ， Y 的 概 率 密 度 为 2 ,0 1 ( ) 0, y y f y       其他 ． （1）求概率 P Y EY （  ）； （2）求 Z X Y   的概率密度． 【详解】（1） 1 2 0 2 ( ) 2 . 3 EY yf y dy y dy Y        所以   2 3 0 2 4 2 . 3 9 P Y EY P Y ydy             （2） Z X Y   的分布函数为                 ( ) , 0 , 2 0, 2, 2 1 1 { } 2 2 2 1 ( ) ( 2) 2 Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z                             故 Z X Y   的概率密度为   1 ( ) ( ) ( ) ( 2) 2 , 0 1 2,2 3 0, Z Z f z F z f z f z z z z z                 其他 23．（本题满分 11 分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量  是已知的，设

n次测量结果X,XX相互独立且均服从正态分布Nu,α）该工程师记录的是n次测量的绝对误差Z.=X-川.(i=1,2,...,n)，利用Z,Z....,z.估计参数o（1）求Z,的概率密度；（2）利用一阶矩求?的矩估计量：（3）求参数最大似然估计量，【详解】（1）先求Z,的分布函数为F2(a)=P(Z,≤2)=P([X,-≤:)=P[-μ0,i=1,2,…n时2"似然函数为 L(α)=Lf(z,o) :(V2元0)"i=l取对数得：In L(o)=nln2-"lIn(2元)-nln2g22令dinL(a)==0，得参数最大似然估计量为I31-2doai9

9 n 次测量结果 1 2 , , , X X X  n 相互独立且均服从正态分布 2 N( , ).   该工程师记录的是 n 次测量的绝对误 差 ,( 1, 2, , ) Z X i n i i      ，利用 1 2 , , , Z Z Z  n 估计参数 ． （1）求 Zi 的概率密度； （2）利用一阶矩求 的矩估计量； （3）求参数 最大似然估计量． 【详解】（1）先求 Zi 的分布函数为 ( )     i Z i i X z F z P Z z P X z P                   当 z  0 时，显然 ( ) 0 F z Z  ； 当 z  0 时， ( ) 2 1     i Z i i X z z F z P Z z P X z P                             ； 所以 Zi 的概率密度为 2 2 2 2 , 0 ( ) ( ) 2 0, 0 z Z Z e z f z F z z              ． （2）数学期望 2 2 2 0 0 2 2 ( ) 2 2 z EZ z f z dz ze dz i             ， 令 1 1 n i i EZ Z Z n     ，解得 的矩估计量 1 2 2 2 2 n i i Z Z n        ． （3）设 1 2 , , , Z Z Z  n 的观测值为 1 2 , , , n z z z  ．当 0, 1,2, i z i n    时 似然函数为 2 2 1 1 2 1 2 ( ) ( , ) ( 2 ) n i i n n z i n i L f z e            ， 取对数得： 2 2 1 1 ln ( ) ln 2 ln(2 ) ln 2 2 n i i n L n n z           令 2 3 1 ln ( ) 1 0 n i i d L n z d           ，得参数 最大似然估计量为 2 1 1 n i i z n     ．