
2017年考研数学三真题、选择题1一8小题.每小题4分,共32分[1-cos xx>01. 若函数f(x)=在x=0处连续,则axb,x≤011(B)ab:(C)ab=0(D)ab=2(A) ab:2211- cos /x1【详解】limf(x)=limlimlimf(x)=b=f(O),要使函数在x=0处连续,02aaxaxx-→011必须满足=b=ab=·所以应该选(A)22a)2.二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是((A) (0,0)(B) (0,3)(C) (3,0)(D) (1,1)OzOz=3x-x2-2xy,=y(3-x-j)-xy=3y-2xy-y2【详解】axdy* =-2y.%--2x 0= - = -3-2xax2Oy?"axoyOvox[% =3y-2x- =0ax解方程组,得四个驻点。对每个驻点验证AC-B2,发现只有在点(1,1)处满足==3x-×2 -2x=0ayAC-B2=3>0,且A=C=-20,则(C) F()>F(-1)/(D) [(1)f(-1)(B) f(I)0,也就是((x)"是单调增加函数。也就得到(f(1))>(f(-1)=[f(1)>[(-1),所以应该选 (C)[sin - In(I-1、若级数〗收敛,则k=()1nnn=2L(A) 1(B) 2(C) -1(D) -21
1 2017 年考研数学三真题 一、选择题 1—8 小题.每小题 4 分,共 32 分. 1.若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x 在 x 0 处连续,则 (A) 1 2 ab (B) 1 2 ab (C) ab 0 (D) ab 2 【详解】 0 0 0 1 1 cos 1 2 lim ( ) lim lim x x x 2 x x f x ax ax a , 0 lim ( ) (0) x f x b f ,要使函数在 x 0 处连续, 必须满足 1 1 2 2 b ab a .所以应该选(A) 2.二元函数 z xy x y (3 ) 的极值点是( ) (A)(0,0) (B)( , ) 0 3 (C)( , ) 3 0 (D)( , ) 1 1 【详解】 2 (3 ) 3 2 z y x y xy y xy y x , 2 3 2 z x x xy y , 2 2 2 2 2 2 2 , 2 , 3 2 z z z z y x x x y x y y x 解方程组 2 2 3 2 0 3 2 0 z y xy y x z x x xy y ,得四个驻点.对每个驻点验证 2 AC B ,发现只有在点( , ) 1 1 处满足 2 AC B 3 0 ,且 A C 2 0,所以( , ) 1 1 为函数的极大值点,所以应该选(D) 3.设函数 f x( ) 是可导函数,且满足 f x f x ( ) ( ) 0 ,则 (A) f f (1) ( 1) (B) f f ( ) ( ) 1 1 (C) f f ( ) ( ) 1 1 (D) f f ( ) ( ) 1 1 【详解】设 2 g x f x ( ) ( ( )) ,则 g x f x f x ( ) 2 ( ) ( ) 0 ,也就是 2 f x( ) 是单调增加函数.也就得到 2 2 f f f f (1) ( 1) (1) ( 1) ,所以应该选(C) 4. 若级数 2 1 1 sin ln(1 ) n k n n 收敛,则k ( ) (A)1 (B) 2 (C) 1 (D) 2

)-(+)+【详解】 ivn→0时sin=-kln(1-)-—-k/-显然当且仅当(1+k)=0,也就是k=-1时,级数的一般项是关于的二阶无穷小,级数收敛,从而选择n(C).5.设α为n单位列向量,E为n阶单位矩阵,则(A)E-αα不可逆(B)E+ααT不可逆(C)E+2αα不可逆(D)E-2αα不可逆【详解】矩阵αα的特征值为1和n-1个0,从而E-αα,E+ααE-2αα,E+2αα的特征值分;-1,1,1,,1;3,1,1,…,1。显然只有E-αα存在零特征值,所以不可逆,别为0,1,1,.1;2,1,1,..,1;应该选(A).(2 0 0)(21 0)(100)0200021B=20,则6.已知矩阵A=C(o 0(002)(001)1(A)A,C 相似,B,C 相似(B)A,C相似,B,C不相似(C)A,C不相似,B,C相似(D)A,C不相似,B,C不相似【详解】矩阵A,B的特征值都是==2,2=1:是否可对解化,只需要关心入=2的情况,(000)00-1,秩等于1,也就是矩阵A属于特征值元=2存在两个线性无关的对于矩阵A,2E-A=(o 01特征向量,也就是可以对角化,也就是A~C.(0 -1 0)0对于矩阵B,2E-B=0秩等于2,也就是矩阵A属于特征值入=2只有一个线性无关的(o01特征向量,也就是不可以对角化,当然B,C不相似故选择(B)。7.设A,B,C是三个随机事件,且A,C相互独立,B,C相互独立,则AUB与C相互独立的充分必要条件是()(A)A,B相互独立(B)A,B互不相容(C) AB,C相互独立(D)AB,C互不相容【详解】2
2 【详解】iv n 时 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin ln(1 ) (1 ) 2 2 k k k o k o n n n n n n n n n 显然当且仅当(1 ) 0 k ,也就是 k 1时,级数的一般项是关于 1 n 的二阶无穷小,级数收敛,从而选择 (C). 5.设 为 n 单位列向量, E 为 n 阶单位矩阵,则 (A) T E 不可逆 (B) T E 不可逆 (C) 2 T E 不可逆 (D) 2 T E 不可逆 【详解】矩阵 T 的特征值为1和 n 1个 0 ,从而 , , 2 , 2 T T T T E E E E 的特征值分 别为0,1,1, 1 ; 2,1,1, ,1 ;1,1,1, ,1 ;3,1,1, ,1 .显然只有 T E 存在零特征值,所以不可逆, 应该选(A). 6.已知矩阵 2 0 0 0 2 1 0 0 1 A , 2 1 0 0 2 0 0 0 1 B , 1 0 0 0 2 0 0 0 2 C ,则 (A) A C, 相似, B C, 相似 (B) A C, 相似, B C, 不相似 (C) A C, 不相似, B C, 相似 (D) A C, 不相似, B C, 不相似 【详解】矩阵 A B, 的特征值都是 1 2 3 2, 1.是否可对解化,只需要关心 2 的情况. 对于矩阵 A , 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 E A ,秩等于 1 ,也就是矩阵 A 属于特征值 2 存在两个线性无关的 特征向量,也就是可以对角化,也就是 A C~ . 对于矩阵 B , 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 E B ,秩等于 2 ,也就是矩阵 A 属于特征值 2 只有一个线性无关的 特征向量,也就是不可以对角化,当然 B C, 不相似故选择(B). 7.设 A B, ,C 是三个随机事件,且 A C, 相互独立, B C, 相互独立,则 A B 与C 相互独立的充分必要 条件是( ) (A) A B, 相互独立 (B) A B, 互不相容 (C) AB C, 相互独立 (D) AB C, 互不相容 【详解】

P(AU B)C)= P(AC + AB)= P(AC)+ P(BC)- P(ABC)= P(A)P(C)+ P(B)P(C)- P(ABC)P(AUB)P(C)=(P(A)+ P(B)- P(AB)P(C)= P(A)P(C)+ P(B)P(C)- P(AB)P(C)显然,AUB与C相互独立的充分必要条件是P(ABC)=P(AB)P(C),所以选择(C)8.设X,X2,,X,(n≥2)为来自正态总体N(μ,1)的简单随机样本,若X-x,,则下列结论中不ni=正确的是()(A)(X,-)服从分布(B)2(X-X)服从x2分布i=l(C)(X,-X)服从分布(D)n(X-μ)服从×分布解:(1)显然(X,-μ)~N(0,1)=(X,-μ) ~x(1),i=1,2,-n且相互独立,所以Z(X,-μ)服从x(n)分布,也就是(A)结论是正确的;(2) ≥(x,-) =(n-D)s=_ ("-~(n-1), 所以 (C) 结论也是正确的;a=(3) 注意~N(μ,)=Vn(-)~N(0,1)=n(X-μ) ~(I), 所以 (D) 结论也是正确的;(4) 对于选项(B): (X,-X)~N(0,2)=~N(0,)=(X,-X)~2(),所以 (B)结V2论是错误的,应该选择(B)二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)9."(sinx+元2-x)dx=解:由对称性知(sinx+√元2-x)dx=2]V元2-xdx=O10.差分方程y+1-2y,=2'的通解为【详解】齐次差分方程yt+1-2y,=0的通解为y=C2";设y-2y,=2'的特解为y,=at2",代入方程,得a=所以差分方程y+1-2y,=2'的通解为y=C2'+2211.设生产某产品的平均成本C(Q)=1+e-°,其中产量为Q,则边际成本为3
3 P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 显然, A B 与C 相互独立的充分必要条件是 P ABC P AB P C ( ) ( ) ( ) ,所以选择(C ). 8.设 1 2 , , , ( 2) X X X n n 为来自正态总体 N( ,1) 的简单随机样本,若 1 1 n i i X X n ,则下列结论中不 正确的是( ) (A) 2 1 ( ) n i i X 服从 2 分布 (B) 2 1 2 X X n 服从 2 分布 (C) 2 1 ( ) n i i X X 服从 2 分布 (D) 2 n X( ) 服从 2 分布 解:(1)显然 2 2 ( ) ~ (0,1) ( ) ~ (1), 1,2, X N X i n i i 且相互独立,所以 2 1 ( ) n i i X 服从 2 ( ) n 分布,也就是(A)结论是正确的; (2) 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( ) ( 1) ~ ( 1) n i i n S X X n S n ,所以(C)结论也是正确的; (3)注意 1 2 2 X N n X N n X ~ ( , ) ( ) ~ (0,1) ( ) ~ (1) n ,所以(D)结论也是正确的; (4)对于选项(B): 1 2 2 1 1 1 ( ) ~ (0, 2) ~ (0,1) ( ) ~ (1) 2 2 n n n X X X X N N X X ,所以(B)结 论是错误的,应该选择(B) 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上) 9. 3 2 2 (sin ) x x dx . 解:由对称性知 3 3 2 2 2 2 0 (sin ) 2 2 x x dx x dx . 10.差分方程 1 2 2t t t y y 的通解为 . 【详解】齐次差分方程 1 2 0 t t y y 的通解为 2x y C ; 设 1 2 2t t t y y 的特解为 2t t y at ,代入方程,得 1 2 a ; 所以差分方程 1 2 2t t t y y 的通解为 1 2 2 . 2 t t y C t 11.设生产某产品的平均成本 ( ) 1 Q C Q e ,其中产量为Q ,则边际成本为

【详解】答案为1+(1-Q)e-0平均成本C(Q)=1+e-°,则总成本为C(Q)=QC(Q)=Q+Qe-°,从而边际成本为C()=1+(1-)e-012.设函数f(x,y)具有一阶连续的偏导数,且已知df(x,y)=ye'dx+x(1+y)e'dy,f(0,0)=0,则f(x,y)=【详解】df(x,y)=ye'dx+x(1+y)edy=d(xye'),所以f(x,y)=xye"+C,由f(0,0)=0,得C=0,所以 f(x, y) = xye*.(1 0 1)13.设矩阵A:-1α,αz,α,为线性无关的三维列向量,则向量组Aαi,Aαz,Aα,的秩(011为10010【详解】对矩阵进行初等变换A=-知矩阵A的秩为2,由于000010αi,αz,α,为线性无关,所以向量组Aα,Aαz,Aα,的秩为2.14.设随机变量X的概率分布为P(X=-2)=,P[X=1)=a,P[X=3)=b,若EX=0,则DX =【详解】显然由概率分布的性质,知a+b+2.b=EX =-2x+1xa+3xb=a+3b-1=0,解得a=24a9EX?=2+a+9b=DX = EX?- E(X):22三、解答题15.(本题满分10分)Vx-te'dt求极限limVx→0【详解】令x-t=u,则t=x-u,dt=-du,Vx-te'dtVuer-"d('Vx-te'dte'"f'Vue"du"Yue-"duVxe2lim=limlimlimVVVr3X~0*Exx-→0x-→>0x-→0*24
4 【详解】答案为1 (1 ) Q Q e . 平均成本 ( ) 1 Q C Q e ,则总成本为 ( ) ( ) Q C Q QC Q Q Qe ,从而边际成本为 ( ) 1 (1 ) . Q C Q Q e 12.设函数 f x y ( , ) 具有一阶连续的偏导数,且已知 ( , ) (1 ) y y df x y ye dx x y e dy , f (0,0) 0 ,则 f x y ( , ) 【详解】 ( , ) (1 ) ( ) y y y df x y ye dx x y e dy d xye ,所以 ( , ) y f x y xye C ,由 f (0,0) 0 ,得C 0 , 所以 ( , ) y f x y xye . 13.设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A , 1 2 3 , , 为线性无关的三维列向量,则向量组 1 2 3 A A A , , 的秩 为 . 【详解】对矩阵进行初等变换 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 A ,知矩阵 A 的秩为 2,由于 1 2 3 , , 为线性无关,所以向量组 1 2 3 A A A , , 的秩为 2. 14.设随机变量 X 的概率分布为 1 2 2 P X , P X a 1 , P X b 3 ,若 EX 0 ,则 DX . 【详解】显然由概率分布的性质,知 1 1 2 a b 1 2 1 3 3 1 0 2 EX a b a b ,解得 1 1 , 4 4 a b 2 9 2 9 2 EX a b , 2 2 9 ( ) 2 DX EX E X . 三、解答题 15.(本题满分 10 分) 求极限 0 0 3 lim x t x x te dt x 【详解】令 x t u ,则t x u dt du , , 0 0 x x t x u x te dt ue du 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 2 lim lim lim lim 3 3 2 x x x t x u u x x x x x x te dt e ue du ue du xe x x x x

16.(本题满分10分)y3计算积分门dxdy,其中D是第一象限中以曲线y=√与x轴为边界的无界区域.(1+ x2 + yt)【详解】dxdxdy = [+x +y*y:(1+x+y)" dardi+r+y)(1+x? +y')-()-(-号)17.(本题满分10分)求limkIn1+【详解】由定积分的定义limkk1/kin/1+=limx In(1+ x)dx-ln/1+nnn-→nin1-['ln(1+ x)dr2 - !N18.(本题满分10分)1已知方程k在区间(0,1)内有实根,确定常数k的取值范围,In(1 + x)x11【详解】设f(x),xE(0,1),则In(1+x)x11(1+x)ln(1+x)-x2f'(x)=(1+x)ln2(1+x)x2x(1 +x) ln(1 +x)令 g(x)=(1+x)ln(1+x)-x2, 则g(0)= 0,g(1)=2 ln22-1g(x)= ln2(1+x)-21n(1+x)-2x,g(0)=0g()=2(n+-0,x(0,),所以g()在(0,)上单调减少,1+x由于g(0)=0,所以当xE(0,1)时,g(x)<g'0)=0,也就是g(x)g(x)在(0,1)上单调减少,当x(0,1)时,g(x)<g(0)=0,进一步得到当xe(0,1)时,(x)<0,也就是f(x)在(0,1)上单调减少1111x-ln(1+x)11lim f(x) = limlim2(0)1,也就是得到-1<k<2ln2In2In(1 + x)xln(1+x)x-→0*x5
5 16.(本题满分 10 分) 计算积分 3 2 4 2 (1 ) D y dxdy x y ,其中 D 是第一象限中以曲线 y x 与 x 轴为边界的无界区域. 【详解】 3 3 2 4 2 2 4 2 0 0 2 4 2 4 2 0 0 2 2 0 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 4 (1 ) 1 1 1 2 1 4 1 1 2 8 2 x D x y y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x 17.(本题满分 10 分) 求 2 1 lim ln 1 n n k k k n n 【详解】由定积分的定义 1 2 0 1 1 1 2 0 1 lim ln 1 lim ln 1 ln(1 ) 1 1 ln(1 ) 2 4 n n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx 18.(本题满分 10 分) 已知方程 1 1 ln(1 ) k x x 在区间(0,1) 内有实根,确定常数k 的取值范围. 【详解】设 1 1 ( ) , (0,1) ln(1 ) f x x x x ,则 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 )ln (1 ) ( ) (1 )ln (1 ) (1 )ln (1 ) x x x f x x x x x x x 令 2 2 g x x x x ( ) (1 )ln (1 ) ,则 2 g g (0) 0, (1) 2ln 2 1 2 g x x x x g ( ) ln (1 ) 2ln(1 ) 2 , (0) 0 2(ln(1 ) ) ( ) 0, (0,1) 1 x x g x x x ,所以 g x ( )在(0,1) 上单调减少, 由于 g(0) 0 ,所以当 x(0,1)时,g x g ( ) 0) 0 ,也就是 g x( ) g x ( )在(0,1) 上单调减少,当 x(0,1) 时, g x g ( ) (0) 0 ,进一步得到当 x(0,1)时, f x ( ) 0 ,也就是 f x( ) 在(0,1) 上单调减少. 0 0 0 1 1 ln(1 ) 1 lim ( ) lim lim x x x ln(1 ) ln(1 ) 2 x x f x x x x x , 1 (1) 1 ln 2 f ,也就是得到 1 1 1 ln 2 2 k .

19.(本题满分10分)1(na,+an-)(n=1,2,3..),,S(x)为幂级数a,x"的和函数设α=1,a,=0,a+=n+1nao(1)证明a,x"的收敛半径不小于1.n=0(2)证明(1-x)S(x)-xS(x)=0(xe(-1,1)),并求出和函数的表达式【详解】(1)由条件aa+1(na,+a,-)=(n+1)an+i=na,+an-In+11也就得到(n+1(a-α,)=-(aα,-αa,-),, 也就得到m-α=-n+,n=1,2...an-an-11- _ -α × , ---x,- = (-1)*(n+1)!a,-aga, -aoa,-an-I an-1-an-21也就得到aa+1-α,=(-1)1,n=1,2,..(n+1)!-1)4+11anI =(an -a,)+(a,-a,-)+...+(a,-a)+a, =k!k=2++≤lim"e=1,所以收敛半径R≥1p= lim /la,|≤lim,V2!3!n!(2)所以对于幂级数a,x",1,所以由和函数的性质,可得S(x)=Ena,x"-福Wreln=0Zna,x(1-x)(*)=(-)2ma,-)-Znaxn=ln=lN1C(n+1)an+x"-)Zna,xns0n=l=a, +E(n+ 1)an+1 - na,)x"n=11Za,l=+Za,x"= ()n=0n=07=l也就是有(1-x)S'(x)-xS(x)=0(xE(-1,1).Ce-由于S(0)=a=1,得C=1解微分方程(1-x)S(x)-xS(x)=0,得S(x)1所以S(x)=6
6 19.(本题满分 10 分) 设 0 1 1 1 1 1, 0, ( )( 1, 2,3 ), 1 n n n a a a na a n n , S x( ) 为幂级数 0 n n n a x 的和函数 (1)证明 0 n n n a x 的收敛半径不小于1. (2)证明(1 ) ( ) ( ) 0( ( 1,1)) x S x xS x x ,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) 1 n n n n n n a na a n a na a n 也就得到 1 1 ( 1)( ) ( ) n n n n n a a a a ,也就得到 1 1 1 , 1,2, 1 n n n n a a n a a n 1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 ( 1) ( 1)! n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n 也就得到 1 1 1 ( 1) , 1, 2, ( 1)! n n n a a n n 1 1 1 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) ! n k n n n n n k a a a a a a a a k 1 1 1 lim lim lim 1 2! 3! ! n n n n n n n a e n ,所以收敛半径 R 1 (2)所以对于幂级数 0 n n n a x , 由和函数的性质,可得 1 1 ( ) n n n S x na x ,所以 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 (1 ) ( ) (1 ) ( 1) (( 1) ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x S x x na x na x na x n a x na x a n a na x a x a x x a x xS x 也就是有(1 ) ( ) ( ) 0( ( 1,1)) x S x xS x x . 解微分方程(1 ) ( ) ( ) 0 x S x xS x ,得 ( ) 1 x Ce S x x ,由于 0 S a (0) 1 ,得C 1 所以 ( ) 1 x e S x x .

20.(本题满分11分)设三阶矩阵A=(α,αz,α)有三个不同的特征值,且α=α,+2αz(1) 证明: r(A)=2;(2)若β=α,+αz,α,求方程组Ax=β的通解。【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A是非零矩阵,也就是r(A)≥1.假若r(A)=1时,则r=0是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有r(A)≥2,又因为α-α+2αz=0,也就是α,α2,α,线性相关,r(A)<3,也就只有r(A)=2.(2)因为r(A)=2,所以 Ax=0的基础解系中只有一个线性无关的解向量。由于α,-α, +2α,=0,所以基础解系为x又由β=α,+αz,α,得非齐次方程组Ax=β的特解可取为1方程组Ax=β的通解为x其中k为任意常数。121.(本题满分11分)设二次型f(x,,)=2x-x+ax+2xx-8xx+2x5在正交变换x=Oy下的标准形为+y,求a的值及一个正交矩阵Q.21 -4)-1 1【详解】二次型矩阵A:1(-41a)因为二次型的标准形为+.也就说明矩阵A有零特征值,所以A=0,故α=2[3-1-14[E- A| =元+11=2(+3)(-6)14-1元-2令E-A=0得矩阵的特征值为=-3,=6,=0.7
7 20.(本题满分 11 分) 设三阶矩阵 A 1 2 3 , , 有三个不同的特征值,且 3 1 2 2 . (1)证明:r A( ) 2 ; (2)若 1 2 3 , ,求方程组 Ax 的通解. 【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以 A 是非零矩阵,也就是 r A( ) 1 . 假 若 r A( ) 1 时 , 则 r 0 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值 , 与 条 件 不 符 合 , 所 以 有 r A( ) 2 , 又 因 为 3 1 2 2 0 ,也就是 1 2 3 , , 线性相关, r A( ) 3 ,也就只有 r A( ) 2 . (2)因为r A( ) 2 ,所以 Ax 0的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于 3 1 2 2 0 ,所 以基础解系为 1 2 1 x ; 又由 1 2 3 , ,得非齐次方程组 Ax 的特解可取为 1 1 1 ; 方程组 Ax 的通解为 1 1 2 1 1 1 x k ,其中k 为任意常数. 21.(本题满分 11 分) 设 二 次 型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形 为 2 2 1 1 2 2 y y ,求 a 的值及一个正交矩阵Q . 【详解】二次型矩阵 2 1 4 1 1 1 4 1 A a 因为二次型的标准形为 2 2 1 1 2 2 y y .也就说明矩阵 A 有零特征值,所以 A 0,故a 2. 1 1 4 1 1 1 ( 3)( 6) 4 1 2 E A 令 E A 0 得矩阵的特征值为 1 2 3 3, 6, 0 .

属于特征值特通过分别解方程组(2,E一A)x=0得矩阵的属于特征值3的特征向量征值=6的特征向量=0的特征向量2V61111210为所求正交矩阵。所以Q=(51,52,5)3N6111T63222.(本题满分11分)1设随机变量X,Y相互独立,且X的概率分布为PX=0=P(X=2),Y的概率密度为2[2y,0<y<1f(y)=0,其他1)求概率P(Y≤EY):(2)求Z=X+Y的概率密度【详解】(1) EY=[yf,(v)dy=f"2y-dy=所以 P(Y≤EY)= P[≤)=J32ydy=oC31(2)Z=X+Y的分布函数为F,(z)=P(Z≤z)= P(X+Y≤z)= P[X+Y≤z,X =0)+P(X+Y≤z,X=2)= P(X =0,Y ≤z)+P(X =2,Y≤z-2)P(Y≤2)+P(Y≤=-2)22[F,(2) + F,(≥-2)]故Z=X+Y的概率密度为J(2)=F2(2)=[F(2)+ f(=-2)0≤z≤1二,=3z-2,2≤z<3[o,其他23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n次测量,该物体的质量u是已知的,设9
8 通过分别解方程组( ) 0 i E A x 得矩阵的属于特征值 1 3 的特征向量 1 1 1 1 3 1 ,属于特征值特 征值 2 6 的特征向量 2 1 1 0 2 1 , 3 0 的特征向量 3 1 1 2 6 1 , 所以 1 2 3 1 1 1 3 2 6 1 2 , , 0 3 6 1 1 1 3 2 6 Q 为所求正交矩阵. 22.(本题满分 11 分) 设 随 机 变 量 X Y, 相 互 独 立 , 且 X 的 概 率 分 布 为 1 0 { 2} 2 P X P X , Y 的 概 率 密 度 为 2 ,0 1 ( ) 0, y y f y 其他 . (1)求概率 P Y EY ( ); (2)求 Z X Y 的概率密度. 【详解】(1) 1 2 0 2 ( ) 2 . 3 EY yf y dy y dy Y 所以 2 3 0 2 4 2 . 3 9 P Y EY P Y ydy (2) Z X Y 的分布函数为 ( ) , 0 , 2 0, 2, 2 1 1 { } 2 2 2 1 ( ) ( 2) 2 Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z 故 Z X Y 的概率密度为 1 ( ) ( ) ( ) ( 2) 2 , 0 1 2,2 3 0, Z Z f z F z f z f z z z z z 其他 23.(本题满分 11 分) 某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量 是已知的,设

n次测量结果X,XX相互独立且均服从正态分布Nu,α)该工程师记录的是n次测量的绝对误差Z.=X-川.(i=1,2,...,n),利用Z,Z....,z.估计参数o(1)求Z,的概率密度;(2)利用一阶矩求?的矩估计量:(3)求参数最大似然估计量,【详解】(1)先求Z,的分布函数为F2(a)=P(Z,≤2)=P([X,-≤:)=P[-μ0,i=1,2,…n时2"似然函数为 L(α)=Lf(z,o) :(V2元0)"i=l取对数得:In L(o)=nln2-"lIn(2元)-nln2g22令dinL(a)==0,得参数最大似然估计量为I31-2doai9
9 n 次测量结果 1 2 , , , X X X n 相互独立且均服从正态分布 2 N( , ). 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误 差 ,( 1, 2, , ) Z X i n i i ,利用 1 2 , , , Z Z Z n 估计参数 . (1)求 Zi 的概率密度; (2)利用一阶矩求 的矩估计量; (3)求参数 最大似然估计量. 【详解】(1)先求 Zi 的分布函数为 ( ) i Z i i X z F z P Z z P X z P 当 z 0 时,显然 ( ) 0 F z Z ; 当 z 0 时, ( ) 2 1 i Z i i X z z F z P Z z P X z P ; 所以 Zi 的概率密度为 2 2 2 2 , 0 ( ) ( ) 2 0, 0 z Z Z e z f z F z z . (2)数学期望 2 2 2 0 0 2 2 ( ) 2 2 z EZ z f z dz ze dz i , 令 1 1 n i i EZ Z Z n ,解得 的矩估计量 1 2 2 2 2 n i i Z Z n . (3)设 1 2 , , , Z Z Z n 的观测值为 1 2 , , , n z z z .当 0, 1,2, i z i n 时 似然函数为 2 2 1 1 2 1 2 ( ) ( , ) ( 2 ) n i i n n z i n i L f z e , 取对数得: 2 2 1 1 ln ( ) ln 2 ln(2 ) ln 2 2 n i i n L n n z 令 2 3 1 ln ( ) 1 0 n i i d L n z d ,得参数 最大似然估计量为 2 1 1 n i i z n .