考研数学历年真题：2016考研数学一真题-答案

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上，1(1）若反常积分』。(1+x)ad收敛,则(A) a1.(B) a>1且b > 1(C) a 1.(D) a>1且a+b>1.【答案】(C)dx【解析】排除法.根据被积函数特点，取a=0，(1+x)=-6(+)-1m(+x)-1)收敛，只需保证b>1即可.说明，a<1可以使原广义积分收敛，排除 Blin1-b和D.xdx[ (1+ x) - 1dx = [ dx [*_1dx再取a=-1,b=2，(1+ x)2 Jo1+xJo (1+x)3(1+x)?= In(1 + x)*+=+80，发散，说明满足A的条件，但是原广义积分发散，排除A.(2) 已知两数(s)=[2(x-1),1则 ()的一个原菌数是CIn x,x≥l,(x - 1)2, x <1,(x - 1)2,x < 1,(A) F(x) =(B) F(x) =[x(ln x - 1), x ≥ 1.x(1n x + 1) - 1, x ≥ 1.(x - 1)2,(x - 1)2,x<1,x< 1,(D) F(x) =(C) F(x) =x(1n x +1) + 1, x ≥ 1.x(1n x - 1) + 1, x ≥ 1.【答案】(D)【解析】当x<1时，F(x)=[2(x-1)dx=x2-2x+C;当x≥1时，F(x)=Jinxdx=xlnx-x+C2;且limF(x)=lim(x2-2x+C)=-1+Cj,lim F(x)= lim(xlnx-x+C,)=-1+C,. 由 lim F(x)= limF(x)=F(I)可知: C=C,I

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 1 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 一、选择题:1  8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1) 若反常积分 0 1 ( ) 1 a b dx x x    收敛，则 ( ) (A) a  1且b  1. (B) a  1且b  1. (C) a  1且 a b   1. (D) a  1且 a b   1. 【答案】(C) 【解析】排除法.根据被积函数特点，取a  0 ， 1 0 0 1 (1 ) (1 ) 1 b b dx x x b         1 1 1 [ lim 1] 1 (1 )b b x x      收敛，只需保证b 1即可.说明， a 1可以使原广义积分收敛，排除 B 和 D. 再取a b    1, 2 ， 2 2 2 0 0 0 0 (1 ) 1 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) xdx x dx dx dx x x x x                  0 0 1 ln(1 ) 1 x x         ，发散，说明满足 A 的条件，但是原广义积分发散，排除 A. (2) 已知函数 2 1 1 1 ( ), , ( ) ln , , x x f x x x        则 f x( )的一个原函数是 （ ） (A) 2 1 1 1 1 ( ) , , ( ) (ln ), . x x F x x x x         (B) 2 1 1 1 1 1 ( ) , , ( ) (ln ) , . x x F x x x x          (C) 2 1 1 1 1 1 ( ) , , ( ) (ln ) , . x x F x x x x          (D) 2 1 1 1 1 1 ( ) , , ( ) (ln ) , . x x F x x x x          【答案】(D) 【解析】当 x 1时， 2 1 F x x dx x x C ( ) 2( 1) 2       ； 当 x 1时， 2 F x xdx x x x C ( ) ln ln      ；且 2 1 1 1 1 lim ( ) lim( 2 ) 1 x x F x x x C C           ， 2 2 1 1 lim ( ) lim( ln ) 1 x x F x x x x C C           .由 1 1 lim ( ) lim ( ) (1) x x F x F x F       可知：C C 1 2 

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案[×-2x+C,x<1.当C=1时，对应的原函数为D.取C,=C,=C，其原函数为F(x)：xlnx-x+C.x≥1(3)若=(1+x2)2+,=(1+x)+V+x是微分方程y+p(x)=q(x)的两个解，则g(x）=()xx(A) 3x(1 + x2). (B) -3x(1 + x2).(C)(D)1 + x21 + x2【答案】（A）【解析】因为y(x)=(1+x)2-/1+x和y(x)=(1+x)*+/1+x?为y+p(x)y=q(x)的两个解，那么，(x)-(x)=2V/1+x为+p(x)y=0的解.代入该齐次方程可得2xX+p(x).2/1+x=0,故，p(x)=-.再将y(x)=(1+x2)2+V1+x代入原方程可得/i+x?1+ xxx4x(1+ x)1[(+)+V1+)=g(),，所以，()=3(+x),， 选择AVi+x?x,x≤0,则(4）已知函数f(x）=()111= 1, 2,.nnn+ln(A）x=0是f(x)的第一类间断点(B）x=0是f(x)的第二类间断点(C）f(x)在x=0处连续但不可导.(D）f(x)在x=0处可导【答案】(D)1【解析】因为limf(x)=limx=0，limf(x)=lim=0，可得，limf(x)=limf(x)=f(0)，X-→0n-onx→0x-→0f(x)- f(O)x-0故f(x)在x=0点连续.又因为f"(O)=limlin1x-0x→0X→0-x-0111f(x)- f(0) .1nf'(0)= limlim而有n≤<n+l，当x→0+时，n→<x≤x-0x→0*x-0n+1X→01x1n+1可得1≤1(x→0t），那么f(0)=1.所以，f(x）在x=0点可导.选择D.nnx2

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 2 取C C C 1 2   ，其原函数为 2 2 , 1 ( ) ln , 1 x x C x F x x x x C x           .当C 1时，对应的原函数为 D. (3) 若 2 2 2 2 2 2 y x x y x x         ( ) , ( ) 1 1 1 1 是微分方程 y p x y q x    ( ) ( ) 的两个解，则q x( )  （ ） (A) 2 3 1 x x ( ).  (B) 2   3 1 x x ( ). (C) 2 1 . x  x (D) 2 1 . x x   【答案】(A) 【解析】因为 2 2 2 1 y x x x ( ) (1 ) 1     和 2 2 2 2 y x x x ( ) (1 ) 1     为 y p x y q x    ( ) ( ) 的两个解， 那么， 2 2 1 y x y x x ( ) ( ) 2 1    为 y p x y    ( ) 0的解.代入该齐次方程可得 2 2 2 ( ) 2 1 0 1 x p x x x      ，故， 2 ( ) 1 x p x x    .再将 2 2 2 2 y x x x ( ) (1 ) 1     代入原方程可得 2 2 2 2 2 2 4 (1 ) [(1 ) 1 ] ( ) 1 1 x x x x x x q x x x          ，所以， 2 q x x x ( ) 3 (1 )   ，选择 A. (4) 已知函数 0 1 1 1 1 2 1 , , ( ) , , , , , x x f x x n n n n             则 （ ） (A) x  0是 f x( )的第一类间断点. (B) x  0是 f x( )的第二类间断点. (C) f x( )在 x  0处连续但不可导. (D) f x( )在 x  0处可导. 【答案】(D) 【解析】因为 0 0 lim ( ) lim 0 x x f x x       ， 0 1 lim ( ) lim 0 x n f x n      ，可得， 0 0 lim ( ) lim ( ) (0) x x f x f x f       ， 故 f x( ) 在 x  0 点连续.又因为 0 0 ( ) (0) 0 (0) lim lim 1 x x 0 0 f x f x f x x              ， 0 0 1 ( ) (0) (0) lim lim x x 0 0 f x f n f x x            ，而 1 1 1 x n n    ，有 1 n n 1 x    ，当 x 0   时， n   ， 可得 1 1 1 1( 0 ) n x nx n       ，那么 f (0) 1    .所以， f x( ) 在 x  0 点可导.选择 D

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案(5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是(2(A）AT与BI相似(B）A-I与B-相似(C）A+A与B+B相似(D）A+A-"与B+B-"相似【答案】（C)【解析】A与B相似，即存在可逆矩阵P，使P-AP=B，则B"=(P-"AP) =P"A (P-") =P"A(P")"=(P")")"A(P")",即(A) 是正确说法;B-"=(P-"AP)"= P"A-"(P-")"= P-"A-"P,进一步有B+B-=P-AP+P-A-"P=P-(A+A-")P，即（B）（D）都是正确说法;故选（C）：(6）设二次型f(x2)=+x++4x+4x+4x，则f(）=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为(A）单叶双曲面.(B)双叶双曲面(C)椭球面.(D)柱面.【答案】（B）(1 22)2.2，由【解析】二次型f（，）对应的矩阵A=1(2 21)[2-1-2-2-2=(-5)(+1)° = 0[E-A|=-2元-1-2-2入-1得，A的特征值为=5,==-1，所以经过正交变换后，f(,2,)=5--于是(，xz,)=2表示曲面5y--y=2，是双叶双曲面.故选（B）。(7)设随机变量X~N(μ,α)(α>0),记p=P(X≤μ+2),则((A）p随着μ的增加而增加(B）p随着α的增加而增加3

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 3 (5) 设 A ，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是 ( ) (A) T A 与 T B 相似. (B) 1 A  与 1 B  相似. (C) T A A  与 T B B 相似. (D) 1 A A  与 1 B B  相似. 【答案】（C） 【解析】 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 P ，使 1 P AP B   ，则            1 1 1 1 1 1 T T T T T T T T T T T B P AP P A P P A P P A P           ，即（A）是正确说法；     1 1 1 1 1 1 1 1 1 B P AP P A P P A P             ，进一步有   1 1 1 1 1 1 B B P AP P A P P A A P            ，即（B）（D）都是正确说法； 故选（C）. (6) 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 4 4 4       ，则 1 2 3 f x x x ( , , ) 2  在空间直 角坐标下表示的二次曲面为 ( ) (A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C) 椭球面. (D)柱面. 【答案】（B） 【解析】二次型   1 2 3 f x x x , , 对应的矩阵 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A            ，由    2 1 2 2 2 1 2 5 1 0 2 2 1 E A                      得，A 的特征值为 1 2 3        5, 1，所以经过正交变换后，   2 2 2 1 2 3 1 2 3 f x x x y y y , , 5    ， 于是   1 2 3 f x x x , , 2  表示曲面 2 2 2 1 2 3 5 2 y y y    ，是双叶双曲面.故选（B）. (7) 设随机变量 2 X N ~ ( , ) ( 0)     ，记   2 p P X      ，则 ( ) (A) p 随着 的增加而增加. (B) p 随着 的增加而增加

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案(C)p随着μ的增加而减少(D）P随着的增加而减少【答案】B【解析】P(X ≤μ+g")=0("+o*-))=Φ(α)o由于正态分布的分布函数是单调递增的，所以PX≤μ+α随着α的增加而增加（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A，A，A，且三种结果发生的概率均为，将试验E独3立重复做2次，X表示2次试验中结果A发生的次数，Y表示2次试验中结果A发生的次数，则X与Y的相关系数为()1111(B)(C)(D)(A)131223【答案】（A)【解析】方法一：(X,Y)的概率分布为X201Y211019-992-92-91012009222E(XY)=E(X)=E(Y)所以CoV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=39984E(X)=E()=D(X)= D(Y)=991Cov(X,Y)所以相关系数Px=2/D(X) ·/D(Y)4

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 4 (C) p 随着  的增加而减少. (D) p 随着 的增加而减少. 【答案】B 【解析】 2 2 P X{ } ( ) ( )                由于正态分布的分布函数是单调递增的，所以 2 P X{ }     随着 的增加而增加. (8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 1 2 3 A A A , , ,且三种结果发生的概率均为 1 3 ,将试验 E 独 立重复做 2 次， X 表示 2 次试验中结果 1 A 发生的次数，Y 表示 2 次试验中结果 2 A 发生的次数， 则 X 与Y 的相关系数为 （ ） (A) 1 2  (B) 1 3  (C) 1 3 (D) 1 2 【答案】(A) 【解析】方法一： ( , ) X Y 的概率分布为 X Y 0 1 2 0 1 9 2 9 1 9 1 2 9 2 9 0 2 1 9 0 0 2 ( ) ( ) 3 E X E Y   ， 2 ( ) 9 E XY  ，所以 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) 9 Cov X Y E XY E X E Y     2 2 8 ( ) ( ) 9 E X E Y   ， 4 ( ) ( ) 9 D X D Y   所以相关系数 ( , ) 1 ( ) ( ) 2 XY Cov X Y D X D Y     

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案方法二：设Z表示2次试验中结果A发生的次数，则X+Y+Z=2。根据方差的性质有D(Y)=D(2-X-Z)=D(X+Z)=D(X)+D(Z)+2Cov(X,Z)，注意到D(Y)=D(X)=D(Z),Cov(X,Z)=Cov(X,Y)，从而 D(X)=-2Cov(X,Y)。所以根据相关Cov(X,Y)Cov(X,Y)1系数的定义有Pxy=29JD(X)/D(Y)VD(X)/D(X)二、填空题：9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上["tln(1+tsint)dt(9) lim=x->01-cosx?【答案】】2[' t In(1+ tsin t)dt['t In(1 + t sin t)dtx In(1+ x sin x)【解析】limlimlim2x311-cosx2r→(r(x-→>021xsinx= lim22x2(10)向量场A(x,y,)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=【答案】(O,1,y-1)+~jo+koarotA=【解析】=(0,1,y-1)OzayaxNxy+y+z(11)设函数(u,v)可微，z=z(x,y)由方程(x+1)z-y2=xf(x-z,y)确定，则dz l(o,1)=5

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 5 方法二： 设 Z 表示 2 次试验中结果 3 A 发生的次数，则 X Y Z    2。 根据方差的性质有 D Y D X Z D X Z D X D Z Cov X Z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) = 2 2        ，注意 到 D Y D X D Z Cov X Z Cov X Y ( ) ( ) ( ), ( , ) ( , )   = ，从而 D X Cov X Y ( ) ( , ) = 2  。所以根据相关 系数的定义有 1 = 2 XY Cov X Y Cov X Y D X D Y D X D X      ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 二、填空题：9  14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9)   0 2 0 ln 1 sin lim _. 1 cos x x t t t dt  x     【答案】 2 1 【解析】      2 0 0 1 cos ln(1 sin ) lim x t t t dt x x 4 0 0 2 1 ln(1 sin ) lim x t t t dt x x    3 0 2 ln(1 sin ) lim x x x x x    2 1 2 sin lim 2 0    x x x x . (10)向量场 A x y z x y z xy z  , ,        i j k 的旋度rotA  _. 【答案】(0,1, y 1) 【解析】  (0,1, 1)              y x y z xy z x y z i j k rot A (11) 设函数 f u v  ,  可微， z z x y   , 由方程    2 2 x z y x f x z y     1 , 确定，则 0,1 dz| _. 

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案【答案】-dx+2dy【解析】将x=0,y=1代入(x+1)z-y2=xf(x-z,y)得z=1(x+1)z-y2=x2f(x-z,y)两边对x求偏导得：Oz2+(++1)%=2对+x-(1-axax将x=0,y=1，≥=1代入上式得ax/(0,1)(x+l)z-y2=x2f(x-z,y)两边对y求偏导得：(+1)%-2y=x(" (-%)+f'ayoyOz将x=0,y=1，z=1代入上式得(0,1)=2，所以d(0,)=-dx+2dyayx(12)设函数f(x)=arctanx，且f"(0)=1，则a=1+ax2【答案】211- ax?-2x2ax(3-ax2)【解析】由已知得f(x）=f"(x)=(1+ax2)21 + x2(1+ x2)?(1 + ax2)3-2x2ax(3 -ax)(1+ x2)2(1 +ax2)3f"(x)- f"(0)所以f"(0)=limlim-2+6a,xx→0x-0x1即-2+6a=1，所以a20元-00入-10(13）行列式020-432入+1【答案】++2+3+46

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 6 【答案】 dx  2dy 【解析】将 x  0, y 1代入( 1) ( , ) 2 2 x  z  y  x f x  z y 得 z 1. ( 1) ( , ) 2 2 x  z  y  x f x  z y 两边对 x 求偏导得： 2 1 ( 1) 2 (1 ) z z z x xf x f x x            将 x  0, y 1， z 1代入上式得 1 (0,1)     x z . ( 1) ( , ) 2 2 x  z  y  x f x  z y 两边对 y 求偏导得： 2 1 2 ( 1) 2 ( ( ) ) z z x y x f f y y             将 x  0, y 1， z 1代入上式得 2 (0,1)    y z ，所以dz (0,1)   dx  2dy . (12) 设函数   2 arctan 1 x f x x ax    ，且 f 0 1   ，则 a  _ . 【答案】 2 1 【解析】由已知得 2 2 2 2 (1 ) 1 1 1 ( ) ax ax x f x       , 2 3 2 2 2 (1 ) 2 (3 ) (1 ) 2 ( ) ax ax ax x x f x        ， 所以 a x ax ax ax x x x f x f f x x 2 6 (1 ) 2 (3 ) (1 ) 2 lim ( ) (0) (0) lim 2 3 2 2 2 0 0                 ， 即 2  6a 1，所以 2 1 a  . (13) 行列式 1 0 0 0 1 0 _. 0 0 1 4 3 2 1          【答案】 4 3 2         2 3 4

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案00元-1-100000元-10-1【解析】入+0= 4(-1)4+0+ 3(-1)*-10入0-10元0-12-432元+1元0元0-1-1+2(-1)*+30入+(a +1)(-1)4+40元0=4+3元+222+(2+1)23-10000元-1=2*+3+22+3+4(14）设x,x2,x,为来自总体N（u,α2)的简单随机样本，样本均值=9.5，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为【答案】（8.2,10.8)【解析】"的置信水平为1-α的置信区间是x-ta/(n-1)-,x+la(n-1Jn'Vnμ的置信水平为1-α的置信区间为(x-a,x+a)已知x=9.5，置信上限是10.8即×+α=10.8解得a=1.3，所以置信区间为(9.5-1.3,9.5+1.3)，即（8.2,10.8）三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）(r,0)2≤r≤2(1+cos0),-"≤0≤元)计算二重积分门已知平面区域D=[xdxdy.21【解析】二重积分为

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 7 【解析】 4 1 4 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4( 1) 1 0 3( 1) 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 4 3 2 1                        4 3 4 4 2 3 1 0 1 0 2( 1) 0 0 ( 1)( 1) 0 1 4 3 2 ( 1) 0 0 1 0 0                           4 3 2          2 3 4 . (14) 设 1 2 , ,., n x x x 为来自总体   2 N  , 的简单随机样本，样本均值 x  9.5，参数 的置信度 为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则 的置信度为0.95的双侧置信区间为 _ . 【答案】(8.2,10.8) 【解析】  的置信水平为1 的置信区间是 2 2 ( 1) , ( 1) s s x t n x t n n n               的置信水平为1 的置信区间为( , ) x a x a   已知 x  9.5，置信上限是 10.8 即 x a   10.8 解得a  1.3 ，所以置信区间为(9.5 1.3,9.5 1.3)   ，即（8.2,10.8）. 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 已知平面区域  , 2 2 1 cos , ,    2 2 D r r                   计算二重积分 D xdxdy  . 【解析】 二重积分为

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案=[xdxdy-2 or/p osodormtcuso- oo o.-1%([(1+ coso) -1]cosodo3 Jo163cos+3cos+coscosod3.J16°cosod0+16[cosede+162cos0de3Jo=16.1.+16.2+16.3.1."3342222=S元 + 323（16)（本题满分10分）设函数y(x）满足方程y"+2y+ky=0，其中00即方程有两个不同的实根，从而由根与系数的关系可得+=-2,=k，再由0k<1得解为(x)=C,e+C,e，则元<0,2<0，且原方程的通CLC2Jy(x)dx = Jt" (Ce* +Cser)dx :，即[y(x)dx收元10敛。00

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 8 2(1 cos ) 2 2 0 2 2 3 2(1 cos ) 2 0 3 2 0 2 2 3 0 2 3 4 2 2 2 0 0 0 2 cos 1 2 cos 3 16 (1 cos ) 1 cos 3 16 3cos 3cos cos cos 3 16 16 cos 16 cos cos 3 1 2 16 3 1 16 16 2 2 3 3 4 2 2 D I xdxdy d r dr r d d d d d d                                                                       32 5 . 3    (16)(本题满分 10 分) 设函数 y x( ) 满足方程 y y ky      2 0，其中0 1   k . （I）证明：反常积分 0 y x dx ( )   收敛； （II）若 + 0 y y y x dx (0) 1, (0) 1, ( )     求 的值. 【解析】(I) 证明：原方程对应的特征方程为 2      2 0 k ，则   2       2 4 4 1 0 k k ， 即方程有两个不同的实根，从而由根与系数的关系可得 1 2 1 2         2, k ，再由0 1   k 得 1 2     0, 0 ， 且 原 方 程 的 通 解 为   1 2 1 2 x x y x C e C e     ， 则     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 x x x x C C C C y x dx C e C e dx e e                                 ，即   0 y x dx   收 敛

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案[C, +C, =1(I)有y(0)=1, y(0)=1及(x)=C,e**+C,er可得C2+C,2=1对C+C,=1两端分别同除以,可得+=①+=1②M则0+-+2++，则元元M211C2C+C2+C,2-21-3C+C2=江从而T12112kk2amkCC-3(x)dx = 2k2（17)（本题满分10分）设函数(x,)满足()=(2x+1)e2-),且(0,)=y+1,L,是从点(0.0)到点(1)的光滑ax曲线，计算曲线积分 1(1)=,dx+dy，并求1(0)的最小值。dyax[解析]因(=(2x+1)e2-),则(x,)=xe2- +0(0)ax又有 f(0,y)=y+1, 则p(y)=y+1,f(x,y)=xe2x-y +y+1,，则()与路径无关，即是(,)的全axoyOyaxaxay微分，则(1,t)[ f(x, )ax+(x,ay=[, d(f(x, y)= f(x,y)1()=axay(0,0)9

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 9 （II）有 y y 0 1, 0 1      及   1 2 1 2 x x y x C e C e     可得 1 2 1 1 2 2 1 1 C C C C          对 1 2 C C 1两端分别同除以 1 2  , 可得 1 2 1 1 1 C C 1      ① 1 2 2 2 2 C C 1      ② 则①+②= 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 C C C C 1 1            ，则 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 C C C C C C 1 1 2 1 3 k k k                             ，从而   1 2 0 1 2 C C 3 3 y x dx   k k                      (17)(本题满分 10 分) 设函数 f x y ( , ) 满足 2 ( , ) (2 1) , (0, ) 1, x y t f x y x e f y y L x        且 是从点(0,0) 到点(1, )t 的光滑 曲线，计算曲线积分 ( , ) ( , ) ( ) d d Lt f x y f x y I t x y x y        ，并求 I t( ) 的最小值. 【解析】因 x y x e x f x y      2 (2 1) ( , ) ，则 ( , ) ( ) 2 f x y xe y x y    又有 f (0, y)  y 1，则( y)  y 1， ( , ) 1 2     f x y xe y x y ， 又 y x f x y x y f x y        ( , ) ( , ) 2 2 ，则 I(t) 与路径无关，即 dy y f x y dx x f x y      ( , ) ( , ) 是 f (x, y) 的全 微分，则 dy y f x y dx x f x y I t Lt        ( , ) ( , ) ( ) (0,0) (1, ) ( ( , )) ( , ) t d f x y f x y Lt   

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案= f(1,t)- f(0,0) =e2- +tI'(t)=1-e2-1, 令I'(t)= 0,=→t=2。当t>2时，I()>0，I()是递增的；当t<2时，I()<0，I(0)是递减的；故I(t)在t=2时取得最小值，故I(t）mm=I(2)=3（18)（本题满分10分）设有界区域Q由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，Z为Q整个表面的外侧，计算曲面积分1=[[(x2+1)dydz-2 ydzdx+3zdxdy.[解析】 I= [[(x? +1]dydz -2 ydzdx +3zdxdy1-x-岁J[(2x+1)dv :. 1 =f'(2x+1)dxf2-* dyf- dz =f(2x+1)dxfdy2（19)（本题满分10分）已知函数(x)可导，且f(0)=1,0<f(x)<1.设数列(x）满足x+/=f(xn=1,2..）证明：2(M)级数Z(-x)绝对收敛；n=1()limx,存在，且0<limx<2【解析】()已知函数f(x)可导，数列满足xn+1=f(x）（n=1,2,），在x和x-1（n=2,3,）构成的区间上使用拉格朗日中值定理，得Xn+1-X,=f(x,)-f(x-I)=()x,-Xn-1)，（E,介于x,和xn-之间)1，得由0< f'(x)<2-x=(x)-(-)=(5x,--)],-/2-10

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 10 f t f e t t     2 (1, ) (0,0) t I t e     2 ( ) 1 ，令 I(t)  0, t  2 。 当t  2时， I(t)  0， I(t) 是递增的； 当t  2 时， I(t)  0， I(t) 是递减的； 故 I(t) 在t  2时取得最小值，故 ( ) (2) 3 I t min  I  (18)(本题满分 10 分) 设有界区域 由平面2 2 2 x y z    与三个坐标平面围成， 为 整个表面的外侧，计算曲 面积分 2 I x dydz ydzdx zdxdy ( 1) 2 3       . 【解析】   2 I x dydz ydzdx zdxdy 1 2 3       (2 1) x dv       1 2 2 1 2 0 0 0 2 1 y x x I x dx dy dz            1 2 2 0 0 2 1 1 2 x y x dx x dy              1 2  (19)(本题满分 10 分) 已知函数 f x( ) 可导，且 1 (0) 1,0 ( ) . 2 f f x     设数列xn 满足 1 ( )( 1,2 ) n n x f x n     证明： (I)级数   1 1 n n n x x      绝对收敛； (II) lim 0 lim 2 n n n n x x   存在，且   . 【解析】(I)已知函数 f x( ) 可导，数列满足 1 ( ) n n x f x   ( 1, 2, ) n   ， 在 n x 和 n 1 x  ( 2,3, ) n   构成的区间上使用拉格朗日中值定理，得 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) n n n n n n n x x f x f x f x x           ，（ n  介于 n x 和 n 1 x  之间） 由 1 0 ( ) 2   f x  ，得 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 n n n n n n n n n n x x f x f x f x x x x x x                