2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）曲线y=+渐近线的条数为（）x2-](A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(2）设函数f(x)=(e*-1)(e2-2)(e-n)，其中n为正整数，则f(0)=(A) (-1)"-(n-1)!(C) (-1)"-' n!(D) (-1)"n!(B) (-1)"(n-1)!)（3）如果f(x,J)在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是（(A）若极限lim存在，则(x,)在(0.0)处可微风+(B）若极限im存在，则 (x,)在(0,0)处可微538x2+y(C）若f(x,)在(0,0)处可微，则极限lim存在≥+(D）若 r(x,)在(0.0)处可微，则极限lim(x,存在ox+y(4) 设I,=["e sinxdx(k=1,2, 3),则有 D(A)I< I, <Is.(B) Iz< I,< Is.(C) I< I<Ii,(D) IK I< Is.(0)O1（5）设α=1其中c,,C,c,为任意常数，0(c(C2）C
2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给 出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填 在答题纸指定位置上. （1）曲线 2 2 1 x x y x + = − 渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ( ) ( 1)( 2) ( ) x x nx f x e e e n = − − − ，其中 n 为正整数，则 ' f (0) = （A） 1 ( 1) ( 1)! n n − − − （B） ( 1) ( 1)! n − −n （C） 1 ( 1) ! n n − − （D） ( 1) ! n − n （3）如果 f x y ( , ) 在 (0,0) 处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A）若极限 0 0 ( , ) lim x y f x y → x y → + 存在，则 f x y ( , ) 在 (0,0) 处可微 （B）若极限 2 2 0 0 ( , ) lim x y f x y → x y → + 存在，则 f x y ( , ) 在 (0,0) 处可微 （C）若 f x y ( , ) 在 (0,0) 处可微，则极限 0 0 ( , ) lim x y f x y → x y → + 存在 （D）若 f x y ( , ) 在 (0,0) 处可微，则极限 2 2 0 0 ( , ) lim x y f x y → x y → + 存在 （4）设 k 2 x k e I e = sinxdx(k=1,2,3),则有 D （A）I1< I2 <I3. (B) I2 < I2 < I3 . (C) I1< I3 <I1, (D) I1< I2< I3. （5）设 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 1 1 0 , 1 , 1 , 1 c c c c − = = = − = 其中 1 2 3 4 c c c c , , , 为任意常数
则下列向量组线性相关的是（(A) α,α2,α(B) αi,αz,αs(C) α,ag,as(D) α,α,αs（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-"APJP=(αi,α2,αs), Q=(α +α2,α2,α)则o-"AQ= (11(A)(B)2(C)(D)22（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则plx<y)=（)(D)(s)(c)(B)（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为() (A) 1 (B) (C) - (D) -1二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(9）若函数f(x)满足方程(x)+f(x)-2f(x)=0及f(x)+f(x)=2e，则f(x)=（10）【x/2x-xdx
则下列向量组线性相关的是（ ） （A） 1 2 3 , , （B） 1 2 4 , , （C） 1 3 4 , , （D） 234 , , （6）设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 1 1 1 2 P AP − = ， P = ( 1 2 3 , , )，Q = + ( 1 2 2 3 , , ) 则 1 Q AQ − = （ ） （A） 1 2 1 （B） 1 1 2 （C） 2 1 2 （D） 2 2 1 （7）设随机变量 x 与 y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 px y= （） 1 1 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 5 5 A B C D （8）将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 （） ( ) 1 2 1 ( ) 2 1 (A) 1 (B) C − D − 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题．． 纸．指定位置上. （9）若函数 f (x) 满足方程 ( ) ( ) 2 ( ) 0 '' ' f x + f x − f x = 及 x f (x) f (x) 2e ' + = ，则 f (x) =_。 （10） 2 2 0 x x x dx 2 − _
2(11) xy+.gradly71(2,1,1)(12) 设= (x,y,=)x+y+z=1,x≥0, y≥0,=≥0,则 [ yds=,（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-xx的秩为(14) 设 A.B.C 是随机事件， A4cC 互不相容， P(AB)=-→, P(C)=,则2P(ABC)=三、解答题：15一23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分10分）证明：xIn告+cosx≥1+号,,-1<x<121-x
（11） (2,1,1) grad z xy y + _。 （12）设 = (x, y,z) x + y + z =1, x 0, y 0,z 0, 则 y ds = 2 _。 （13）设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 T E − xx 的秩 为_。 （14）设 A B C , , 是随机事件， AC, 互不相容， 1 ( ) 2 P AB = , 1 ( ) 3 P C = ,则 P ABC ( ) − =_。 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置 上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 证明： 2 1 ln cos 1 , 1 1 1 2 x x x x x x + + + − −
（16）（本题满分10分）求(x)=xe-的极值。2
（16）（本题满分 10 分） 求 ( ) 2 2 , 2 x y f x y xe + = − 的极值
（17）（本题满分10分）4n2+4n+3*据报浆2xn 白的收敛域及和函数2n+1（18）（本题满分10分）
（17）（本题满分 10 分） 求幂级数 n 0 = 2 4 4 3 2 1 n n n + + + x 2n 的收敛域及和函数 （18）（本题满分 10 分）
已知曲线，其中函数r()具有连续导数，且f(0)=0，f()>00<1<号)。若曲线2L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积
已知曲线 ，其中函数 f (t) 具有连续导数，且 f (0) = 0， 2 ( ) 0 0 f t t 。若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 f (t) 的表达式， 并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域的面积
（19）（本题满分10分）已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y=2x到点(2,0)，再沿圆周2+y2=4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分J=[3xydx+(x2+x-2y)dy
（19）（本题满分 10 分） 已知 L 是第一象限中从点 (0,0) 沿圆周 2 2 x y x + = 2 到点 (2,0) ，再沿圆周 2 2 x y + = 4 到点 (0,2) 的曲线段，计算曲线积分 ( ) 2 2 = 3 2 L J x ydx x x y dy + + −
（20）（本题满分10分）1a001010a设A=000C(0)laoo( I ) 求|A（I）已知线性方程组Ax=b有无穷多解，求a，并求Ax=b的通解
（20）（本题满分 10 分） 设 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 a a A a a = ， 1 1 0 0 b − = （Ⅰ）求 A （Ⅱ）已知线性方程组 Ax b = 有无穷多解，求 a ，并求 Ax b = 的通解
0（21)（本题满分10分）三阶矩阵A=A为矩阵A的转置0-1已知r(AA)=2，且二次型f=xAAx。1) 求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程
（21）（本题满分 10 分）三阶矩阵 1 0 1 0 1 1 1 0 A a = − ， T A 为矩阵 A 的转置， 已知 ( ) 2 T r A A = ，且二次型 T T f x A Ax = 。 1）求 a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准 型，写出正交变换过程
（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示0Y012210XXY2PP7/11/1/21/31/61/31/31/31/302求: (1) P(X=2Y);(2) cov(X-Y,Y)与 Pxy
（22）（本题满分 10 分） 已知随机变量 X Y, 以及 XY 的分布律如下表所示， X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/1 2 1/3 0 1/1 2 求：(1) P X Y ( = 2 ) ； (2) cov , ( X Y Y − ) 与 XY