凶跨煮教育KUAKAODUCATIOIBornto win1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1) lim(1+3x)sinxx→0,xcost'dt=(2)(3)设(axb)·c=2,则[(a+b)x(b+c))(c+a)=n(4）幂级数之x2n-1的收敛半径R== 2" +(-3)"10013100(5）设三阶方阵A、B满足关系式：A-'BA=6A+BA，且A=,则B=4100IN二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）[x+3y+2z+1=0,(1）设有直线L：及平面:4x-2y+z-3=0，则直线LL[2x-y-10z+3=0(A）平行于Ⅱ(B)在上(C）垂直于Ⅱ(D与Ⅱ斜交(2）设在[0,1]上F"(x)>0，则f(O)、fU)、f()-f(O)或f(O)-f()的大小顺序是)((A) f'(I)>f'(O)>f()-f(0)(B) f'(I)>f(I)-f(0)> f'(0)(C) f(1)- f(0)> f(1)> f'(0)(D) f'(1)> f(0)-f(1)> f'(0)(3）设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinxD,则f(O)=0是F(x)在x=0处可导的（（A）充分必要条件(B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件(D）既非充分条件又非必要条件，则级数(4)设u,=(-1)"In1+()Vn
Born to win 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 2 sin 0 lim(1 3 ) x x x → + = _. (2) 2 0 2 cos x d x t dt dx = _. (3) 设 ( ) 2 a b c = ,则 [( ) ( )] ( ) a b b c c a + + + = _. (4) 幂级数 2 1 1 2 ( 3) n n n n n x − = + − 的收敛半径 R = _. (5) 设三阶方阵 A 、 B 满足关系式： 1 A BA A BA 6 − = + ,且 1 0 0 3 1 0 0 4 1 0 0 7 A = ,则 B = _. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设有直线 3 2 1 0, : 2 10 3 0 x y z L x y z + + + = − − + = 及平面 − + − = : 4 2 3 0 x y z ,则直线 L ( ) (A) 平行于 (B) 在 上 (C) 垂直于 (D) 与 斜交 (2) 设在 [0,1] 上 f x ( ) 0 ,则 f (0) 、 f (1) 、 f f (1) (0) − 或 f f (0) (1) − 的大小顺序是 ( ) (A) f f f f (1) (0) (1) (0) − (B) f f f f (1) (1) (0) (0) − (C) f f f f (1) (0) (1) (0) − (D) f f f f (1) (0) (1) (0) − (3) 设 f x( ) 可导, F x f x x ( ) ( )(1 | sin |) = + ,则 f (0) 0 = 是 F x( ) 在 x = 0 处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设 1 ( 1) ln 1 n n u n = − + ,则级数 ( )
跨考教育XKUAKAOUCATnBorntowin2(A)(B)与之u都收敛与u都发散n=1n=1EWu发散u收敛(C)(D)收敛而发散而台n=1n=1(ai(0 1 0)a13a21ai2a22a230(5)设A=P =10a23Bai2ai3a21a22aio0(as)a33a32(agr+aAgz +ai2a +ai300)1010，则必有P =上01)(1 (A) APP, =B(B) AP,P =B(C) PPA=B(D) P,PA=B三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分.）(1)设u=f(x,y,z),p(x2,e",z)=0,y=sinx,其中f、β都具有一阶连续偏导数,且2+0.求票azdx(2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设[f(x)dx=A,求["dx"f(x)f(y)dy四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分.）(1）计算曲面积分[zdS，其中为锥面z=x2+在柱体x2+y≤2x内的部分.(2）将函数f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数五、(本题满分7分)设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记33为A.已知MA=OA，且L过点，求L的方程22六、(本题满分8分)设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分[,2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有
Born to win (A) 1 n n u = 与 2 1 n n u = 都收敛 (B) 1 n n u = 与 2 1 n n u = 都发散 (C) 1 n n u = 收敛而 2 1 n n u = 发散 (D) 1 n n u = 发散而 2 1 n n u = 收敛 (5) 设 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = , 21 22 23 11 12 13 31 11 32 12 33 13 a a a B a a a a a a a a a = + + + , 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 P = , 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 P = ,则必有 ( ) (A) APP B 1 2 = (B) AP P B 2 1 = (C) PP A B 1 2 = (D) P P A B 2 1 = 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (1) 设 2 ( , , ), ( , , ) 0, sin y u f x y z x e z y x = = = ,其中 f 、 都具有一阶连续偏导数,且 0 z ,求 du dx . (2) 设函数 f x( ) 在区间 [0,1] 上连续,并设 1 0 f x dx A ( ) = ,求 1 1 0 ( ) ( ) x dx f x f y dy . 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.) (1) 计算曲面积分 zdS ,其中 为锥面 2 2 z x y = + 在柱体 2 2 x y x + 2 内的部分. (2) 将函数 f x x x ( ) 1(0 2) = − 展开成周期为 4 的余弦级数. 五、(本题满分 7 分) 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内, L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交,交点记 为 A .已知 MA OA = ,且 L 过点 3 3 , 2 2 ,求 L 的方程. 六、(本题满分 8 分) 设函数 Q x y ( , ) 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分 2 ( , ) L xydx Q x y dy + 与 路径无关,并且对任意 t 恒有
凶跨煮教育DUCATCUAKABorn to win2xydx +Q(x,y)dy =2xydx +Q(x, y)dy,(0.0)求Q(x,y).七、（本题满分8分假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶倒数,并且g(x)±0, f(a)= f(b)=g(a)= g(b),试证:(1）在开区间(a,b)内g(x)±0：(2)在开区间(a,b)内至少存在一点5，使(=(g(s)g"(s)八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为=-1,==1,对应于的特征向量为5, =(0,1,1),求 A .九、（本题满分6分）设A是n阶矩阵，满足AA=E（E是n阶单位阵，A是A的转置矩阵)，A<O，求[A+ E].十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.）(1）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X?的数学期望E(X2)=(2）设X和Y为两个随机变量，且P(X≥0,Y≥0)=2,4P(X ≥0) = P(Y ≥0)=77则 P(max(X,Y)≥0) =十一、(本题满分6分)ex≥0,设随机变量X的概率密度为fx(x)=求随机变量Y=e的概率密度0,x<0,fr()
Born to win ( ,1) (1, ) (0,0) (0,0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy + = + , 求 Q x y ( , ) . 七、(本题满分 8 分) 假设函数 f x( ) 和 g x( ) 在 [ , ] a b 上存在二阶倒数,并且 g x ( ) 0 , f a f b g a g b ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ,试证： (1) 在开区间 ( , ) a b 内 g x( ) 0 ； (2) 在开区间 ( , ) a b 内至少存在一点 ,使 ( ) ( ) ( ) ( ) f f g g = . 八、(本题满分 7 分) 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =−1, 2 3 = =1,对应于 1 的特征向量为 1 (0,1,1)T = ,求 A . 九、(本题满分 6 分) 设 A 是 n 阶矩阵,满足 T AA E = ( E 是 n 阶单位阵, T A 是 A 的转置矩阵), A 0 ,求 A E+ . 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.) (1) 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则 2 X 的数 学期望 2 E X( ) =_. (2) 设 X 和 Y 为两个随机变量,且 3 0, 0 7 P X Y = , 4 ( 0) ( 0) 7 P X P Y = = , 则 P X Y max( , ) 0 = _. 十一、(本题满分 6 分) 设随机变量 X 的概率密度为 , 0, ( ) 0, 0, x X e x f x x − = 求随机变量 X Y e = 的概率密度 ( ) Y f y
凶跨煮教育CUAKDUCATIOIBorntowin1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1)【答案】e6【解析】这是1”型未定式求极限，2sinlim(1+3x)sinx =lim(1+3x)3x-令3x=t，则当x→0时，t→0，所以lim(1 + 3x)3x= lim(1+t)x-→026xlim-6.6lim故lim(1+3x)sinx = limesinxosinx3Eex-→0(2）【答案】,costdt-2xcosx兴 xcost’dt=兴(,cosd【解析】办J=J, cost’dt-xcos() (2x)I' cost'dt -2x cos xt.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：m-(()()-(a(0)()(3）【答案】4【解析】利用向量运算律有[(a+b)x(b+c)] (c+a)=[(a+b)xb]-(c+a)+[(a+b)xc].(c+a)=(axb+bxb).(c+a)+(axc+bx).(c+a)(其中bxb=0)=(axb).c+(axb)-a+(axc).c+(bxi).a=(axb).c+(bxc).a=(axb)-c+(axb)c= 4.(4)【答案】V
Born to win 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 6 e 【解析】这是 1 型未定式求极限, 2 1 2 3 sin 3 sin 0 0 lim(1 3 ) lim(1 3 ) x x x x x x x x → → + = + , 令 3x t = ,则当 x →0 时, t →0,所以 1 1 3 0 0 lim(1 3 ) lim(1 ) x t x t x t e → → + = + = , 故 0 0 2 6 6 lim 6 lim sin sin sin sin 6 0 0 lim(1 3 ) lim x x x x x x x x x x x x e e e e → → → → + = = = = . (2)【答案】 2 0 2 2 4 cos 2 cos x t dt x x − 【解析】 2 2 ( ) 0 0 2 2 cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx = ( ) ( ) 2 0 2 2 2 cos cos 2 x = − t dt x x x 2 0 2 2 4 cos 2 cos x = − t dt x x . 【相关知识点】积分上限函数的求导公式： ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) x x d f t dt f x x f x x dx = − . (3)【答案】 4 【解析】利用向量运算律有 [( ) ( )] ( ) a b b c c a + + + = + + + + + [( ) ] ( ) [( ) ] ( ) a b b c a a b c c a = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) a b b b c a a c b c c a (其中 b b = 0 ) = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b a a c c b c a = + ( ) ( ) a b c b c a = + = ( ) ( ) 4 a b c a b c . (4)【答案】 3
7跨考教育XKUAKAODCAnBorn to winn+2n-1，则当n→时，有【解析】令a,=2" +(-3)"n+12(n+1)2*+ +(3)++1an+limlimJan000n2" +(-3)"=lim x+01时，即x>/3时，此而当3幂级数发散，因此收敛半径为R=V(300)020(5）【答案】(001)【解析】在已知等式A-BA=6A+BA两边右乘以A-，得A-B=6E+B，即(A--E)B=6E(300)Al-因为040，所以(007200D0B=6(A-I -E)-1 =603000600二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L的方向向量与平面Ⅱ的法向量的相互关系问题直线L的方向向量(ik131:-28i+14j-7k=-7(4i-2j+k),-10平面II的法向量n=4i-2j+k,1IIn，L1I.应选(C)
Born to win 【解析】令 2 1 2 ( 3) n n n n n a x − = + − ,则当 n → 时,有 2( 1) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 ( 3) lim lim 2 ( 3) 2 3 ( 1) 1 1 3 lim , 2 3 3 ( 1) 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n x a a n x n x x n + − + + + → → − → + + + + + − = + − + − + = = + − 而当 1 2 1 3 x 时,幂级数收敛,即 | | 3 x 时,此幂级数收敛,当 1 2 1 3 x 时,即 | | 3 x 时,此 幂级数发散,因此收敛半径为 R = 3 . (5)【答案】 3 0 0 0 2 0 0 0 1 【解析】在已知等式 1 A BA A BA 6 − = + 两边右乘以 1 A − ,得 1 A B E B 6 − = + ,即 1 ( ) 6 A E B E − − = . 因为 1 3 0 0 0 4 0 007 A − = ,所以 1 1 B A E 6( ) 6 − − = − = 1 200 0 3 0 0 0 6 − = 3 0 0 0 2 0 0 0 1 . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(C) 【解析】这是讨论直线 L 的方向向量与平面 的法向量的相互关系问题. 直线 L 的方向向量 1 3 2 28 14 7 7(4 2 ) 2 1 10 i j k l i j k i j k = = − + − = − − + − − , 平面 的法向量 n i j k = − + 4 2 , l n , L ⊥.应选(C)
7跨考教育XKUAKAOEDUCATIOIBorntowin(2）【答案】(B)【解析】由f"(x)>0可知f(x)在区间[0,1]上为严格单调递增函数，故f(1)> f'(x)> f'(0),(0 f()-f(O)= f'()>f'(O), (0n=1=是交错级数，显然In(1+)单调下降趋于零，由莱布尼vhNn兹判别法知，该级数收敛，正项级数以-(),z=()()一--
Born to win (2)【答案】(B) 【解析】由 f x ( ) 0 可知 f x ( ) 在区间 [0,1] 上为严格单调递增函数,故 f f x f x (1) ( ) (0) ,(0 1) 由微分中值定理, f f f (1) (0) ( ),(0 1) − = .所以 f f f f f (1) (1) (0) ( ) (0) − = , (0 1) 故应选择(B). (3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要 条件. 充分性:因为 f (0) 0 = ,所以 0 0 0 0 ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( )(1 sin ) lim lim lim lim (0) x x x x F x F f x f x f f x x f → → → → x x x x − − + = = = = , 由此可得 F x( ) 在 x = 0 处可导. 必要性:设 F x( ) 在 x = 0 处可导,则 f x x ( ) sin 在 x = 0 处可导,由可导的充要条件知 0 0 ( ) sin ( ) sin lim lim x x f x x f x x x x → → − + = . ① 根据重要极限 0 sin lim 1 x x → x = ,可得 0 0 sin sin lim lim 1 x x x x x x → → − − = − = − , 0 0 sin sin lim lim 1 x x x x x x → → + + = = , ② 结合①,②,我们有 f f (0) (0) = − ,故 f (0) 0 = .应选(A). (4)【答案】(C) 【解析】这是讨论 1 n n u = 与 2 1 n n u = 敛散性的问题. 1 1 1 ( 1) ln 1 n n n n u n = = = − + 是交错级数,显然 1 ln(1 ) n + 单调下降趋于零,由莱布尼 兹判别法知,该级数收敛. 正项级数 2 2 1 1 1 ln 1 n n n u n = = = + 中, 2 2 2 1 1 1 un ln 1 ~ n n n = + =
门跨考教育XEDUCATIOIKUAKAOBornto win91发散，根据正项级数的比较判别法以及2Z发散.因此,应选(C).台nn=1【相关知识点】正项级数的比较判别法设≥u,和，都是正项级数,且lim=A,则n→ou,Reln=l(）当0<A<+oo时，u，和，同时收敛或同时发散；n=1n=l(2）当A=0时，若u，收敛，则，收敛；若，发散，则u，发散；12/n=ln=ln=1(3）当A=+o时，若之，收敛，则Cu,收敛：若之，u发散，则发散.n=1n=ln=ln=(5）【答案】(C)【解析】P是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，P是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B是由A先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得到的，因此PPA=B，故应选(C)三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）（1）【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题dz先由方程式p(x2,e,2)=0,其中y=sinx确定z=z(x),并求dx将方程两边对x求导得dz=0p.2x+@'e'cosx+psdxd=-l①解得(g'.2x+g'.e"cosx)dx'现再将u=f(x,y,=)对x求导，其中y=sinx，z=z(x)，#-++csx+岁可得dxdx崇-+cox-(-2+0e.cos)将①式代入得dxo
Born to win 根据正项级数的比较判别法以及 1 1 n n = 发散, 2 1 n n u = 发散.因此,应选(C). 【相关知识点】正项级数的比较判别法： 设 1 n n u = 和 1 n n v = 都是正项级数,且 lim , n n n v A → u = 则 ⑴ 当 0 + A 时, 1 n n u = 和 1 n n v = 同时收敛或同时发散； ⑵ 当 A= 0 时,若 1 n n u = 收敛,则 1 n n v = 收敛；若 1 n n v = 发散,则 1 n n u = 发散； ⑶ 当 A = + 时,若 1 n n v = 收敛,则 1 n n u = 收敛；若 1 n n u = 发散,则 1 n n v = 发散. (5)【答案】(C) 【解析】 P1 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵, P2 是将单位矩阵的第一行加到 第三行所得初等矩阵； 而 B 是由 A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此 PP A B 1 2 = ,故应选(C). 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函 数求导相结合的问题. 先由方程式 2 ( , , ) 0 y x e z = ,其中 y x = sin 确定 z z x = ( ) ,并求 dz dx . 将方程两边对 x 求导得 1 2 3 2 cos 0 y dz x e x dx + + = , 解得 ( 1 2 ) 3 1 2 cos dz y x e x dx = − + . ① 现再将 u f x y z = ( , , ) 对 x 求导,其中 y x = sin , z z x = ( ) , 可得 1 2 3 cos du dz f f x f dx dx = + + . 将①式代入得 2 ( 1 ) 3 1 3 2 cos 1 2 cos du y f f x f dx x e x = + − +
跨煮教育Borntowin【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u=(x,y),v=(x,J)都在点(x,J)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f(p(x,y),w(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有Oz_ Oz Ouz Oy,ouOv+J2JaxaxQu axov axaxOzOz Ou, Oz Ovcruc,OvayQuQyov ayayay(2）【解析】方法一：用重积分的方法将累次积分I=[dxf(x)f(y)dy表成二重积分I = [ f(x)f(y)dxdy,其中D如右图所示.交换积分次序x1-f'dyf, f(x)f()dx.由于定积分与积分变量无关，改写成I=J'daxf。 ()f(x)dy.21-fdf"f(x)f()dy+J'dxf, ()()dyL-f'dxf" f(x)f(y)dy = f f(x)dxf" f(y)dy = APA2L方法二：用分部积分法注意d(rf()dy)=-f(x)dx,将累次积分I写成I=f((x)' )dx=-f"T'F)da(')dy--(' ) --4.四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分.）(1）【解析】将曲面积分1化为二重积分「=「门(x,y)dxdy(x)=++=+首先确定被积函数
Born to win 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 u x y v x y = = ( , ), ( , ) 都在点 ( , ) x y 具 有对 x 及对 y 的偏导数,函数 z f u v = ( , ) 在对应点 ( , ) u v 具有连续偏导数,则复合函数 z f x y x y = ( ( , ), ( , )) 在点 ( , ) x y 的两个偏导数存在,且有 1 2 z z u z v u v f f x u x v x x x = + = + ； 1 2 z z u z v u v f f y u y v y y y = + = + . (2)【解析】方法一：用重积分的方法. 将累次积分 1 1 0 ( ) ( ) x I dx f x f y dy = 表成二重积分 ( ) ( ) D I f x f y dxdy = , 其中 D 如右图所示.交换积分次序 1 0 0 ( ) ( ) y I dy f x f y dx = . 由于定积分与积分变量无关,改写成 1 0 0 ( ) ( ) x I dx f y f x dy = . 1 1 1 0 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x I dx f x f y dy dx f x f y dy = + 1 1 1 1 2 0 0 0 0 === dx f x f y dy f x dx f y dy A ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 2 2 I A = . 方法二：用分部积分法. 注意 ( ) 1 ( ) ( ) x d f y dy f x dx = − ,将累次积分 I 写成 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 0 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) . 2 2 x x x x x x I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A = = = = − = − = 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.) (1)【解析】将曲面积分 I 化为二重积分 ( , ) Dxy I f x y dxdy = . 首先确定被积函数 2 2 2 2 ( , ) 1 2 x y f x y z z z x y = + + = +
凶跨煮教育CUAKAnrBornto winx2y2V2.对锥面z=2+y而言，1-21x+yX其次确定积分区域即Z在xOy平面的投影区域Dy4（见右图），按题意：Dm:x2+y?≤2x,即(x-1)2+y?≤10I=IV2/x?+ydxdyD.作极坐标变换x=rcoso,y=rsin，则Dy:0≤r≤2cos0,-≤0≤"2232/22cos01=der.rdr=22e=因此J039(2)【解析】这就是将f(x）作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得f（x）的傅氏系数b, = 0(n =1,2,3,..)(x)cos n元x dx 1=2 n元-1)cosxdx22x-1)d sin n元2.:xdxsinX22元J0n元44n元(-1)" -1)cOSn'元?2n元-8n=2k-1,(2k-1)元2k =1,2,3,...0,n=2k,-1)dx =-L0=由于（延拓后）f(x)在[-2.21分段单调、连续且f(-1)=1.于是f(x)有展开式8(2n-1)元f(x)=x,xe[0,2].cOS一(2n-1)22<五、（本题满分7分）
Born to win 对锥面 2 2 z x y = + 而言, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 x y x y z z x y x y + + = + + = + + . 其次确定积分区域即 在 xOy 平面的投影区域 D xy (见右图),按题意： 2 2 : 2 D x y x xy + ,即 2 2 ( 1) 1 x y − + . 2 2 2 Dxy I x y dxdy = + . 作极坐标变换 x r y r = = cos , sin ,则 : 0 2cos , 2 2 D r xy − , 因此 2cos 2cos 2 2 3 0 0 2 0 1 32 2 2 2 2 3 9 I d r rdr r d − = = = . (2)【解析】这就是将 f x( ) 作偶延拓后再作周期为 4 的周期延拓.于是得 f x( ) 的傅氏系数： 0( 1,2,3, ) n b n = = 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 ( )cos 2 ( 1)cos 2 2 2 ( 1) sin sin 2 2 4 4 cos (( 1) 1) 2 8 , 2 1, (2 1) 1, 2,3, 0, 2 , l n n n x n a f x dx l x xdx l l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k = = − = − = − = = − − − = − = = − = 2 2 2 2 0 0 0 0 2 1 ( ) ( 1) ( 1) 0 2 2 a f x dx x dx x = = − = − = . 由于(延拓后) f x( ) 在 [ 2,2] − 分段单调、连续且 f ( 1) 1 − = .于是 f x( ) 有展开式 2 2 1 8 1 (2 1) ( ) cos , [0,2] n (2 1) 2 n f x x x n = − = − − . 五、(本题满分 7 分)
跨煮教育UCBorn to win【解析】设点M的坐标为(x,J),则M处的切线方程为Y-=y(X-x)令X=0,得Y=y-xy,切线与y轴的交点为A(O,y-xy).由MA=OA,有x2 +() =-2y--2=-x, (2)--2 =-x化简后得伯努利方程(a)_1令z=y2，方程化为一阶线性方程Xy?=cx-x2,亦即 y=Vcx-x?解得z=x(c-x),即3又由2,得c=3,L的方程为y=/3x-x(0<x<3)六、（本题满分8分)【解析】在平面上【Pdx+Qdy与路径无关（其中P,Q有连续偏导数)，OP_,即0=2x.nayaxaxQ(x,y)=x2+p(y),其中p(J)待定.代入另一等式得对Vt,对x积分得[( 2xydx +(x2 + p(0)dy = J0 2xydx +(x2 + p()dy.下面由此等式求βp(y).方法一：易求得原函数2xydx+(x + p(v)dy= ydx* +x°dy+ p(y)dy=d(xy)+d( o(s)ds)=d(xy+Jo(s)ds(xy+J o(s)ds)=(ry+f o(s)ds)于是由①式得P+J'o(s)ds=t+J'o(s)ds,亦即P=t+J'o(s)ds.即求导得2t=1+p(t),即g(t)=2t-1.因此Q(x,y)= x +2y-1方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.J4y4(t,1)(1,t)寸x可成1
Born to win 【解析】设点 M 的坐标为 ( , ) x y ,则 M 处的切线方程为 Y y y X x − = − ( ) . 令 X = 0,得 Y y xy = − ,切线与 y 轴的交点为 A y xy (0, ) − .由 MA OA = ,有 2 2 x xy y xy + = − ( ) . 化简后得伯努利方程 1 2 2 , yy y x x − = − ( ) 2 2 1 y y x x − = − . 令 2 z y = ,方程化为一阶线性方程 ( ) 1 z z x x − = − . 解得 z x c x = − ( ) ,即 2 2 y cx x = − ,亦即 2 y cx x = − . 又由 3 3 2 2 y = ,得 c = 3, L 的方程为 2 y x x x = − 3 (0 3) . 六、(本题满分 8 分) 【解析】在平面上 L Pdx Qdy + 与路径无关(其中 PQ, 有连续偏导数), P Q y x = ,即 2 Q x x = . 对 x 积分得 2 Q x y x y ( , ) ( ) = + ,其中 ( ) y 待定.代入另一等式得对 t , ( ) ( ) ( ,1) (1, ) (0,0) 2 (0 ) 2 ,0 2 2 ( ) ( ) t t xydx dy xydx d + = x y + + x y + y . ① 下面由此等式求 ( ) y . 方法一：易求得原函数 ( ) ( ) ( 0 ) 2 2 2 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . y y xydx dy ydx dy d x y d d x y x s d x dy y s s y ds + = + = + = + + + 于是由①式得 ( ) ( ) ( ,1) (1, ) 2 2 0 0 (0,0) (0,0) ( ) ( ) t t y y x y ds x y d + = + s s s . 即 1 2 0 0 ( ) ( ) t t ds t ds + = + s s ,亦即 2 1 ( ) t t t ds = + s . 求导得 2t = +1 (t) ,即 ( ) 2 1 t t = − . 因此 2 Q x y x y ( , ) 2 1 = + − . 方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示