2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）dx(1)xlnx=(2)已知e'+6xy+x2-1=0，则(0)=(3)yy"+y"2=0满足初始条件y(0)=1,y(0)=！的特解是(4)已知实二次型f(x,x2,x)=a(x+x+x)+4xx2+4xx+4x2x，经正交变换可化为标准型f=6y，则a=(5)设随机变量X~N(μ,α2），且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5,则?二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)考虑二元函数f(x,y）的四条性质：①f(x,J)在点(xo,yo）处连续，②f(x,y)在点(xo,y)处的一阶偏导数连续,③f(x,y)在点(xo,J）处可微，④(x,)在点(xo,）处的一阶偏导数存在则有:(A) @- @- 0(B)@- @- 0(C)@- ④-(D)@- - ④(2)设u,*0,且im≥=1,则级数(-1)*(一+一)为(A) 发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定(3)设函数f(x)在R*上有界且可导,则(A)当limf(x)=0 时，必有limf(x)=0(B）当lim(x）存在时，必有limf(x)=0
2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) = _. (2)已知 ,则 =_. (3) 满足初始条件 的特解是_. (4)已知实二次型 经正交变换可化为 标准型 ,则 =_. (5)设随机变量 ,且二次方程 无实根的概率为 0.5,则 =_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数 的四条性质: ① 在点 处连续, ② 在点 处的一阶偏导数连续, ③ 在点 处可微, ④ 在点 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)② ③ ① (B)③ ② ① (C)③ ④ ① (D)③ ① ④ (2)设 ,且 ,则级数 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数 在 上有界且可导,则 (A)当 时,必有 (B)当 存在时,必有 + e x x dx 2 ln 2 e 6 1 0 y + + − = xy x y (0) 0 2 yy + y = 1 (0) 1, (0) 2 y y = = 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = a(x1 + x + x ) + 4x x + 4x x + 4x x 2 6 1 f = y a ~ ( , ) 2 X N 4 0 2 y + y + X = f (x, y) f (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) ( , ) 0 0 x y 0 n u lim = 1 → n n u n ) 1 1 ( 1) ( 1 1 + + − + n n n u u f (x) + R lim ( ) = 0 →+ f x x lim ( ) = 0 →+ f x x lim f (x) x →+ lim ( ) = 0 →+ f x x
(C）当lim f(x)=0时,必有lim(x)=0(D）当lim(x)存在时,必有 lim(x)=0,(4)设有三张不同平面，其方程为a,x+b,y+c,z=d,（=1,2,3）它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为中区区(5)设和y是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为fx(x)和f,()，分布函数分别为Fx(x）和F,()，则(B）fx(x)fr()必为密度函数(A)fx(α）+f,(y)必为密度函数(C)Fx(x)+F,(y)必为某一随机变量的分布函数(D）Fr(x)F,(y)必为某一随机变量的分布函数三、（本题满分6分）设函数f(x)在x=0的某邻域具有一阶连续导数，且f(O)F(O)±0，当h→0时，若af(h)+bf(2h)-f(0)=o(h)，试求a,b的值.四、（本题满分7分）已知两曲线y=f(α)与y=[arcan*e-dt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限limnf(2) .五、（本题满分7分）计算二重积分[femax(dxdy,其中D=((x,y)10≤x≤1,0≤y≤1).六、（本题满分8分）设函数f(x)在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（，>O)内的有向分段光滑曲线起点为(a,b），终点为,d）
(C) 当 时,必有 (D) 当 存在时,必有 . (4)设有三张不同平面,其方程为 ( )它们所组成的线性方程 组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设 和 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为 和 , 分布函数分别为 和 ,则 (A) ＋ 必为密度函数 (B) 必为密度函数 (C) ＋ 必为某一随机变量的分布函数 (D) 必为某一随机变量 的分布函数. 三、(本题满分 6 分) 设函数 在 的某邻域具有一阶连续导数,且 ,当 时,若 ,试求 的值. 四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 与 在点 处的切线相同.求此切线的方程,并求 极限 . 五、(本题满分 7 分) 计算二重积分 ,其中 . 六、(本题满分 8 分) 设函数 在 上具有一阶连续导数, 是上半平面( >0)内的有向分段光滑曲线, 起点为( ),终点为( ). lim ( ) 0 0 = → + f x x lim ( ) 0 0 = → + f x x lim ( ) 0 f x x → + lim ( ) 0 0 = → + f x x i i i di a x + b y + c z = i = 1,2,3 X Y f (x) X f ( y) Y F (x) X F ( y) Y f (x) X f ( y) Y f (x) X f ( y) Y F (x) X F ( y) Y F (x) X F ( y) Y f (x) x = 0 f (0) f (0) 0 h → 0 af (h) + bf (2h) − f (0) = o(h) a,b y = f (x) arctan 2 0 e x t y dt − = (0, 0) ) 2 lim ( n nf n→ 2 2 max{ , } e x y D dxdy D = {(x, y) | 0 x 1,0 y 1} f (x) R L y a,b c,d
记=+()]dx+()-1dy，y（1）证明曲线积分与路径无关(2)当ab=cd时,求的值七、（本题满分7分）(1)验证函数(c)=之（<x<+α）满足微分方程y+y+y=e°.H=0 (3n)!(2)求幂级数y(x)=！的和函数=0 (3n)!八、（本题满分7分）设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy面，其底部所占的区域为D=((x,y)/x2 +y2-xy≤75)，小山的高度函数为h(x,J)=75-x2-y2+xy(1)设M(xo,y)为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(xo,y），写出g(xo,yo）的表达式(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,J)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置，九、（本题满分6分）已知四阶方阵A=(a,α2,s,a)，a,z,,a,均为四维列向量,其中az,,a,线性无关a,=2a,-3.若β=,+az+a,+a4，求线性方程组Ax=β的通解十、（本题满分8分）设A,B为同阶方阵，(1)若A,B相似，证明A,B的特征多项式相等
记 , (1)证明曲线积分 与路径 无关. (2)当 时,求 的值. 七、(本题满分 7 分) (1)验证函数 ( )满足微分方程 . (2)求幂级数 的和函数. 八、(本题满分 7 分) 设有一小山 , 取它的底面所在的平面为 面 , 其底部所占的区域为 ,小山的高度函数为 . (1)设 为区域 上一点,问 在该点沿平面上何方向的方向导数最大? 若此方向的方向导数为 ,写出 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为 攀登的起点.也就是说要在 的边界线上找出使(1)中 达到最大值的点.试确定 攀登起点的位置. 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵 , 均为四维列向量,其中 线性无关, .若 ,求线性方程组 的通解. 十、(本题满分 8 分) 设 为同阶方阵, (1)若 相似,证明 的特征多项式相等. y f xy d y y x y f xy d x y I [1 ( )] [ ( ) 1] 1 2 2 2 = + + − I L ab = cd I = = 0 3 (3 )! ( ) n n n x y x − x + e x y y y + + = = = 0 3 (3 )! ( ) n n n x y x xoy {( , ) | 75} 2 2 D = x y x + y − xy h(x, y) = − x − y + xy 2 2 75 ( , ) 0 0 M x y D h(x, y) ( , ) 0 0 g x y ( , ) 0 0 g x y D g(x, y) 1 2 3 4 A = ( , , , ) α α α α 1 2 3 4 α , , , α α α 234 α , , α α 1 2 3 α = − 2α α β = + + + α1 2 3 4 α α α Ax = β AB, AB, AB
(2)举一个二阶方阵的例子说明（1)的逆命题不成立(3）当A,B为实对称矩阵时，证明（1)的逆命题成立
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. AB
十一、（本题满分7分）设维随机变量x的概率密度为1Scost0≤x≤x对x独立地重复观察4次，用表示观察f(x)=0其它值大于”的次数，求y2的数学期望十二、（本题满分7分）设总体的概率分布为X012302P20(1-0)021-20其中（0<9<）是未知参数，利用总体x的如下样本值3, 1, 3,0,3,1,2, 3.求?的矩估计和最大似然估计值，5
5 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 的概率密度为 对 独立地重复观察 4 次,用 表示观察 值大于 的次数,求 的数学期望. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 的概率分布为 0 1 2 3 其 中 ( ) 是未知参数 , 利用总体 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3. 求 的矩估计和最大似然估计值. X f x( ) = 1 cos 0 2 2 0 x x x 其它 X Y 3 2 Y X XP 2 2 (1− ) 2 1− 2 1 0 2 X
绝密★启用前数学（试卷一）参考解答，填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）贵(1) [(2）已知函数y=y（×）由方程e+6xy+-1=0确定，则"(0）=-2（3）微分方程yy"+2=0满足初始条件=l,y的特解是=+=或=x+1（4）已知实二次型（x，2，%）=a（++x）+4x+4x，+4x%经正交变换=Py可化成标准形f=6则a=2(5）设随机变量X服从正态分布N(μg）（α>0），且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为一则μ=4二.选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）（1）考虑二元函数（×，y）的下面4条性质：①(x,y）在点（xo）处连续，②（x，y）在点（，y）处的两个偏导数连续，③（，y）在点（xa%）处可微，①x，y）在点（x%）处的两个偏导数存在若用"P=Q"表示可由性质P推出性质Q.则有(A)②=③=0(B)?=②=0(C) =④=0(D)3-0-4【A】(2)设u*0(n=1,2,3,),且lim"=1,则级数≥(-1)*(1u.u.ua+t1ET（A）发散，(B）绝对收敛.（C）条件收敛，（D）收敛性根据所给条件不能判定，【c]（3）设函数y=（）在（0，+）内有界且可导，则（A）当limf(x）=0时，必有limf（x）=0.（B）当limf（x）存在时，必有limf（x）=0.（C）当limf(x）=0时，必有limy（x）=0.(D）当limf"（x）存在时，必有limf（x）=0.【B】16
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（4）设有三张不同平面的方程an*+aay+agz=b，i=1,2.3.它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三三张平面可能的位置关系为【B】KX(A)(B)(C)(D)（5）设X，和X，是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f（x）和f（x），分布函数分别为F,（）和F（x），则（A）J（x）+J（x）必为某一随机变量的概率密度（B)J,（x)f(x）必为某一随机变量的概率密度（C）F,（）+F（）必为某一随机变量的分布函数（D）F（x)F（*）必为某一随机变量的分布函数【D】三（本题满分6分）设函数（）在*=0的某邻域内具有一阶连续导数，且(0）￥0.（0）0.若af（h）+b（2h）-（0）在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定，6的值解法！由题设条件知lim[af(h) +bf(2h)-f(0)) =(a+b -1)f(0)=0.由于(0）*0.故必有a+6-1=0.又由洛必达法则，有0 = lim g(h) +bf(2h) -(0) = Iimgr (h) +25f (2h) - (a + 2b)F (0),h1因F(0)￥0,故a+2h=0.于是得a=2,6=-1.解法2由条件得f(h) =(0) +f'(0)h+o(h).f(2h)=(0)+2f*(0)h+o(h),27
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所以af(h）+bf(2h）-f(0）=（a+b-1)f(0)+(αa+2b)f(0)h+o(h)因此当α=2,b=-1时，有af(h) +bf(2h) -f(0) = o(h).四（本题满分7分）已知两曲线=f(）与=【edt在点（0,0）处的切线相同，写出此切线方程，并求极限limnf(2）解由已知条件得f(0)=0,f'(0) ==1,1故所求切线方程为y=x(2)-f(0)limnf(2)= lim22/店n=2f (0) = 2.五（本题满分7分）fea.ldxdy，其中D=1(x.y)[0≤x≤1.0≤y≤11.计算二重积分解设D,=/(x,y)10≤x≤1,0≤y≤xl,D,=l(xy)l0≤x≤l,x≤y≤ll[feie,pl drdy = [feiea,pl dxdy + [femxl, dedy则= [fe'drdy + e"'ddy- f drfen'dy + I'dyfend38
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六（本题满分8分）设函数（x）在（-，+）内具有一阶连续导数，L是上半平面（y>0）内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d)。记1=[[1+f(xy)]dx+[(xy）-1]dy，（1）证明曲线积分1与路径L无关；(2）当ab=cd时，求1的值(1)证因为[(xy)-1]1+(x)=(x)-+xyf(xy)=axdyy在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分1与路径无关，（2）解法1由于1与路径无关，故可取积分路径L为由点（a,6）到点（c,b）再到点（c,d）的折线段，所以[f(cy)-1]dy-[1 + bf(bx) ] dx +=“二+ of(br)da+ Jef(cy)dy+-号D--鲁+jod+jr0d=号云+[)ddTod当ab=cd时，[r(c)dl=0,由此得|=d6f(xy)dx+xf(xy)dy（2）解法2I=Ly1ad-byy设F（x）为八x）的一个原函数，则[f(xy)d(xy) = F(cd) - F(ab).[yf(xy)dx + xf(xy)dy =L所以当ab=cd时，F(cd）-F(ab）=0,由此得1=db49
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七（本题满分7分）（1)验证函数（x）=1+号+…（-<x<+）满足微分+...91(3n)!3161方程y"+y'+y=e;x（2）利用（1）的结果求幂级数2（3m)）的和函数，解（1)因为t36+3s(x) = 1 +.(3n)!3！6！+9！花3a-1x2y'(x) =+.. +(3n -1) +*)21+5!+81+234-2ty"(x) =x++..(3n 2) .4+元所以y"+y'+y=e（2）与y"+y+ye相应的齐次微分方程为y"+y'+y=o,其特征方程为入+入+1=0.13.因此齐次微分方程的通解为特征根为A12= -X2Y=e[c.cosx+C,sin设非齐次微分方程的特解为y' = Aet,于是将y代人方程y"+y+y=e得A=一.3方程通解为y=Y+y'=ec,cosx+Crsin]+e当=0时，有[(0) = 1 = C, +1[(0)=0=-↓ +c +0510
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