考研数学历年真题：2007考研数学（一）试题及详细答案解析.pdf_大学文库

中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 2007 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当 x 0   时，与 x 等价的无穷小量是 (A) 1 x  e . (B) 1 ln 1 x x   . (C) 1 1   x . (D) 1 cos  x . [ B ] 【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】当 x 0   时，有 1 ( 1) ~ x x      e e x ； 1 1 1 ~ 2   x x ； 1 1 2 1 cos ~ ( ) . 2 2   x x x 利用排除法知应选(B). (2) 曲线 1 ln(1 )x y e x    ，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为 0 1 lim[ ln(1 )] x x e  x     ，所以 x  0 为垂直渐近线；又 1 lim [ ln(1 )] 0 x x e  x    ，所以 y=0 为水平渐近线；进一步， 2 1 ln(1 ) ln(1 ) lim lim [ ] lim x x x x x y e e    x x x x      = lim 1 1 x x x e  e   ， 1 lim [ 1 ] lim [ ln(1 ) ] x x x y x e x   x       = lim [ln(1 ) ] x x e x    = lim [ln (1 ) ] lim ln(1 ) 0 x x x x x e e x e          ，于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). (3) 如图，连续函数 y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 0 ( ) ( ) . x F x f t dt   则下列结论正确的是 (A) 3 (3) ( 2) 4 F F    . (B) 5 (3) (2) 4 F F  . (C) (2) 4 3 F(3)  F . (D) ( 2) 4 5 F(3)   F  . [ C ] 【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积： 1 (2) 2 F  

中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn F(3)是两个半圆面积之差： 1 1 3 2 2 (3) [ 1 ( ) ] 2 2 8 F         = 3 (2) 4 F ，        0 3 3 0 F( 3) f (x)dx f (x)dx ( ) (3) 3 0  f x dx  F  因此应选(C). (4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (A) 若 0 ( ) lim x f x  x 存在，则 f(0)=0. (B) 若 0 ( ) ( ) lim x f x f x  x   存在，则 f(0)=0. (C) 若 0 ( ) lim x f x  x 存在，则 f (0) 存在. (D) 若 0 ( ) ( ) lim x f x f x  x   存在，则 f (0) 存在 [ D ] 【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)=0. 若 0 ( ) lim x f x  x 存在，则 0 0 ( ) (0) ( ) (0) 0, (0) lim lim 0 x x 0 f x f f x f f   x x        ，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例： f x x ( )  在 x=0 处连续，且 0 ( ) ( ) lim x f x f x  x   = 0 lim 0 x x x  x    存在，但 f x x ( )  在 x=0 处不可导。 (5) 设函数 f (x)在 (0, )  上具有二阶导数，且 f x ( ) 0.  令 u  f (n)(n  1,2,  ,) n , 则下列结论正确的是 (A) 若 1 2 u u  ，则 { }n u 必收敛. (B) 若 1 2 u u  ，则 { }n u 必发散. (C) 若 1 2 u u  ，则 { }n u 必收敛. (D) 若 1 2 u u  ，则 { }n u 必发散. [ D ] 【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设 f(x)= 2 x , 则 f (x)在 (0, )  上具有二阶导数，且 1 2 f x u u ( ) 0,   ，但 2 { } { } n u n  发散，排除 (C); 设 f(x)= 1 x , 则 f(x) 在 (0, )  上具有二阶导数，且 1 2 f x u u ( ) 0,   ，但 1 { } { } n u n  收敛，排除(B); 又若设 f x x ( ) ln   ，则 f(x)在 (0, )  上具有二阶导数，且 1 2 f x u u ( ) 0,   ，但 { } { ln } n u n   发散，排除(A). 故应选(D). (6) 设曲线 L f x y f x y : ( , ) 1( ( , )  具有一阶连续偏导数)，过第 II 象限内的点 M 和第 IV 象限内的点 N，T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列小于零的是 (A) ( , ) T f x y dx  . (B) ( , ) T f x y dy  . (C) ( , ) T f x y ds  . (D) ( , ) ( , ) x y T f x y dx f x y dy     . [ B ]

中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设 M 、N 点的坐标分别为 1 1 2 2 1 2 1 2 M x y N x y x x y y ( , ), ( , ), ,   . 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有： 2 1 ( , ) 0 T T f x y dx dx x x       ; 2 1 ( , ) 0 T T f x y dy dy y y       ; ( , ) 0 T T f x y ds ds s      ; ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y T T f x y dx f x y dy df x y        . 故正确选项为(B). (7) 设向量组 1 2 3  , , 线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 1 2 2 3 3 1   ,  ,  . (B) 1 2 2 3 3 1   ,  ,  . (C) 1 2 2 3 3 2 1   2 ,  2 ,   . (D) 1 2 2 3 3 2 1   2 ,  2 ,   . [ A ] 【详解】用定义进行判定:令 x1 (1 2 )  x2 (2 3 )  x3 (3 1 )  0 ，得 (x1  x3 )1  (x1  x2 )2  (x2  x3 )3  0 . 因 1 2 3  , , 线性无关，所以 1 3 1 2 2 3 0, 0, 0. x x x x x x              又 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1     ，故上述齐次线性方程组有非零解, 即 1 2 2 3 3 1   ,  ,  线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. (8) 设矩阵                  1 1 2 1 2 1 2 1 1 A ,            0 0 0 0 1 0 1 0 0 B , 则 A 与 B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ] 【详解】由 | E  A| 0 得 A 的特征值为 0, 3, 3, 而 B 的特征值为 0, 1, 1,从而 A 与 B 不相似. 又 r(A)=r(B)=2, 且 A、B 有相同的正惯性指数, 因此 A 与 B 合同. 故选(B) . (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0<p<1), 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (A) 2 3p(1 p) ． (B) 2 6p(1 p)

中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn (C) 2 2 3p (1 p) ． (D) 2 2 6p (1 p) ． [ C ] 【详解】 “第 4 次射击恰好第 2 次命中”表示 4 次射击中第 4 次命中目标, 前 3 次射击中有 1 次命中目标, 由独立重复性知所求概率为： 1 2 2 3 C p (1 p) . 故选(C) . (10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关， f (x) f (y) X Y 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度 ( | ) | f x y X Y 为 (A) f (x) X ． (B) f (y) Y ． (C ) f (x) f (y) X Y . (D) ( ) ( ) f y f x Y X ． [ A ] 【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是 ( | ) | f x y X Y = f (x) X . 因此选(A) . 二、填空题：(11－16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上) (11) 1 2 3 1 1 x e dx x  = 1 2 1 . 2 e 【分析】先作变量代换，再分部积分。【详解】 1 1 1 2 1 2 3 1 3 2 1 1 2 1 1 ( ) t x t t x e dx t e dt te dt x t        = 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 . 2 t t t tde te e dt e      (12) 设 f(u,v)为二元可微函数， ( , ) y x z f x y  ，则 z x   = 1 1 2 ln . y x f yx f y y       【详解】利用复合函数求偏导公式，有 z x   = 1 1 2 ln . y x f yx f y y       (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程 2 4 3 2 x y y y e      的通解为 3 2 1 2 2 . x x x y C e C e e    其中 1 2 C ,C 为任意常数. 【详解】特征方程为 2      4 3 0 ，解得 1 2     1, 3. 可见对应齐次线性微分方程 y y y      4 3 0 的通解为 3 1 2 . x x y C e C e   设非齐次线性微分方程 2 4 3 2 x y y y e      的特解为 * 2x y ke  ，代入非齐次方程可得 k= −2. 故通解为 3 2 1 2 2 . x x x y C e C e e    (14) 设曲面     : 1 x y z ，则 x y dS   (  | |) = 4 3. 3

中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令 F x f x g x ( ) ( ) ( )   ，则问题转化为证明 F( ) 0   , 只需对 F x ( ) 用罗尔定理，关键是找到 F x ( ) 的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用 F(a)=F(b)=0, 若能再找一点 c a b ( , ) ，使得 F c( ) 0  ，则在区间 [ , ],[ , ] a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 F x ( ) 用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数 F x f x g x ( ) ( ) ( )   ，由题设有 F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在(a, b) 内具有相等的最大值, 不妨设存在 1 2 x  x , , ( , ) x1 x 2  a b 使得 1 2 [ , ] [ , ] ( ) max ( ), ( ) max ( ) a b a b f x M f x g x M g x     ，若 1 2 x  x ，令 1 c  x , 则 F c( ) 0.  若 1 2 x  x ，因 1 1 1 2 2 2 F x f x g x F x f x g x ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0       ，从而存在 1 2 c x x a b   [ , ] ( , ) ，使 F c( ) 0.  在区间 [ , ],[ , ] a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在 1 2     ( , ), ( , ) a c c b ，使得 1 2 F F   ( ) ( ) 0     . 再对 F x ( ) 在区间 1 2 [ , ]   上应用罗尔定理，知存在 1 2      ( , ) ( , ) a b ，有 F( ) 0   ，即 f g   ( ) ( ).    (20) (本题满分 10 分) 设幂级数 0 n n n a x    在 ( , )   内收敛，其和函数 y(x)满足 y xy y y y         2 4 0, (0) 0, (0) 1. (I) 证明： 2 2 , 1, 2, ; 1 n n a a n n     (II) 求 y(x)的表达式. 【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详解】 (I)记 y(x)= 0 n n n a x    , 则 1 2 1 2 , ( 1) , n n n n n n y na x y n n a x              代入微分方程 y xy y      2 4 0, 有