2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分把答案填在题中横线上）(1)设y=e(C,sinx+C,cosx)(C,C,为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为(2) 设 r = /x2 + y2 + 22 ,则 div (gradr) |(a,-2.2) =(3)交换二次积分的积分次序:[~dy],"f(x,)dx=(4)设矩阵A满足A+A-4E=O,其中E为单位矩阵,则（A-E)-=(5)设随机变量X的方差是2，则根据切比雪夫不等式有估计P(X-E(X)/≥2)≤二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）(1)设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如右图所示则y=f(x）的图形为(B)(A)(2)设f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且f(0,0)=3,f(0,0)=1,则(A) d. ko.0)=3dx+dy.(B）曲面z=f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为(3,1,1)
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)设 1 2 ( sin cos ) x y e C x C x = + ( 1 2 C C, 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通 解,则该方程为_. (2)设 2 2 2 r = x + y + z ,则 div(gradr) (1,−2,2) =_. (3)交换二次积分的积分次序: − 0 − 1 1 2 ( , ) y dy f x y dx ＝_. (4)设矩阵 A 满足 2 A A E + − = 4 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 1 ( ) A E − − =_. (5) 设随机变量 X 的方差是 2 , 则 根据 切 比 雪 夫 不 等 式 有估计 P{ X − E(X) 2} _. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)设函数 f (x) 在定义域内可导, y = f (x) 的图形如右图所 示 , 则 y = f (x) 的图形为 (2)设 f (x, y) 在点 (0,0) 附近有定义,且 f x (0,0) = 3, f y (0,0) = 1,则 (A) (0,0) | 3 z d dx dy = + . (B) 曲面 z = f (x, y) 在 (0,0, (0,0)) f 处的法向量为{3,1,1}
z=f(x,y)(C）曲线在(0,0,f(0,0)处的切向量为(1,0,3)y=0z= f(x,y)在(0,0,F(0,0)处的切向量为(3,0,1)(D)曲线y=0(3）设f(O）=0,则f(x）在x=0处可导的充要条件为(A) Jim(B) lim-f(1-cosh）存在f(1-e)存在h-0h2h-0h1lim三Lf(2h)-f(h)存在(C)lim-lig方(h-sinh)存在.(D)h-→0 h[40001110000则A与B(4)设A=B0000000011（A）合同且相似(B）合同但不相似(D）不合同且不相似(C）不合同但相似(5）将一枚硬币重复掷n次以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于1(A)-1.(B) 0.(C)(D) 1.2三、（本题满分6分）arctaner求dxe2x四、（本题满分6分）afaf设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微且f(1,1)=121=3,0(x)= f(x,(1.1axoy(x, x),求兴-0(x)=ldx五、（本题满分8分）
(C) 曲线 = = 0 ( , ) y z f x y 在 (0,0, (0,0)) f 处的切向量为{1,0,3}. (D) 曲线 = = 0 ( , ) y z f x y 在 (0,0, (0,0)) f 处的切向量为{3,0,1}. (3)设 f (0) = 0 ,则 f (x) 在 x =0 处可导的充要条件为 (A) 2 0 1 lim (1 cosh) h f → h − 存在. (B) 0 1 lim (1 ) h h f e → h − 存在. (C) 2 0 1 lim ( sinh) h f h → h − 存在. (D) 0 1 lim [ (2 ) ( )] h f h f h → h − 存在. (4)设 1 1 1 1 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 , , 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 A B = = 则 A 与 B (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似. (5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关 系数等于 (A)-1. (B) 0. (C) 1 2 . (D) 1. 三、(本题满分 6 分) 求 dx e e x x 2 arctan . 四、(本题满分 6 分) 设函数 z = f (x, y) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1) 1 = , (1,1) | 2 f x = , (1,1) | 3 f y = ,( ) ( , x f x = f x x ( , )).求 1 3 ( ) x= x dx d . 五、(本题满分 8 分)
[arctanx,x+0,"(-1)"将f(x)展开成x的幂级数,并求级数设f(x)的和1,1-4n2x=0六、（本题满分7分）计算I=(y2-)dx+(222-x)dy+(3x2-)dz,其中 L是平面x++z=2与柱面x+=1的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向七、（本题满分7分）设f(x）在(-1,1)内具有二阶连续导数且f"(x）0,试证(1)对于(-1,1)内的任一x±0,存在惟一的0(x)=(0,1),使f(x)=f(0)+xf(0(x)x)成立;1(2) lim 0(x) =2八、（本题满分8分）2(x+y设有一高度为h(t)（t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程≥=h(t)-h(t)长度单位为厘米,时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9),问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？九、（本题满分6分）设αα2α为线性方程组Ax=0的一个基础解系,=α+αβ,=α+tα，β,=tα,+t,α,其中t,t,为实常数.试问t,t,满足什么条件时,β,β2，,β,也为Ax=0的一个基础解系.十、（本题满分8分）已知3阶矩阵A与三维向量x使得向量组x,Ax,Ax线性无关，且满足A3x=3Ax-2A?x(1)记P=（x,Ax,Ax）,求3阶矩阵B,使A=PBP-l；(2)计算行列式A+E十一、（本题满分7分）
设 f (x) = 2 1 arctan , 0, 1, 0, x x x x x + = 将 f (x) 展开成 x 的幂级数,并求级数 = − − 1 2 1 4 ( 1) n n n 的和. 六、(本题满分 7 分) 计算 I y z dx z x dy x y dz L ( ) (2 ) (3 ) 2 2 2 2 2 2 = − + − + − ,其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱 面 x + y =1 的交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针方向. 七、(本题满分 7 分) 设 f (x) 在 ( 1,1) − 内具有二阶连续导数且 f (x) 0 ,试证: (1)对于 ( 1,1) − 内的任一 x 0,存在惟一的 (x) (0,1) ,使 f (x) = f (0) + xf ( (x)x) 成立; (2) 0 1 lim ( ) x 2 x → = . 八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 ht() ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 ( ) 2( ) ( ) 2 2 h t x y z h t + = − ( 设 长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分 6 分) 设 s , , , 1 2 为线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系, 1 1 1 2 2 = + t t , 2 1 2 2 3 = + t t , , s s 1 2 1 = + t t ,其中 1 2 t ,t 为实常数.试问 1 2 t ,t 满足什么条件时, s , , , 1 2 也为 Ax = 0 的一个 基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组 2 x Ax A x , , 线性无关,且满足 A x Ax A x 3 2 = 3 − 2 . (1)记 P =（ x Ax A x 2 , , ）,求 3 阶矩阵 B ,使 −1 A = PBP ; (2)计算行列式 A+ E . 十一、(本题满分 7 分)
设某班车起点站上客人数X服从参数为（入>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（O0),从该总体中抽取简单随机样本X,X2，X2(n≥2)其样本均值为=FX求统计量Y=（X,+X+-2X）的数学期望E(Y)2n台i=l2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1）【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是r，=1土i,从而得知特征方程为(r -r)(r-r)=r2-(+r)r+rn=r2-2r+2=0由此，所求微分方程为y-2y+2y=0(2）【分析】先求gradr[ar orarZxygradrLaxa"ay-raa0x()+再求divgradrOzaxay1Lr1V0+(3)+r3rrAP22于是divgradrl(a,-2,2)(1,2,2)31
设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ( 0 )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为 p ( 0 1 p ),且中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数,求: (1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 X 服从正态分布 2 N( , ) ( 0 ),从该总体中抽取简单随机样本 1 2 X X, , , X2n ( n 2 ),其样本均值为 = = n i Xi n X 2 2 1 1 ,求统计量 = = + + − n i Y Xi X n i X 1 2 ( 2 ) 的数学期望 E Y( ) . 2001 年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是 1 2 r r i , 1 = ,从而得知特征方程为 2 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 2 0 r r r r r r r r r r r r − − = − + + = − + = . 由此,所求微分方程为 '' ' y y y − + = 2 2 0 . (2)【分析】 先求 gradr. g r adr= , , , , r r r x y z x y z r r r = . 再求 divg radr= ( ) ( ) ( ) x y z x r y r z r + + = 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 3 2 ( ) ( ) ( ) x y z x y z r r r r r r r r r + + − + − + − = − = . 于是 divg radr| (1, 2,2) − = (1, 2,2) 2 2 | r 3 − =
(3）【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为-1≤y≤0时+y=11-y≤2.由此看出二次积分「°dyf(x,y)dx是二重积分的一个累次积分，它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为[~dyf"f(x, y)dx = [[ f(x, y)dxdy由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D-1y≤0,1-yx≤2见图.现可交换积分次序原=- dy f(x, y)dx=-f" dxf (x, y)dy=f"dxf f(x, y)dy（4）【分析】矩阵A的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.(A-E)(A+2E)-2E=A+A-4E=0因为A+2E故(A-E)E(A-E)(A+2E)=2E,即21(A-E)- ==(A+2E).按定义知2(5）【分析】根据切比雪夫不等式P(IX-E(X)≥6)≤ D(m)6D(x)1于是PI|X-E(X)≥2)≤222二、选择题（1）【分析】当x0时,(x)：增—一减—一增=(x):正一一负——正,(B)不对,(D)对应选(D).(2）【分析】我们逐一分析关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由f(x,y)在(0.0)存在两个偏导数f(x,y)在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 − 1 0 y 时 1 2 − y .由此看出二次积分 0 2 1 1 ( , ) y dy f x y dx − − 是二重积分的一个累次 积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为 0 2 1 1 ( , ) ( , ) y D dy f x y dx f x y dxdy − − = . 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D : − − 1 0,1 2 y y x . 见图.现可交换积分次序 原式= 0 2 2 0 2 1 1 1 1 1 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y x dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy − − − − − = − = . (4)【分析】 矩阵 A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用 定义法. 因为 2 ( )( 2 ) 2 4 0 A E A E E A A E − + − = + − = , 故 ( )( 2 ) 2 A E A E E − + = ,即 2 ( ) 2 A E A E E + − = . 按定义知 1 1 ( ) ( 2 ) 2 A E A E − − = + . (5)【分析】 根据切比雪夫不等式 2 ( ) { ( ) } D x P X E X − , 于是 2 ( ) 1 { ( ) 2} 2 2 D x P X E X − = . 二、选择题 (1)【分析】 当 x 0 时, f x( ) 单调增 ' f x( ) 0 ,(A),(C)不对; 当 x 0 时, f x( ) :增——减——增 ' f x( ) :正——负——正,(B)不对,(D)对. 应选(D). (2)【分析】 我们逐一分析. 关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由 f x y ( , ) 在(0,0)存在两个偏导数 f x y ( , ) 在(0,0 )处可 微.因此(A)不一定成立
关于(B)只能假设 f(x,J)在(0.0)存在偏导数 (0,0),r(0,0),不保证曲面≥=f(x,y)在ayax[af(0,0) af(0,0)±(3,1,-1]与(3,1,1]不(0,0,f(0,0))存在切平面.若存在时,法向量maxay共线,因而(B)不成立[x=t,关于(C),该曲线的参数方程为y=0.它在点(0,0,f(0,0)处的切向量为z= f(t,0),tod (t, 0) l=0= (1, 0, F(0, 0)) = (1, 0, 3)d因此(C)成立f(x)f(x)f(x) lim(3)【分析】当F(0)=0时,(0)=lim.-xXJ(l-cosh)=lim(l-cosh) 1-coshf(t)关于（A)：lim=l-coshimh?h-→0 h01-coshlimf(1-cosh)3 f(0)3.由此可知h-0 h若f(x)在x=0可导=（A)成立,反之若(A)成立=f(O)文F(O)如f(x)=x满足（A)，但F(O)不关于(D)：若f(x)在x=0可导,= f(2h)_ f(h)=2f(0)-f(0)lim =[F(2h)- f(h)]= lim[2h->0h2h1=(D)成立.反之(D)成立= lim(f(2h)-f(h))=0f(x)在x=0连续, f(x)在x=0可2x+1,x+0导.如f(x)满足(D),但f(x)在x=0处不连续,因而f(O)也不30.x=0再看(C)：1h-sinhh-sinh f(t)f(h-sinh)limlimf(h-sinh)=-lim（当它们都3时）h?h?h->0 hh-sinhh-→0th-0h-sinhf(t)（即0.因而，若f(0)日→(C)成立.反之若(C)成立lim注意,易求得limh?h-→0-→0tf(t)f（0)日）.因为只要有界,任有(C)成立如f(x）=x|满足(C),但f(O)不日t
关于(B)只能假设 f x y ( , ) 在(0,0)存在偏导数 (0,0) (0,0) , f f x y ,不保证曲面 z f x y = ( , ) 在 (0,0, (0,0)) f 存在切平面.若存在时,法向量 n= (0,0) (0,0) 1 f f x y − = ， ， {3,1,-1}与{3,1,1}不 共线,因而(B)不成立. 关于(C),该曲线的参数方程为 , 0, ( ,0), x t y z f t = = = 它在点 (0,0, (0,0)) f 处的切向量为 ' 0 { ',0, ( ,0)}| {1,0, (0,0)} {1,0,3} t x d t f t f dt = = = . 因此,(C)成立. (3)【分析】 当 f (0) 0 = 时, ' 0 ( ) (0) lim x f x f → x = 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x f x → + → − x x = . 关于(A): 2 2 0 0 0 1 (1 cos ) 1 cos 1 ( ) lim (1 cos ) lim 1 cos lim h h t 1 cos 2 f h h f t f h t h → → → + h h h t − − − = = − − , 由此可知 2 0 1 lim (1 cos ) h f h → h − ' f (0) + . 若 f x( ) 在 x = 0 可导 (A)成立,反之若(A)成立 ' f (0) + ' f (0).如 f x x ( ) | | = 满 足(A),但 ' f (0) 不 . 关于(D):若 f x( ) 在 x = 0 可导, ' ' 0 0 1 (2 ) ( ) lim [ (2 ) ( )] lim[2 ] 2 (0) (0) h h 2 f h f h f h f h f f → → h h h − = − = − . (D)成立.反之(D)成立 0 lim( (2 ) ( )) 0 h f h f h → − = f x( ) 在 x = 0 连续, f x( ) 在 x = 0 可 导.如 2 1, 0 ( ) 0, 0 x x f x x + = = 满足(D),但 f x( ) 在 x = 0 处不连续,因而 ' f (0) 也不 . 再看(C): 2 2 2 0 0 0 1 sin ( sin ) sin ( ) lim ( sin ) lim lim h h h sin h h f h h h h f t f h h → → → h h h h h t − − − − = = − (当它们都 时). 注意,易求得 2 0 sin lim 0 h h h → h − = .因而,若 ' f (0) (C)成立.反之若(C)成立 0 ( ) lim t f t → t (即 ' f (0) ).因为只要 f t( ) t 有界,任有(C)成立,如 f x x ( ) | | = 满足(C),但 ' f (0) 不
因此只能选（B)(4）【分析】由|2E-A=24-423=0,知矩阵A的特征值是4,0,00.又因A是实对称矩阵，A必能相似对角化,所以A与对角矩阵B相似作为实对称矩阵，当A～B时，知A与B有相同的特征值，从而二次型xAx与xBx有相同的正负惯性指数，因此A与B合同所以本题应当选（A)注意，实对称矩阵合同时，它们不一定相似，但相似时一定合同.例如[10]1107与B=4=02103它们的特征值不同,故A与B不相似,但它们的正惯性指数均为2.负惯性指数均为0.所以A与B合同.(5）【分析】解本题的关键是明确X和Y的关系：X+Y=n即Y=n-X在此基础上利用性质相关系数Px的绝对值等于1的充要条件是随机变量X与Y之间存在线性关系,即Y=aX+b（其中a,b是常数),且当a>0时,Px=1;当a<0时,Pxy=-1,由此便知Pxy=-1,应选(A)事实上,Cov(X,Y)=Cov(X,n-X)=-DX,DY=D(n-X)=DX,由此由相关系数的定-DXCov(X,Y)义式有:-1PxyJDXDYDXDYde三、【解】原式arctaned(e-2xarctaneF21+61dedearctane.2xarctane*+e-*+arctane*)+C2四、【解】先求β(1)= f(1, f(1,D))= f(1,1)=1()]=3g()()=3g(),归结为求()由复合数求导法求dx
因此,只能选(B). (4)【分析】 由 4 3 | | 4 0 E A − = − = ,知矩阵 A 的特征值是4,0,0,0.又因 A 是实对称矩阵, A 必能相似对角化,所以 A 与对角矩阵 B 相似. 作为实对称矩阵,当 A B 时,知 A 与 B 有相同的特征值,从而二次型 T x Ax 与 T x Bx 有相同的 正负惯性指数,因此 A 与 B 合同. 所以本题应当选(A). 注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如 1 0 0 2 A = 与 1 0 0 3 B = , 它们的特征值不同,故 A 与 B 不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以 A 与 B 合 同. (5)【分析】 解本题的关键是明确 X 和 Y 的关系: X Y n + = ,即 Y n X = − ,在此基础上利用性质: 相关系数 XY 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量 X 与 Y 之间存在线性关系,即 Y aX b = + (其 中 a b, 是常数),且当 a 0 时, 1 XY = ;当 a 0 时, 1 XY = − ,由此便知 1 XY = − ,应选(A). 事实上,Cov X Y Cov X n X DX ( , ) ( , ) = − = − , DY D n X DX = − = ( ) ,由此由相关系数的定 义式有 ( , ) 1 XY Cov X Y DX DX DY DX DY − = = = − . 三、【解】 原式= 2 2 2 2 1 1 arctan ( ) [ arctan ] 2 2 (1 ) x x x x x x x de e d e e e e e − − − = − − + = 2 2 2 1 ( arctan ) 2 1 x x x x x x de de e e e e − − − + + = 1 2 ( arctan arctan ) 2 x x x x e e e e C − − − + + + . 四、【解】 先求 (1) (1, (1,1)) (1,1) 1 = = = f f f . 求 3 2 ' ' 1 ( ) | 3 (1) (1) 3 (1) x d x dx = = = ,归结为求 ' (1) .由复合函数求导法
()=(x,(x,x)+(x, (x,x)(x),dx0()= i(1,1)+ f,(1, 1)[fi(1,1)+ f2(1,1)].(1)--2. ()-0.-3注意axayαg(x)l/= 3x17= 51.β (1)= 2 +3(2 +3)=17 , 因此dx五、【分析与求解】关键是将arctanx展成幂级数.然后约去因子x，再乘上1+x2并化简即可直接将arctanx展开办不到，但（arctanx）易展开，即1(arctanx)(-1)"x2n,/xk1①1+ x2n=0I,(aetan)lat- (-1rad - (1,r, [-1.7.arctanx=积分得=02n+]因为右端积分在x=土1时均收敛，又arctanx在x=土1连续,所以展开式在收敛区间端点x=±1成立，1+x2现将②式两边同乘以广x(-1)"x2n+21+x2(-1)"(-1)"-arctan x=(1+x2)>7+>2n+1=2n+1=02n+1xn=0(-1)-1(-1)2n-12n+12n-1neo1I2n-2n+1N=l(-1)"2=1+>xe[-11],x±0=1-4n上式右端当x=0时取值为1,于是f(x)=1+(-1)"2.xe[-lll.1-4n2
' ' ' 1 2 ( ) ( , ( , )) ( , ( , )) ( , ) d x f x f x x f x f x x f x x dx = + , ' ' ' ' ' 1 2 1 2 (1) (1,1) (1,1)[ (1,1) (1,1)] = + + f f f f . 注意 ' 1 (1,1) (1,1) 2 f f x = = , ' 2 (1,1) (1,1) 3 f f y = = . 因此 ' (1) 2 3(2 3) 17 = + + = , 3 1 ( ) | 3 17 51 x d x dx = = = . 五、【分析与求解】 关键是将 arctan x 展成幂级数,然后约去因子 x ,再乘上 2 1+ x 并化简即可. 直接将 arctan x 展开办不到,但 ' (arctan ) x 易展开,即 ' 2 2 0 1 (arctan ) ( 1) , | | 1 1 n n n x x x x = = = − + , ① 积分得 ' 2 2 1 0 0 0 0 ( 1) arctan (arctan ) ( 1) 2 1 n x x n n n n n x t dt t dt x n + = = − = = − = + , x −[ 1,1]. ② 因为右端积分在 x =1 时均收敛,又 arctan x 在 x =1 连续,所以展开式在收敛区 间端 点 x =1 成立. 现将②式两边同乘以 2 1 x x + 得 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) arctan (1 ) 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n x x x x x x x n n n + = = = + − − − = + = + + + + = 1 2 2 0 0 ( 1) ( 1) 2 1 2 1 n n n n n n x x n n − = = − − + + − = 2 1 1 1 1 ( 1) ( ) 2 1 2 1 n n n x n n = + − − + − 2 2 1 ( 1) 2 1 1 4 n n n x n = − = + − , x −[ 1,1], x 0 上式右端当 x = 0 时取值为 1,于是 2 2 1 ( 1) 2 ( ) 1 , [ 1,1] 1 4 n n n f x x x n = − = + − −
（-1)"T上式中令x=1=→(2×[f(1)-1]=1-4m442六、【解】用斯托克斯公式来计算记S为平面x+y+z=2上L所为围部分.由L的定向,按右手法则S取上侧，S的单位法向量1n=(cosα,cosβ,cosy)(1,1,1)J3于是由斯托克斯公式得cos βcosαcosyaaadsayOzax222-x23x2 1(-2z-6x)(-2x-2vLdsV3J3V32([(4x+2y+3≥)dS(利用x+y+z=2)-[[(6+x-y)dsV3/1+Z2+Z2=/1+1+1=V3于是按第一类曲面积分化为二重积分得([ (6+ x- y)/3dxdy=-2[[(6 + x- y)dxdy其中D围S在xy平面上的投影区域|x+ly1（图）.由D关于x,y轴的对称性及被积函数的奇[(x-y)dxdy = 0偶性得I=-12[[dxdy=-12(V2)?=-24=七、【证明】(1)由拉格朗日中值定理,VxE(1-1),x0，30e(0,1),使f(x)= f(0)+xf(Ox)(0与x有关);又由f(αx)连续而(αx)+0,f"(α)在(1,-1)不变号,f(x)在(1,-1)严格单调
上式中令 x =1 2 1 ( 1) 1 1 1 [ (1) 1] (2 1) 1 4 2 2 4 4 2 n n f n = − = − = − = − − . 六、【解】 用斯托克斯公式来计算.记 S 为平面 x y z + + = 2 上 L 所 为围部分.由 L 的定向,按右手法则 S 取上侧, S 的单位法向量 1 (cos ,cos ,cos ) (1,1,1) 3 n = = . 于是由斯托克斯公式得 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 2 3 S I dS x y z y z z x x y = − − − = 1 1 1 [( 2 4 ) ( 2 6 ) ( 2 2 ) ] S 3 3 3 − − + − − + − − y z z x x y dS = 2 2 (4 2 3 ) ( 2) (6 ) 3 3 S S − + + + + = − + − x y z dS x y z x y dS 利用 . 于是 '2 '2 1 1 1 1 3 + + = + + = Z Z x y . 按第一类曲面积分化为二重积分得 2 (6 ) 3 2 (6 ) 3 D D I x y dxdy x y dxdy = − + − = − + − , 其中 D 围 S 在 xy 平面上的投影区域 | | | | 1 x y + (图）.由 D 关于 x y, 轴的对称性及被积函数的奇 偶性得 ( ) 0 D x y dxdy − = 2 12 12( 2) 24 D I dxdy = − = − = − . 七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理, − x (1, 1) , x 0 , (0,1) ,使 ' f x f xf x ( ) (0) ( ) = + ( 与 x 有关);又由 '' f x( ) 连续而 '' f x( ) 0 , '' f x( ) 在 (1, 1) − 不变号, ' f x( ) 在 (1, 1) − 严格单调
0唯一.(2)对f(0x)使用f(O)的定义.由题(1)中的式子先解出f(Ox),则有I(ex)= (x)- f(0)xF(ex)- f(0)= f()-f(0)-x(0)再改写成xf (0x)- f (0) .e - (x)-f(0)-xf (0)0xx2解出0令x→0取极限得1f (0)f'(0x)-f(0)f(x)- f(O)-xf (0)Clim = limx20x2f(o)-0r-→0x-0八、【解】(1)设t时刻雪堆的体积为V(t)，侧面积为S(t）.t时刻雪堆形状如图所示先求S(t)与V(O)2(x2 +y)h(t)((x.y)ED..:x)侧面方程是z=h(t)-h(t)2OzOz4x4yLaxh(t)yh(t)h (0)+16(x* + y)()+()S(t) =dxdydxdy+Naxh(t)ayDyDa作极坐标变换：x=rcoso,y=rsino则1h(t)D.:0≤0≤2元.0≤r≤V2[h2(t)+16rrdiS(t)h(t=Lh(0)_ 13元 2(0)2元[h(0+16r2丽12h(t) 48
唯一. (2)对 ' f x ( ) 使用 '' f (0) 的定义.由题(1)中的式子先解出 ' f x ( ) ,则有 ' ( ) (0) ( ) f x f f x x − = . 再改写成 ' ' ' ( ) (0) (0) ( ) (0) f x f xf f x f x − − − = . ' ' ' 2 f x f f x f xf ( ) (0) ( ) (0) (0) x x − − − = , 解出 ,令 x →0 取极限得 '' ' ' ' 2 '' 0 0 0 1 (0) ( ) (0) (0) ( ) (0) 1 2 lim lim / lim x x x (0) 2 f f x f xf f x f x x f → → → − − − = = = . 八、【解】 (1)设 t 时刻雪堆的体积为 V t() ,侧面积为 S t( ) .t 时刻雪堆形状如图所示 先求 S t( ) 与 V t() . 侧面方程是 2 2 2 2( ) ( ) 2 2 ( ) (( , ) : ) ( ) 2 xy x y h t z h t x y D x y h t + = − + . 4 4 , ( ) ( ) z x z y x h t y h t = − = − . 2 2 2 2 2 ( ) 16( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) D D xy xy z z h t x y S t dxdy dxdy x y h t + + = + + = . 作极坐标变换: x r y r = = cos , sin ,则 1 : 0 2 ,0 ( ) 2 D r h t xy . 1 2 ( ) 2 2 2 0 0 3 1 ( ) 2 2 2 2 2 0 1 ( ) ( ) 16 ( ) 2 1 13 [ ( ) 16 ] | ( ). ( ) 48 12 h t h t S t d h t r rdr h t h t r h t h t = + = + =