跨煮教育KUAKADUCATIOIBornto win1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.）(1) 函数 F(x)=[(2-)di(x>0)的单调减少区间为_[3x+2 =12.绕轴旋转一周得到的旋转面在点(0.V3,V2)处的指向外侧(2）由曲线z=0的单位法向量为(3）设函数f(x)=元x+x(-元<x<元）的傅里叶级数展开式为号+之(a,cosm+b,sinx),则其中系数b,的值为2(4)设数量场u=lnx2+y?+2则div(gradu)=(5）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1,则线性方程组Ax=0的通解为二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）((1)设f(x)=[sin(t")dt,g(x)=x +x则当x→0时,f(x)是g(x)的)（A）等价无穷小(B）同阶但非等价无穷小(C）高阶无穷小(D）低阶无穷小(2）双纽线（x2+y）=x2-y所围成的区域面积可用定积分表示为C)cos20de(A)2cos20de(B)Jcos20do4 (cos20)°d6C)(D)[x-y=6z+8(3）设有直线：-1_-5，则L,与L,的夹角为()1-212y+z=3元元(A)(B) 164元元-2(c)(D)31
Born to win 1 1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 函数 1 1 ( ) (2 ) ( 0) x F x dt x t = − 的单调减少区间为_. (2) 由曲线 2 2 3 2 12, 0 x y z + = = 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0, 3, 2) 处的指向外侧 的单位法向量为_. (3) 设函数 2 f x x x x ( ) ( ) = + − 的傅里叶级数展开式为 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx = + + ,则其中系数 3 b 的值为_. (4) 设数量场 2 2 2 u x y z = + + ln , 则 div u (grad ) = _. (5) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为 n−1,则线性方程组 Ax = 0 的通解 为_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设 sin 2 0 ( ) sin( ) x f x t dt = , 3 4 g x x x ( ) = + 则当 x →0 时, f x( ) 是 g x( ) 的 ( ) (A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小 (2) 双纽线 2 2 2 2 2 ( ) x y x y + = − 所围成的区域面积可用定积分表示为 ( ) (A) 4 0 2 cos 2 d (B) 4 0 4 cos 2 d (C) 4 0 2 cos 2 d (D) 4 2 0 1 (cos 2 ) 2 d (3) 设有直线 1 1 5 8 : 1 2 1 x y z L − − + = = − 与 2 6 : 2 3 x y L y z − = + = ,则 L1 与 L2 的夹角为 ( ) (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2
凶跨煮教育DUCATIOICUAKABorntowin(4）设曲线积分[,Lf(x)-e"jsinydx-f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续C导数,且f(0)=0,则f(x)等于e"r-ere'-e"(A)(B) 22e"+e-re'+e-(C)(D) 1-22(1 23)24(5）已知O=，P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0，则(369)(A）t=6时，P的秩必为1(B)t=6时，P的秩必为2(C)t±6时，P的秩必为1(D)t6时，P的秩必为2三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分.）21(1)求lim(sin=+cos-)4xxer(2) 求dxVer-l(3）求微分方程xy+xy=y，满足初始条件y-=1的特解四、（本题满分6分）计算[[2xzdydz+yzdzdx-2dxdy,其中是由曲面≥=Jx?+2与3z=2-x2-y2所围立体的表面外侧，五、（本题满分7分)求级数之-(F-n+) 的和2"=0六、（本题共2小题，每小题5分，满分10分.）(1）设在[0,+o0)上函数f(x)有连续导数,且f(x)≥k>0,f(0)a>e,证明a>b°2
Born to win 2 (4) 设曲线积分 [ ( ) ]sin ( )cos x L f x e ydx f x ydy − − 与路径无关,其中 f x( ) 具有一阶连续 导数,且 f (0) 0 = ,则 f x( ) 等于 ( ) (A) 2 x x e e − − (B) 2 x x e e − − (C) 1 2 x x e e − + − (D) 1 2 x x e e − + − (5) 已知 1 2 3 2 4 3 6 9 Q t = , P 为三阶非零矩阵,且满足 PQ = 0 ,则 (A) t = 6 时, P 的秩必为 1 (B) t = 6 时, P 的秩必为 2 (C) t 6 时, P 的秩必为 1 (D) t 6 时, P 的秩必为 2 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.) (1) 求 2 1 lim(sin cos ) x x→ x x + . (2) 求 1 x x xe dx e − . (3) 求微分方程 2 2 x y xy y + = ,满足初始条件 1 | 1 x y = = 的特解. 四、(本题满分 6 分) 计算 2 2xzdydz yzdzdx z dxdy + − ,其中 是由曲面 2 2 z x y = + 与 2 2 z x y = − − 2 所围立体的表面外侧. 五、(本题满分 7 分) 求级数 2 0 ( 1) ( 1) 2 n n n n n = − − + 的和. 六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (1) 设在 [0, ) + 上函数 f x( ) 有连续导数,且 f x k f ( ) 0, (0) 0, 证明 f x( ) 在 (0,+ ) 内有且仅有一个零点. (2) 设 bae ,证明 b a a b
凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIONBorntowin七、（本题满分8分）已知二次型f(x,x2,)=2x+3x+3x+2axzx(a>0)，通过正交变换化成标准形f=y+2y+5y，求参数a及所用的正交变换矩阵八、（本题满分6分）设A是nxm矩阵，B是mxn矩阵，其中n<m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关九、（本题满分6分）设物体A从点（O,1)出发，以速度大小为常数v沿V轴正向运动.物体B从点（-1,O)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分，把答案填在题中横线上.）（1）一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为(2）设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度fr(y)=十一、（本题满分6分）1e-,设随机变量X的概率分布密度为f(x)=8<x<+82(1）求X的数学期望E(X)和方差D(X).(2）求X与|XI的协方差，并问X与|X|是否不相关？(3）问X与|X是否相互独立？为什么？3
Born to win 3 七、(本题满分 8 分) 已知二次型 222 1 2 3 1 2 3 2 3 f x x x x x x ax x a ( , , ) 2 3 3 2 ( 0) = + + + ,通过正交变换化成标准形 2 2 2 1 2 3 f y y y = + + 2 5 ,求参数 a 及所用的正交变换矩阵. 八、(本题满分 6 分) 设 A 是 n m 矩阵, B 是 m n 矩阵,其中 n m , E 是 n 阶单位矩阵,若 AB E = ,证明 B 的列向量组线性无关. 九、(本题满分 6 分) 设物体 A 从点 (0,1) 出发,以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动.物体 B 从点 ( 1,0) − 与 A 同时出发,其速度大小为 2v ,方向始终指向 A ,试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方 程,并写出初始条件. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分,把答案填在题中横线上.) (1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第 二次抽出的是次品的概率为_. (2) 设随机变量 X 服从 (0,2) 上的均匀分布,则随机变量 2 Y X = 在 (0,4) 内的概率分布密 度 ( ) Y f y =_. 十一、(本题满分 6 分) 设随机变量 X 的概率分布密度为 1 | | ( ) 2 x f x e− = , − + x . (1) 求 X 的数学期望 E X( ) 和方差 D X( ) . (2) 求 X 与 | | X 的协方差,并问 X 与 | | X 是否不相关？ (3) 问 X 与 | | X 是否相互独立？为什么？
跨煮教育CADUCATIOBorntowin1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.1(1)【答案】00，那么函数y=f(x)在[a,bl上单调增加；(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.(2）【答案】0, V2, V315【解析】先写出旋转面S的方程：3(x2+z2）+2y2=12令F(x, y,2)=3(x2 +2)+2y2 -12则S在点(x,y,z)的法向量为n=+[FOF OF]=±[6x,4y,62),[axaya]所以在点（0.V3.V2）处的法向量为n=±[0,4/3,6/2)=±2[0,2/3,3/2)因指向外侧，故应取正号，单位法向量为2[0,2/3,3/2]n(0.2/3,3/2)=(0, V2, V3)1o-[n](0) +(4v3) +(6/2)*2(3）【答案】4
Born to win 4 1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 1 0 4 x 【解析】由连续可导函数的导数与 0 的关系判别函数的单调性. 将函数 1 1 ( ) (2 ) , x F x dt t = − 两边对 x 求导,得 1 F x( ) 2 x = − . 若函数 F x( ) 严格单调减少,则 1 F x( ) 2 0 x = − ,即 1 2 x . 所以函数 F x( ) 单调减少区间为 1 0 4 x . 【相关知识点】函数的单调性：设函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上连续,在 ( , ) a b 内可导. (1) 如果在 ( , ) a b 内 f x ( ) 0 ,那么函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调增加； (2) 如果在 ( , ) a b 内 f x ( ) 0 ,那么函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调减少. (2)【答案】 1 0, 2, 3 5 【解析】先写出旋转面 S 的方程： 2 2 2 3( ) 2 12 x z y + + = . 令 2 2 2 F x y z x z y ( , , ) 3( ) 2 12 = + + − . 则 S 在点 ( , , ) x y z 的法向量为 , , 6 ,4 ,6 FFF n x y z x y z = = , 所以在点 (0, 3, 2) 处的法向量为 n = = 0,4 3,6 2 2 0,2 3,3 2 . 因指向外侧,故应取正号,单位法向量为 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 0,2 3,3 2 1 1 0,2 3,3 2 0, 2, 3 | | 30 5 0 4 3 6 2 n n n = = = = + + . (3)【答案】 2 3
凶跨煮教育KUAKAncBorn to win【解析】按傅式系数的积分表达式f(x)sin nxdxb:b, ==" (rx+x)sin 3xdx=J xsin3xdx+ 所以"xsin3xdx因为x2sin3x为奇函数，所以x sin3xdx=0；xsin3xdx为偶函数，所以b, = " xsin3xdx =2[" xsin3xdx- --cos3.xd-+[sm3]22=元元33121(4）【答案】x* +y? +=?【解析】先计算u的梯度，再计算该梯度的散度.our.ououk因为gradu=i-i+Ozax2a'u[ouQuou]"u.a"u所以div(grad u)= div02ax?ay?[ax'ay"a]数量场u=lnx?+y2+z分别对x,y,求偏导数，得112xouX2/++2x++2axVx?+y+2?由对称性知ououZyy+y2+22Ozx2 +y2+22将%,%,%分别对x,二求偏导,得ax'ayazy?+2?-x?0u(x?+y?+z)-x.2xax?(x2+y+2)(x2+y? +2)25
Born to win 5 【解析】按傅式系数的积分表达式 1 ( )sin n b f x nxdx − = , 所以 2 2 3 1 1 b x x xdx x xdx x xdx ( )sin 3 sin 3 sin 3 − − − = + = + . 因为 2 x x sin 3 为奇函数,所以 2 x xdx sin3 0 − = ； x xdx sin3 为偶函数,所以 3 0 b x xdx x xdx sin3 2 sin3 − = = 0 0 0 1 2 2 2 ( cos3 ) cos3 cos3 3 3 3 x xd x x xdx = − = − + 0 2 2 sin 3 2 3 3 3 3 x = + = . (4)【答案】 2 2 2 1 x y z + + 【解析】先计算 u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z = + + , 所以 222 2 2 2 (grad ) , , u u u u u u div u div x y z x y z = = + + . 数量场 2 2 2 u x y z = + + ln 分别对 x y z , , 求偏导数,得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 u x x x x y z x y z x y z = = + + + + + + , 由对称性知 2 2 2 u y y x y z = + + , 2 2 2 u z z x y z = + + , 将 , , uuu x y z 分别对 x y z , , 求偏导,得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) u x y z x x y z x x x y z x y z + + − + − = = + + + +
跨煮教育KUAKAODCABornto winO'u 2?+x?-y?aux?+y?-2?++oy2(x?+y?+2)?'u,ou,ou1因此，div(grad u) =xy++(5)【答案】k(1,1,,1)【解析】因为r(A)=n-1,由n-r(A)=1知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故Ax=0的通解形式为kn，下面根据已知条件“A的各行元素之和均为零”来分析推导Ax=0的一个非零解，它就是Ax=0的基础解系各行元素的和均为0，即a+a2+am=0a2+a2.+a2=0[am+a2*-+am=0而齐次方程组Ax=0为[a+a+.+anx=0a2i, +a22x+..+anx,=0am+an+.+ax,=0两者比较，可知x=xz=…=x,=1是Ax=0的解.所以应填k(1,11)二、选择题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.）(1）【答案】(B).0,f(α)为"”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，【解析】lim0x0 g(x)运用洛必达法则，有sin(t?)dt洛sin(sin’ x)cos xsin(sin’ x)f(x)0limlimlim=lim-limcosxx3 +x43x2 +4x3x→0 3x2+4x3→0x→0x→0 g(x)→ sin(sin? x)=limx0 3x2 + 4x3因为当x→0,sinx→0,所以sin(sin?x)~sinx~x,所以6
Born to win 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) u z x y y x y z + − = + + , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) u x y z z x y z + − = + + , 因此, 222 2 2 2 2 2 2 1 (grad ) uuu div u x y z x y z = + + = + + . (5)【答案】 (1,1, ,1)T k 【解析】因为 r A n ( ) 1 = − ,由 n r A − = ( ) 1 知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故 Ax = 0 的通解形式为 k .下面根据已知条件“ A 的各行元素之和均为零”来分析推导 Ax = 0 的一个非零解,它就是 Ax = 0 的基础解系. 各行元素的和均为 0,即 11 12 1 21 22 2 1 2 0 0 0 n n n n nn a a a a a a a a a + + = + + = + + = , 而齐次方程组 Ax = 0 为 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = . 两者比较,可知 1 2 1 n x x x = = = = 是 Ax = 0 的解.所以应填 (1,1, ,1)T k . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(B) 【解析】 0 ( ) lim ( ) x f x → g x 为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在, 运用洛必达法则,有 sin 2 2 2 0 3 4 2 3 2 3 0 0 0 0 0 sin( ) ( ) sin(sin )cos sin(sin ) lim lim lim lim limcos ( ) 3 4 3 4 x x x x x x t dt f x x x x x → → → → → g x x x x x x x = = = + + + 洛 2 2 3 0 sin(sin ) lim x 3 4 x → x x = + . 因为当 x →0 , sin 0, x → 所以 2 2 2 sin(sin ) sin x x x ,所以
跨煮教育KUAKAODCAnBorn to winx21sin(sin’ x)1limlimlim1→03x2+4x3x03+4x3→03x2+4x3所以f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小量.应选(B)。【相关知识点】无穷小的比较：α(x)lim=1设在同一个极限过程中，α(x),β(x）为无穷小且存在极限β(x)(1）若1+0,称α(x),β(x)在该极限过程中为同阶无穷小；(2）若[=1,称α(x),β(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为α(x)~β(x)；(3）若1=0.称在该极限过程中α(x)是β(x)的高阶无穷小,记为α(x)=o(β(x))()不存在(不为),称α(x),β(x)不可比较.若limβ(x)(2）【答案】（A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x轴、y轴对称，（如草图）只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程复杂，而极坐标方程较为简单：p=cos20.显然，在第一象限部分的变化范围是βe[0,马].再由对称性得4S=4S, =4.-cos20deo'deJ应选(A).(3）【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题，L，与L，的方向向量分别是j1 =(1,-2,1), 7 =1 -1 0=(-1,-1,2),21L,与L,的夹角@的余弦为7
Born to win 7 2 2 2 3 2 3 0 0 0 sin(sin ) 1 1 lim lim lim x x x 3 4 3 4 3 4 3 x x → → → x x x x x = = = + + + , 所以 f x( ) 与 g x( ) 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较： 设在同一个极限过程中, ( ), ( ) x x 为无穷小且存在极限 ( ) lim ( ) x l x = , (1) 若 l 0, 称 ( ), ( ) x x 在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若 l = 1, 称 ( ), ( ) x x 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ( ) ( ) x x ； (3) 若 l = 0, 称在该极限过程中 ( ) x 是 ( ) x 的高阶无穷小,记为 ( ) ( ) x o x = ( ) . 若 ( ) lim ( ) x x 不存在(不为 ),称 ( ), ( ) x x 不可比较. (2)【答案】(A) 【解析】由方程可以看出双纽线关于 x 轴、 y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程 较为简单： 2 = cos 2 . 显然,在第一象限部分 的变化范围是 [0, ] 4 .再由对称性得 4 4 2 1 0 0 1 4 4 2 cos 2 2 S S d d = = = , 应选(A). (3)【答案】(C) 【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题, L1 与 L2 的方向向量分别是 1 2 (1, 2,1), 1 1 0 ( 1, 1,2) 021 i j k l l = − = − = − − , L1 与 L2 的夹角 的余弦为
7跨考教育XKUAKAODCABorn to win1-131cos p=cos(,)匹,应选(C)。所以0=3(4）【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上，该曲线积分与路径无关一~(-f(x)cos y),a-((f(x)-e'")sin y) =ayOx即(f(x)-e')cosy=-f'(x)cosy[e'f(x)化简得f(x)+f(x)=er,即-4！e+C，所以解之得2*+C)e"f(x)=f(x)=e2，因此f(x)=(e-e-")，故应选(B)由f(O)=0得C=【相关知识点】曲线积分「,Pdx+Qdy在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是aP_ayax(5）【答案】(C)【解析】若A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，AB=0,则r(A)+r(B)≤n当t=6时,矩阵的三行元素对应成比例，r(Q)=1,有r(P)+r()≤3,知r(P)≤2，所以，r(P）可能是1，也有可能是2,所以（A)、(B)都不准确：当t+6时，矩阵的第一行和第三行元素对应成比例，r(Q)=2，于是从r(P)+r(Q)≤3得r(P)≤1.又因P±0,有r(P)≥1.从而r(P)=1必成立,所以应当选(C)三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分.）(1）【解析】令-==1，则当x→>0时，t→0,x2+cos)=lim(sin2t+cost)ilim(sinxx1-→0T→0这是1"型未定式，8
Born to win 8 1 2 1 2 1 2 | | 3 1 cos | cos( , ) | | || | 6 6 2 l l l l l l = = = = , 所以 3 = ,应选(C). (4)【答案】(B) 【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关 (( ( ) )sin ) ( ( )cos ) x f x e y f x y y x − = − , 即 ( ( ) )cos ( )cos x f x e y f x y − = − , 化简得 ( ) ( ) x f x f x e + = , 即 2 ( ) x x e f x e = , 解之得 1 2 ( ) 2 x x e f x e C = + , 所以 1 2 ( ) ( ) 2 x x f x e e C − = + . 由 f (0) 0 = 得 1 2 C = − ,因此 1 ( ) ( ) 2 x x f x e e− = − ,故应选(B). 【相关知识点】曲线积分 L Pdx Qdy + 在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是 P Q y x = . (5)【答案】(C) 【解析】若 A 是 m n 矩阵, B 是 n s 矩阵, AB = 0,则 r A r B n ( ) ( ) + . 当 t = 6 时,矩阵的三行元素对应成比例, r Q( ) 1 = ,有 r P r Q ( ) ( ) 3 + ,知 r P( ) 2 , 所以, r P( ) 可能是 1,也有可能是 2,所以(A)、(B)都不准确； 当 t 6 时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例, r Q( ) 2 = ,于是从 r P r Q ( ) ( ) 3 + 得 r P( ) 1 ,又因 P 0,有 r P( ) 1 ,从而 r P( ) 1 = 必成立,所以应当选(C). 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.) (1)【解析】令 1 t x = ,则当 x → 时, t →0, 1 0 2 1 lim(sin cos ) lim(sin 2 cos ) x t x t t t → → x x + = + , 这是 1 型未定式
7跨考教育AKBornto win sin 21+cost1lim(sin2t+cost) =lim(1+sin2t+cost-1)sin2t+cost-1-→0而lim(1+sin2t+cost-1)sin2t+cost-i是两个重要极限之一，即lim(1+sin2t+cost-1)sin2r+cost-it-→0sin 2t+cost1lim sin 2t+cost-1所以lim(sin 2t +cost)i =lime=erT1→01→0sin2t+cost-2cos2t-sint而=2.lim洛lim10t2故lim(sin=+cosxxe--dx = 2[xdJe*-1= 2xye*-1-2[Je*-1dx(2）【解析】方法一lex-12tdt令yer-1=t,则r= ln(t? +1).dx =?+1J Ner-1idx=[r 21d =2[ - dt = 2[(1-所以)dit?+1{2+112 +1= 2t-2arctant+C= 2e--1-2arctan Ve*-1+C,xe-dx= 2xVer-1-2[Ver -1dx所以4=2xyer-1-4Ver-1+4arctan e*-1+C.2idte=P+1,x= In(P+1),dx=2方法二：令Ve-1=t,则t2 +1t=J℃+)nC+=2[ n(+1)dxer所以1+1°1ox-4= 2t In(t +1)-2[ td In(t? +1)= 2t In(t? +1)-4[di12+1dt的求解同方法一，所以xedx = 2t In(t? +1)- 4(t - arctan t)+C=2xyer-1-4Ve*-1+4arctanye*-1+C9
Born to win 9 1 1 sin 2 cos 1 sin 2 cos 1 0 0 lim(sin 2 cos ) lim(1 sin 2 cos 1) t t t t t t t t t t t t + − + − → → + = + + − , 而 1 sin 2 cos 1 0 lim(1 sin 2 cos 1) t t t t t + − → + + − 是两个重要极限之一,即 1 sin 2 cos 1 0 lim(1 sin 2 cos 1) t t t t t e + − → + + − = . 所以 0 1 sin 2 cos 1 sin 2 cos 1 lim 0 0 lim(sin 2 cos ) lim t t t t t t t t t t t t e e → + − + − → → + = = . 而 0 0 sin 2 cos 1 2cos 2 sin lim lim 2 t t 1 t t t t → → t + − − 洛 = , 故 2 1 2 lim(sin cos )x x e → x x + = . (2)【解析】方法一： 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x xe dx xd e x e e dx e = − = − − − − . 令 1 x e t − = ,则 2 2 2 ln( 1), 1 tdt x t dx t = + = + , 所以 2 2 2 2 2 1 1 2 2 (1 ) 1 1 1 x tdt t e dx t dt dt t t t − = = = − + + + 2 2arctan 2 1 2arctan 1 x x = − + = − − − + t t C e e C , 所以 2 1 2 1 1 x x x x xe dx x e e dx e = − − − − 2 1 4 1 4arctan 1 x x x = − − − + − + x e e e C . 方法二：令 1 x e t − = ,则 2 2 2 2 1, ln( 1), 1 x tdt e t x t dx t = + = + = + , 所以 2 2 2 2 ( 1)ln( 1) 2 2 ln( 1) 1 1 x x xe t t t dx dt t dt e t t + + = = + − + 2 2 2 2 2 2 ln( 1) 2 ln( 1) 2 ln( 1) 4 1 t t t td t t t dt t = + − + = + − + . 关于 2 2 1 t dt t + 的求解同方法一,所以 2 2 ln( 1) 4( arctan ) 1 x x xe dx t t t t C e = + − − + − 2 1 4 1 4arctan 1 x x x = − − − + − + x e e e C
7跨考教育区KUAKAOEDUCATIORBorntowin（3）【解析】解法一：所给方程为伯努利方程，两边除以y?得xy-2y'+xy-=1,即-x(-")+x-"=1.11令-=z，则方程化为-x2+xz=1,即=-x1() =-即x-r-2 +C.积分得X由=得！x2 +C,-xy22x即山1+2Cx212xC=代入初始条件y-=1,得，所以所求方程的特解是y21+x2解法二：所给方程可写成=()_二的形式,此方程为齐次方程。xx令=u,则y=xu,y=u+xu，所以方程可化为xdudxu+xu=u2-u，分离变量得u(u-2)x=In|x|+C,即"-2=Cx.积分得In2u24以之=u代入上式,得y-2x=Cxy.代入初始条件yl=1,得C=-1,x2x故特解为y=1+ x?四、（本题满分6分)【解析】将表成I=[[Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，则5OP , 00 ,OR = 22+2-22 =2 .axayaz又是封闭曲面，可直接用高斯公式计算记Z围成区域，见草图，Z取外侧，由高斯公式得PyapRdV= (l zdvayaaxC10
Born to win 10 (3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以 2 y 得 2 2 1 x y y xy 1 − − + = ,即 2 1 1 x y xy ( ) 1 − − − + = . 令 1 y z − = ,则方程化为 2 − + = x z xz 1,即 2 1 1 z z x x − = − , 即 3 1 ( ) z x x = − , 积分得 1 2 2 z x C x − = + . 由 1 y z − = 得 1 1 2 2 x C xy − = + , 即 2 2 1 2 x y Cx = + , 代入初始条件 1 | 1 x y = = ,得 1 2 C = ,所以所求方程的特解是 2 2 1 x y x = + . 解法二：所给方程可写成 2 ( ) y y y x x = − 的形式,此方程为齐次方程. 令 y u x = ,则 y xu y u xu = = + , ,所以方程可化为 2 u xu u u + = − ,分离变量得 ( 2) du dx u u x = − , 积分得 1 1 2 ln ln | | 2 u x C u − = + , 即 u 2 2 Cx u − = . 以 y u x = 代入上式,得 2 y x Cx y − = 2 .代入初始条件 1 | 1 x y = = ,得 C =−1, 故特解为 2 2 1 x y x = + . 四、(本题满分 6 分) 【解析】将 I 表成 I Pdydz Qdzdx Rdxdy = + + ,则 2 2 P Q R z z z z x y z + + = + − = . 又 是封闭曲面,可直接用高斯公式计算. 记 围成区域 ,见草图, 取外侧,由高斯公式得 P Q R I dV zdV x y z = + + =