考研数学历年真题：2008年考研数学一真题及解析.pdf_大学文库

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 • 第 1 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考答案和评分参考数学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.) （1）设函数 2 0 ( ) ln(2 ) x f x t dt    ，则 f x ( ) 的零点个数为（B）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）函数 ( , ) arctan x f x y y  在点（0，1）处的梯度等于（A）（A） i （B） i （C） j （D） j （3）在下列微分方程中，以 1 2 3 cos2 sin2 x y C e C x C x    （ 1 2 3 C C C , , 为任意常数）为通解的是（D）（A） y   y   4y   4y  0 . （B） y   y   4y   4y  0 （C） y   y   4y   4y  0 . （D） y   y   4y   4y  0 （4）设函数 f x( ) 在 ( , )   内单调有界， { }n x 为数列，下列命题正确的是（B）（A）若 { }n x 收敛，则 { ( )} n f x 收敛. (B) 若 { }n x 单调，则 { ( )} n f x 收敛. (C) 若 { ( )} n f x 收敛，则 { }n x 收敛. (D) 若 { ( )} n f x 单调，则 { }n x 收敛. （5）设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 0 3 A  ，则（C）（A） E A  不可逆， E A  不可逆. （B） E A  不可逆， E A  可逆. （C） E A  可逆， E A  可逆. （D） E A  可逆， E A  不可逆（6）设 A 为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程 ( , , ) 1 x x y z A y z            在正交变换下的标准方程的图形如图，则 A 的正特征值个数为（B）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （7）随机变量 X，Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，则 Z=max{X, Y}分布函数为（A）（A） ( ) 2 F x ；（B） F(x)F( y) ；（C） 2 1[1 F(x)] ；（D） [1 F(x)][1 F( y)] （8）随机变量 X N Y N ~ (0,1), ~ (1,4) ，且相关系数 1  XY  ，则（D）（A） P Y X { 2 1} 1     （B） P Y X { 2 1} 1    （C） P Y X { 2 1} 1     （D） P Y X { 2 1} 1   

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 • 第 3 页解法 2：取 L1 为 x 轴上从点  ,0 到点 0,0 的一段， D 是由 L 与 L1 围成的区域               1 1 sin 2 2 1 sin 2 2( 1) sin 2 2( 1) 2 2 2 L L L L xdx x ydy xdx x ydy xdx x ydy.2 分      0 4 sin2  xydxdy xdx D .5 分                 0 0 2 0 sin 0 0 cos2 2 sin (1 cos2 ) 2 1 dx 4xydy x x xdx x x dx x 2 sin 2 2 1 sin 2 2 2 2 0 0 0 2            x xdx x x .9 分 (17)（本题满分 11 分）已知曲线 2 2 2 2 0 : 3 5 x y z C x y z          ，求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近的点. 解：点 (x, y,z) 到 xOy 面的距离为 z ，故求 C 上距离 xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数 2 H  z 在条件 2 0 2 2 2 x  y  z  与 x  y  3z  5 下的最大值点和最小值点. .3 分令 ( , , , , ) ( 2 ) ( 3 5) 2 2 2 2 L x y z    z  x  y  z   x  y  z  .5 分由                          3 5 2 0 2 4 3 0 2 0 2 0 2 2 2 ' ' ' x y z x y z L z z L y L x z y x       .7 分得 x  y ，从而        2 3 5 2 2 0 2 2 x z x z ，解得           5 5 5 z y x 或         1 1 1 z y x .10 分根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为 (5,5,5) 和 (1,1,1) .11 分 (18)（本题满分 10 分）设 f x( ) 是连续函数， (I) 利用定义证明函数   x F x f t dt 0 ( ) ( ) 可导，且 F x f x ( ) ( )  ； (II) 当 f x( ) 是以 2 为周期的周期函数时，证明函数     2 0 0 G(x) 2 f (t)dt x f (t)dt x 也是以 2 为周期的周期函数

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 • 第 4 页 (I) 证：对任意的 x ，由于 f x( ) 是连续函数，所以 x f t d t x f t d t f t d t x F x x F x x x x x x x x x x                     ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 .2 分 lim ( ) ( ) lim 0 0   f x f x x x     （其中  介于 x 与 x  x 之间）由 lim ( ) ( ) 0 f f x x     ，可知函数 F(x) 在 x 处可导，且 ( ) ( ) ' F x  f x .5 分 (II) 证法 1：要证明 G(x) 以 2 为周期，即要证明对任意的 x ，都有 G(x  2)  G(x) ，记 H(x)  G(x  2)  G(x) ，则     2 2 2 0 0 0 0 ( ) 2 ( ) ( 2) ( ) 2 ( ) ( ) x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dt              2 ( 2) ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 0 2 0         f x f t dt f x f t dt .8分又因为 (0) (2) (0) 2 ( ) 2 ( ) 0 0 2 0 2 0               H G G f t dt f t dt 所以 H(x)  0 ，即 G(x  2)  G(x) .10 分证法 2：由于 f x( ) 是以 2 为周期的连续函数，所以对任意的 x ，有             2 0 0 0 2 0 ( 2) ( ) 2 ( ) ( 2) ( ) 2 ( ) ( ) x x x G x G x f t dt x f t dt f t dt x f t dt                      x x x x f t dt f t dt f t dt f t dt f u du f t dt 0 0 2 0 0 2 0 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 2) ( ) .8 分 2  ( 2) ( ) 0 0      x f t f t dt 即 G(x) 是以 2 为周期的周期函数. .10 分 (19)（本题满分 11 分）将函数 2 f (x) 1 x ，(0  x   ) 展开成余弦级数，并求级数 1 2 1 ( 1)n n n      的和. 解：由于         0 2 2 0 3 2 (1 ) 2 2 a x dx .2 分 ( 1) , 1,2, 4 (1 )cos 2 1 2 0 2        n n a x nxdx n n   .5 分所以 nx n a nx a f x n n n n cos ( 1) 4 3 cos 1 2 ( ) 1 2 2 1 1 0               ，0  x   ， .7 分令 x  0 ，有         1 2 2 1 ( 1) 4 3 (0) 1 n n n f  ，又 f (0)  1 ，所以 12 ( 1) 2 1 2 1        n n n .11 分

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 • 第 7 页 (Ⅲ) 解：当 a  0 时，方程组为 1 2 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 n n x x x x                                                   此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n 1 ，所以方程组有无穷多解，其通解为 0 1 0 0 1 0 0 0    T T x k     ,其中 k 为任意常数 .12 分 (22)（本题满分 11 分）设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 概率分布为 1 { } ( 1,0,1) 3 P X i i     ，Y 的概率密度为 1 0 1 ( ) 0 Y y f y       ，其它记 Z  X Y (I) 求 1 { 0} 2 P Z X   ； (II) 求 Z 的概率密度 f (z) z . 解：(I)                   0 2 1 0 2 1 P Z X P X Y X 2 1 2 1         P Y  .4 分 (II) FZ (z)  PZ  z  PX  Y  z  PX  Y  z, X  1 PX  Y  z, X  0 PX  Y  z, X  1  PY  z 1, X  1 PY  z, X  0 PY  z 1, X  1  PY  z 1PX  1 PY  zPX  0 PY  z 1PX  1   1    1 3 1  P Y  z   P Y  z  P Y  z   ( 1) ( ) ( 1) 3 1  FY z   FY z  FY z  .7 分   1 3 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z        .9 分        0,其他 , 1 2 3 1 z .11 分 (23)（本题满分 11 分）设 1 2 , , , X X X  n 是总体为 2 N( , )   的简单随机样本，记   n i Xi n X 1 1 ， 2 1 2 ( ) 1 1     n i Xi X n S ， 2 2 1 S n T  X  (I) 证明 T 是 2  的无偏估计量； (II) 当     0, 1 时，求 DT. (I) 证：因 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 ) 1 ( ES n ES EX DX n S EX n ET  E X       .4 分