2016考研数学一完整真题及答案解析（详解版)一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列悔小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1）若反常积分 。dx收敛，则（x(1+x)(A)a1 (B)a>且b>1 (C)a1(D)a>且a+b>1【答案】（C）【解析】x(1+x)ea+x(1+x)dx在（p1时收敛)，而此时1+！)不影响=[2(x-1),x<1, 则 (x) 的一个原逐微是 (（2）已知函数(x)=[lnx,x≥](4) F(x)=-[(x-1) x<1(B)F(g)=[(x-1)x<1[x(ln x-1),x≥1[x(ln x+1)-1,x≥1J(x-1)°,x<1(D)F(g)=[(x-1)°x<1(C) F(t)=)x(ln x+1)+1,x≥1x(lnx-1)+1,x≥1【答案】(D)
2016 考研数学一完整真题及答案解析（详解 版）
(x-1)°+Cx<1【解析】由已知可得，F()=，取C=0，故选Dx(Inx-1)+C+1 x≥1(3)若=(1+x)-1+x,=(1+x) + +x 是微分方程y+p(x)=g(x)的两个解，则g(x)=（）(4)3x(1+x) (B)-3(1+x) (C),+x (D)-1+x【答案】（A）【解析】J-2=-2-/1+x是一阶齐次微分方程j+p(x)y=0的解，代入得，根据解的性质得，是+p(x(-2/1+x)=0,所以 p(x)=-i+r2+p(x)y=f(x)的解。所以有q(x)=3x(1+x)x,x≤0(4)已知函数(x)=11二n=1,2.则（1<x≤(n n+1n（A）x=0是f(x)的第一类间断点（B）x=0是f（x）的第二类间断点（C）F（x）在×=0处连续但不可导（D）f(x）在x=0处可导【答案】（D)1【解析】由于F(0)=lim=±-01，f*(0)=limn-1故选D。1→0xmn（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（（A）A与BI相似（B）A与B-相似（C）A+A与B+B相似（D）A+A与B+B-相似
【答案】（C)【解析】此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵P.使得P-AP=B，则()(P-LAP)=BT=PA(PT)-=BT=AT~BT,故（A)不选;(2)(P-IAP)-=B-I=P-1A-"P=B-1=A-I~B-,故(B)不选;(3)P-(A+A-)P=P-IAP+PA"P=B+B-I=A+A-1~B+B-I,故(D)不选;此外，在（C）中，对于P-(A+A)P=P-AP+P-AP，若P-AP=B，则PIATPT)-1=BI，而P-IAP未必等于BI，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。（6)设二次型（）=x+++4+4x+4，则F（）=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）(D）柱面（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面【答案】（B）【解析】对于二次型（：）=++x+4+4+4x，其矩阵为122212A=221接下来由2E-A=0，可得其特征值为=5,==-1（一正两负）。故二次型的标准形为于=5--路，即f(.x.)场5--=2=号-号=1，其对应的曲面为双叶双曲面。2（12（12
(7）设随机变量X~(u,oYg>)，记p=PX≤u+，则（）（A）p随着μ的增加而增加（B）p随着α的增加而增加（D）p随着的增加而减少（C）P随着u的增加而减少【答案】（B[解析] P(X≤μ+)=P(-"≤0)O所以概率随着α的增大而增大。（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A.A,A，且三种结果发生的概率均为将2试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A发生的次数，Y表示2次试验中结果A发生的次数，则X与Y的相关系数为（111(C)(B) -(D)(A) 3232【答案】（A】【解析】X~B(2),Y~B(2. -EX-E --,Dx=DY--,2EXY =1-1- P(X -1,Y - 1) =939EXY-EXEY1所以px=2DXDY二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(tin(1+ tsin t)dt(9)m1-cosx1【答案】2xln(1+xsinx)1【解析】lim2x23(10)向量场A(xy,z)=(x+y+2)+xy+zk的旋度rotA=
【答案】(0,1y-1)[aRQapaRap=(0.1, J-1)【解析】由旋度公式得，rot(A）=Layaaaaay11、设函数f(uv)可微，z=z(x.J)有方程（x+I)z-=xf(x-z,y)确定，则d (o.1)=【答案】-dx+2dy【解析】（x+1)x-=xf(x-z.)两边分别关于x,J求导得z+(x+1)z =2xf(x-z.y)+xf'(x-z.)(1-z))，将x=0.y=1.z=1代入得，(x+)z-2y=x('(x-z.y)(-z))+f'(x-zy)d (o1)=dx+2dy(12)设函数f(x)=arctanx-1+，且(0)=1,则a=【答案】！21 +0(g)-x(1-ac +()-(a-)+0(g),又由于【解析】f(x)=x-f"(0)=1,1a=2
002-10-1-2（13）行列式0元-1132元+14【答案】元4+元+222+3元+4[解析1-100元0-1001200-1孔+4×(-1)4+22-10210-1=2++23+222+3元+40020元322+1-14322+1（14）设x,xx,为来自总体N（u.）的简单随机样本，样本均值x=9.5，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为【答案】（82.10.8）x-ua<u<x+o【解析】P(-uo.025uo.025)=0.95<1uns)= P(x-uls 元aVnTnao"025=10.8，所以%因为 x+=8.2u005=1.3,所以置信下限文-u0.05VnVnVn三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(r.0)2≤≤2(1+cos0),≤0≤)（15）（本题满分10分）已知平面区域D=2计算二重积分『[xdbxdy
【答案】5元+3231cos[2(+cos 0)2(1+cose)门【解析】xcbxdy=dercosedrde32f(3cos 0+3cos'0+cos0ke=sfi.cos'l0+8f.cos edo+.cos'ede38/cos20+1i.cosedsine1de+81-sindsine+831号2Te4sine)sin200+3sin*0cosede+8sin 0-+023一3-15A=4元+2-2 sm* 28003专=5元+323（16）（本题满分10分）设函数yx）满足方程+2y+hy=0.其中0<k<1(1)证明：反常积分（(a)dx收敛(m)若y(0)=1, y(0)=1,求(x)dx的值【答案】 (I)全【解析】（1）特征方程为r2+2r+k=0，由0<k<1可知，特征方程有两个不相同的特征根na--2+V-±--1±/1-K且na<0,2由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，y(x)=Ce+C,ex
()dx=J[Ge+C,eJa-I."Cedx+J C,ende-[m -]+[m "-]-由于r2<0。()--极限存在，故收效。nn(2) 由(x)=Ce +C,e*,(0)=1. (0)=1可知,C +C, =1Ciri+Cr=1 解得C,=C,=[i2=-1±v-k代入()=--可知()=knn(17) (本题满分 10分）设函数(,)满足=(2x+)e,且(0. )=+1,Lax是从点(0. 0)到点(,t)的光滑曲线，计算曲线积分()=+，并axay求I(t)的最小值【答案】3
【解析】(1) 由(x) - (2 x+1)e*-ox可知：于(x,y)-[[(2x+1)e2x-]dx=e-'[j2xe*"dx+ [e*dx]=e".xe?" +p(y)- xe2*- + o(y)又 f(0,y)=y+1 可知 0(y)=y+1因此f(x, y)=xe2- +y+1af(x, ) =-xer- +1ayI(t)=[ (2x+1)e2x- dx+(1 -xe2*-)ayQ=1-xe2x-yP=(2x+1)e2x-y=-(2x+1)e*-yQ - -e2*-} -2 xe*-yayaxaP_因此，积分与路径无关ayaxI(t) =[. (2x+1)e2- dx+(1 -xe2-)dy=I(2x+1)e"d+I'a-e2-)=e +t+e-t-e?
=t+e2-r(2) I(t) =t+e2-rI'(t) =1-e2-tI'(t)= 0可知t=2有唯一驻点I(t)=e2-tI'(2)=1 >0因此t=2时I(t)有最小值1(2)=2 +e3-2=2+1=3（18）设有界区域Q由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为Q整个表面的外侧，计算曲面积分1=[(x2+1)bydz-2ydzdx+3zdxdy1【答案】2【解析】1=[[(x+dydz-2ydzdx+3zdxdy工P=x2+1Q=-2y.R=3z由高斯公式可知，1- [(2x-2+3)dxdydz= J (2x+1)dbxcbydz= I[ do *(2x+1) dz