2016考研数学三真题及超详细答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列悔小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上，（1）设函数y=f(a)在（-0.+oo)内连续，其导数如图所示，则（）（A）函数有2个极值点，曲线J=（x）有2个拐点（B）函数有2个极值点，曲线J=f（x）有3个拐点（C）函数有3个极值点，曲线J=（α）有1个拐点（D）函数有3个极值点，曲线=F（x）有2个拐点【答案】（B）【解析】【解析】由图像易知选Ber2、已知函数于(x,J)=-，则x-J(A)fx-f=0（B)f+=0o(C)fx-f=ff(D)F+=J【答案】（D）ex【解析】 =e(x-y-]f(-，所以*+=(x-y)
2016 考研数学三真题及超详细答案解析
(3)设T=[3/x-ydxdy(i=1,2,3)，其中D=((x,J)0≤x≤1,0≤y≤1) DD, =(x. )|0 ≤x≤1.0≤y≤/).D, =(x.j)l0≤x≤1 x≤y≤1), 则(A) T<T<T(B) T<T<T(C) T<T<T(D)I<T<T【答案】B【解析】由积分区域的性质易知选B3(11（4）级数为Zsin(n+k)，（K为常数）Vn+l台vn（A）绝对收敛（B）条件收敛(C)发散（D）收敛性与K有关【答案】A【解析】由题目可得，SVn+i-unsin(n+k)+)sin(n +k) =)Wsin(n+k)=nvn+l台~nn+1(n+i+vn)1sin(n+k)1因为，由正项级数的比较判Vnvn+i(n+i+vn)Vnyn+i(vn+i+yn)nn别法得，该级数绝对收敛
（5）设A,B是可矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）A与BI相似（B）A与B-相似（C）A+A与B+BI相似（D）A+A与B+B-相似【答案】（C)【解析】此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵P.使得P-AP=B，则()(P-IAP)=BT=PTA(P)-"=BT=AT~B,故（A)不选;(2)(P-AP)-I=B-=P-A"P=B-=A-~B-,故（B)不选；(3)P-(A+A)P=P-AP+P"A'P=B+B-=A+A-I~B+B-故（D)不选；此外，在（C）中，对于P-(A+A)P=P-AP+P-AP，若P-AP-B，则PA(PT）-I=B，而P-AP未必等于B，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。（6）设二次型（）=（++）+2+2x+2的正负惯性指数分别为12，则（）(A) a>1(B) a<-2(C) -2<a<1(D)α=1或α=-2【答案】（C)
【解析】考虑特殊值法，当a=0时，（）=2X+2+2(011)其矩阵为10由此计算出特征值为2.-1-1，满足题目已知条件，故α=0成立，110因此（C）为正确选项。7、设A,B为随机事件，0<P(A)<1,0<P(B)<1,若P(AB)=1则下面正确的是（(A) P(B7)=1(B) P(AB)=0(C) P(A+B)=1(D) P(BA) =1【答案】（A)【解析】根据条件得P(AB)=P(B）P(AB)P(A+B)2 _ 1-P(A+B) =1P(BA) =P(A)1-P(A)1- P(A)8、设随机变量X,Y独立，且X~N(1,2),Y~(1,4)，则D(XY)为(A) 6(B) 8(c) 14(D) 15【答案】 (C)【解析】因为X,Y独立
则D(XY)=E(XY)?-(EXY)"=EXEY?-(EXEY)DX+(EX)TDY+(EY)-(EXEY)=14二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上yi+f(x)sin2x-1=2，则limf(x)=(9）已知函数于（）满足limex-1【答案】61,f(x)sin2x/1+f(α)sin2x-2f(x)xf(x)=2【解析】因为lim=limo=limlimex-13x3.x3所以lim f(x)=61712(10)极限lim+2sinsintusin元nnny【答案】sin-cosl【解析】1r12n151s1lim-xsinxdx=sinl-coslsin=+2sin=lim-+nsin-sin---x-0n20n台nnnn(11)设函数f(u)可微，z=z(x.J)有方程(x+1)z-yz=xf(x-z.y)确定，则dz【答案】dz 0.1)=-dx+2dy
【解析】（x+I)x-y=xf(x-z.)两边分别关于x,求导得z+(x +1)z=2xf(x-z.J)+xfi(x-z.y)(1-z)，将x=0.=1,z=1代入得，(x+1)z,-2y=x(fi'(x-z.J)(-z))+f(x-z.y))dz l(01) =-dx+2dy(12)[元-10000元-1（13）行列式0TO-432元+1【答案】++2+3元+4【解析】12-100002-1-100-1-2o元+4×(-1)++1-102*+2+223+31+42-11021-322+102-1322+1414、设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率为2【答案】9x2.cl1_2【解析】 P(A)=C333393
三、解答题：15一23小题，共94分·请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤15（本题满分10分）求极限lim（cos2x+2xsinx）【解析】lim(cos2x+2xsinx)co62x+2xsinx-1x4=limex-→0422x24-1+(24x=limex-0I=e316、（本题满分10分）设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数Q=Q(p），需求弹性(n>0)，p为单价（万元）n=120-p(1)求需求函数的表达式(2)求p=100万元时的边际收益，并说明其经济意义。【解析】（1）由弹性的计算公式得pdo可知卫--pn=odp120-pQdpdodp分离变量可知p-1209两边同时积分可得lnQ=ln(p-120)+C
解得Q=C(p-120)由最大需求量为1200可知Q(0)=1200，解得C=-10故Q=-10(p-120)=1200-10p（2）收益R=Op=(1200-10P)PdRdRdp边际收益：=(1200-20p)(-10)=200p-12000dodpdo已知R=8000dglp-100经济学意义是需求量每提高1件，收益增加8000万元（17）（本题满分10分）设函数(g)=[-xt (x>0),求F ()，并求 (g)的最小值。【解析当-1<1时，()=-+(-=-+当≥1时，()=[(2-)t=x2-1
1x≤-1Y34元-x+!-11由导数的定义可知，于(-1)=-2.J(0)=0.F(1)=2[2xx≤-1-4x2-2x-10, xE (1,+00)可知()的最小值为 T()=2。（18）（本题满分10分)设函数于(x)连续,且满足[(x-t)dt=(x-t)F()dt+e--1,求(g)[解析1令u=x-t, 则f(x-t)it=[(u)-du)=(u)du
代入方程可得I f(u)du =xf, f(t)ut- f"()at+e*-1两边同时求导可得(g)=f (0)dt-e-x(1)由于()连续，可知()at可导，从而(g)也可导。故对上式两边再求导可得F (x)= f(x)+ e-在(1)式两边令x=0可得f(0)=-1解此微分方程可得e+S(g)=-2+202（19）（本题满分10分）求幕级数之的收敛域和和函数。二(n+1)(2n+1)