数学教育学系列理论丛书数学思维方法邓鹤年王玉启王光吉编著张维升王秋海宫子吉审校吉林大学出版社
前言-数学思想方法是数学教育学系列理论中一门主要课程。它主要是从思维科学的层次研究中学数学的一般方法，属于科学方法论。一名合格的出学数学教师，不仅要掌握必备的数学专业知识，配且还应知晓存在于这些知识之冲的数学思维方法，了解其一般特征和规律，掌握具体思维方法的形式和使用步骤，不仅要从理论上通晓效学思维方法，而且还要会应用于数学教学的实践。作为中学数学教师，仅满足于将专业知识准确无误地传授给学生，这在当今“知识爆炸”的时代是远远不够的，还必须对中学生进行各种能力和技巧的培养，尤其是进行数学思维方法的训练。为达到这一日的，适应形势的要求，探讨和孤究中学数学思维方法，我们编著了这本小册子，作为高师院校学生开设本课的教材。可以预见，在不远的将来，数学思维方法与效学方法论，将在高师数学系的课程表上占有量要地位。在写作过程中，我们曾参阅大量义章，书末列出的只是主要参考书目，闪篇幅关系未能全部列出，不敢掠人之美，在此一并向有关作者致意。作为数学思维方法，本书未能全部包罗，未能形成体系；而且所论八章也分属几个层次，并有相互交叉，渗透之处。鉴于作者水平，本书一定还存在不足之处，愿请读者指正。1
目录第一章数学思维1第二章化归法16第三章60归纳法第四章演绎法86100第五章分析法和综合法4122第六章数学模型方法第七章140公理化方法·第八章培养数学家的摇篮161数学发明创造的基本方法
，第一章数学思维一、思维与数学思数当前，在数学教学中十分重视发展学生思维，培养思维能力的工作。从我国教育培养目标出发，发展思维、培养思维能力被视为是提高民族素质，出好人才的基础工作，它已成为数学教学研究活动中的核心问题，对思维问题的研究也为数学教学改革提供了科学的依据。数学思维从属于一般的人类思维。思维是什么？思维的本质及规律可以被揭示吗？这样一些问题在目前还于研究不够充分，论证得不够明确，甚至存在着不少争论的问题。但是，大量事实说明思维是可以研究的，思维已成为多种学科的研究对象。我们将从简述人类的一般思维开始，就数学思维，数学思维方法等问题概述如下：1思维是什么？思维是一种心理现象，所谓心理现象就是人脑对客观现实的能动的反映，所以思想是一种反映，是人脑对客观现实这种能动反映的高级形式。具体地对思维是什么可以给出一种描述性的定义：恩维是人脑对客观事物的本质和规律性关系的概括与间接的反映。为了更深刻地理解思维，我们再作一些具体的分析。（1）思维属于认识过程。认识过程是十分丰富的，它1
包括感觉、知觉、表象、记忆、思维和想象等。在认识论中一般把人的认识过程分为感性认识阶段，诸如感觉、知觉、表象等，通过这些入们仅能获得事物的表面认识，思维则是在感性认识的基础上，通过分析和综合以及派生的抽象、概括、比较、分类，具体化和系统化过程等等，正是这些恩想活动完全的反映了整个事物，反映了事物的本质，反映了事物的内部规律性。所以思维是在感性认识的基础上选行的理性认识，属于认识过程的高级阶段。（2）人类的活动实践毁是思维的基础，人的感性认识特别是表象是对客观世界的直接感知过渡到抽象思维的一个中间环节，词和语言是思维活动的工具。房以思维是在人的实践活动中，在感性认识的基础上，借助下词，语言为工具，以知识经验为中介而实现的。2.思维的特征思维作为一种心理现象具有区别其他心理现象的一些特性和表现。我们要研究思维则必须掌爆其特征。（1）思维的概括性概括性是想维活动最显者的特征。人们之所以能揭示孕物的本质，发现事物内在的规律性，主要是通过抽象和概括。概括性是研究思维活动的重要指标，概括水平是衡量青少年思维发展的等级标志因此也成为培养思维能力的一个重要方面。（2）思维的间接性间接性是思维活动的另一重要特征。人们之所以能对没有直接作用于感觉器官的事物及其属性加以反映思维可以2
对根本不能接感妞的事物作出质哦思维之所以对在现实的基础上已认识到的事物进行蔓我的无正境的扩履，主娶是思维凭借已有的知识经验对客观物进行间接的反映。思维对事物所具有的间接性友映，关键在人们已获得的知识与经验的作用。正因为如此培养思维能力，必然要尽视愿维主体的知识经验半富程度及知识结构等。（3）思维的目的性和问题性有目的地认识，理解和解决问题是人类思维独有的本领。目的性是人类思维的根本特征。思维产生于主体面前所出现的新目的，新任务，新的活动要求和条件，想维也总指向解决某个任，思维的形式概念、判断，推理等即是解决问题的材料，又是解决问题的结果。正因为如此，我们在教学自的中突出强调解决问题、都接近于“发晟思维”的意义。思维的问题性表现在如下两个方面。一一是表现在解决问题过程的思维活动上：发现问题→明确问题→提出假设，找出并确定解决问题方案→检验假设。二是表现在对问题或任务的理解上。所谓理解就是能认识或揭露事物的本质和其他事物的关系，或者可以这样解释对问题或任务的理解：理解就是把新的知识经验纳入已有知识结构。在日常实践中，对问题的理解包含是多方面的，诸如理解事物的因采性，理解事物的内容，形式，结构等，但最主要的有二点：第一是理解事物的因果关系，第二是透过现象理解本质。（4）思维的逻辑性3
研究思维问题，我们通常说到的人类的一般思维是指逻辑思维，即理性维。这是人类与动物有本质区别的一种表现。我们所说的思维具有逻辑性，是指理性思维过程具有一定的形式，方法，按一定规则进行。感知、表象这些是感性材料，其中特别是表象是由感性t认识向理性过渡的中介，仅仅是思维的基础，而概念、判断、推理这些是理性材料，“凭借这些进行思维活动，这个由概念构成判断进行推理的阶段即理性认识阶段，所以概念，判断，推理就是思维的形式，但是如何形成概念、判断，推理呢？这里有一个方法问题，同时，思维活动要遵循一定的规律或法则，思维发展本身可以分成两个阶段：一一个阶段是普通逻辑阶段，另一个是辩证逻辑思维阶段，它们都有必须遵守的思维规则。3、思维的分类患维活动是一种复杂的心理现象，所以思维具有多样性，多种形态。（1）根据思维的抽象程度分类思维作为一种理性认识过程，根据认识过程的抽象程度”可分为直观动作思维，具体形象想维、抽象逻辑思维。这三种思维的基本形态即有质的区别，又有内在联系。无论从人的种系和个体上看思维的发生、发展过程，一般都要经历直观动作思维→具体形象思维→抽象逻辑思维，但在其整体上这种发展顺序又不是绝对化，对于一个思维成熟者，每一一种思维都有可能得到高度发展，各类思维之间文能相互渗透，所以不能绝对的，简单地把它们分成优劣高低。每种思维都有4自己的特征表现：?A美
直观动作思维：是指直接与物质活动相联系的思维。在种系上人类最初的思维就是这种思维，在个体上，最初的思维也是这种思维。一般的说娶儿是以直观动作思维为主的。具体形象思维：是指以具体表象为材料的思维，虽然在主体上也保持着思维与实际动作的联系，但已经不那么接了，它可以脱离面前的直接刺激物和动作，借助于表象进行思维了。它的进一步发展，一是通过对表象进行抽象概括逐渐形成逻辑思维，一是通过逻辑成分的渗透发展为一般的形象思维（一般又称形象逻辑思维）。一般地，幼儿期和学令期是以具体的形象思维为主的。抽象逻辑思维：是指在感性认识的基础上，以概念、推理和判断等形式表现出的思维形态。这是人类思维的核心形态，又称理性思维。抽象思维的形式有形式逻辑与辩证逻辑之分，两者即有区别又有联系，它们是相辅相成的。形式逻辑的概念具有抽象性和确定性，辩证逻辑的概念具有具体性和灵活性，形式逻辑反对自相矛盾，辩证逻辑强调事物内在矛盾，这些正是事物具有相对稳定性与事物具有辩证关系的反映，辩证逻辑是思维发展的高级阶段，它是在形式逻辑基础上形成的。一般的说青年初期抽象逻辑思维已占相对优势，所谓相对优势包含两层含义：一是思维结构中，具体形象思维和抽象逻辑思维并存，二是说明这个时期逻辑思维尚不成熟。（2）根据思维的智力品质分类按着思维的智力品质可将思维分为：再现性思维和创造性思维。再现性思维：即一般地思维活动，表现在认识活动中属5
于整理性思维。·创造性思维：它具有一般性思维的特点，但义不同于般思维活动。创造性思继紧紧地联系着创造性活动，创造性思维發在现有材料的基础上进行想象，是思想与想象的有机统一，创造性思维是逻辑思维与直觉思维的统一（3）从思维角度，逻辑规则、.评价标准、结果等维度上分类。思维过程是一个很复杂的心理现象，有感性过程，也有非感性过程，有正向过程，也有逆向过程，但我们大你上可以从思维的角度，逻辑规则、评价标准、思维结果等维度上分为单维型思维、多维型思维。单维型思维：是指只追求一个恩维角度，一种逻辑规则、一个标准、一个结果的思维形态。直线思维即匾单维型思维。这种思继由于只追求从一个起点，一个思维指向、一个思维角度认识半富的，呈立体结构的事物，时常表现出片面性，单维型思维易造成思路函定思域狭窄的封闭性，在复杂事物面前，往往圖于原有逻辑线索、评价标准，排斥多角度看问题，易形成保守性。多维型思维：是指在思维过程串，由多个思维起点、多个逻辑规则、多个评价标准、多个思维结果而组成的两个或两个以上的逻辑线索的思维形态。它的主娶恩维特征：具有多个思维指向，具有多个逻辑规则，具有多个评价标准，具有多个思维结果，多维型思维本质上是网络思维。多维型思维是培养创造性思维的重要方面。多维型的维形态很多，发散思维，逆向思维，辐射思维等均属此类。4、数学思维·1A囍大
以上我们对什么是思维作了概述，现在要说明什么是数学思维？数学思维从属于一般的人类思维，它服从思维的一般规律，即把思维科学中的范畴应用于数学认识活动之中。但是，由于数学本身的特点，又决定着它应有自已不同于一般思维的特点。数学思维应是人脑认识数学对象（形、数量）的认识过程。（1）数学思维是什么？我们珂以这样定义数学思维：数学思维是人脑和数学对（形、数等）交万作用，以抽象概括等方法，并借助于数学符号和语言，对客观事物的数学结构和数学模型的间接概插的反映。更具体地说，数学思维是以数学概念为思维细胞、通过数学判断，数学推理等思维形式认识数学对象，揭示数学结构和关系的。（2）数学思维素质数学思维的索质是指衡量想维质量的因素。数学思维与共质有关，一般想维素质指：灵活性、深刻性，概括性。独立性，自的性、批判性等，数学思维的素质则更强调思维的灵活性、深刻性、概括性、论证性、条理性、简明性等。（1"）灵活性数学思维的灵活性又可称思维多向性，就是能从不同的角去思考问题，即思前因、又思后果，护大思路，有所突破。它是恩维在具有一定广度和一定主动性基础上产生的一种思维素质。具体的表现在能自如的从一种心理运算转换到刃一种性质不同的心理运算土，表现在解法的多样化主表现在能轻易的重建一定的悉几我生。慈之，警宇运用类*