2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）s小,若×0：其导函数在x-0处连续，则2 的取值范围是cOS(1) 设f(x)=x若x=0,0.（2）已知曲线y=x3=3α2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=[a,若0≤x≤],而D表示全平面，则/=[[f(x)g(y-x)dxdy=(3) 设a>0, f(x)= g(x)=[0,其他,I（4）设n维向量α=(a,0,.,0,a)a<0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-αα', B=E+-aaa其中A的逆矩阵为B，则a=（5）设随机变量×和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4，则Y与z的相关系数为（6）设总体x服从参数为2的指数分布，XX.X为来自总体X的简单随机样本，则当n→o0时，Y,=之x依概率收效于n=二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1） 设 (℃)为不恒等于零的奇函数，且,F(0) 存在，则函数g()= ()x(A)在x=0处左极限不存在(B）有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D）有可去间断点x=0.1（2）设可微函数f(x,y)在点(xo,yo）取得极小值，则下列结论正确的是(A）f(xo,J)在y=y处的导数等于零：（B）f(xo,J)在y=y处的导数大于零(C)f(xo,J)在y=yo处的导数小于零．(D）f(xo,y)在y=y处的导数不存在1[(3) 设p,=a, +a/_ a, -la,ln=1,2…，则下列命题正确的是a.22
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 0, 0, 0, , 1 cos ( ) = = x x x x f x 若 若 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_. （2）已知曲线 与 x 轴相切，则 可以通过 a 表示为 _. （3）设 a>0， 而 D 表示全平面，则 =_. （4）设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_. （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 ，则 Y 与 Z 的相关系数为_. （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 时， 依概率收敛于_. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 存在，则函数 (A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. [ ] （2）设可微函数 f(x,y)在点 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) 在 处的导数等于零. （B） 在 处的导数大于零. (C) 在 处的导数小于零. (D) 在 处的导数不存在. [ ] （3）设 ， ， ，则下列命题正确的是 y = x − a x + b 3 2 3 2 b = 2 b ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( ) = = = − D I f (x)g( y x)dxdy = (a,0, ,0,a) ,a 0 T T A = E − T a B E 1 = + Z = X − 0.4 X X Xn , , , 1 2 n → = = n i n Xi n Y 1 1 2 f (0) x f x g x ( ) ( ) = ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y 2 n n n a a p + = 2 n n n a a q − = n = 1,2,
则入(A)若条件收敛，都收敛>a.P9nn=ln=ln=l则≥p.与≥4.都收敛.(B）若a,绝对收敛，=Ral=(C）若a条件收敛，，则言分。与24. 收性部不是。=n=l则p与q，敛散性都不定-(D）若a，绝对收敛，贝[1n=1n=1n=1[abb]（4）设三阶矩阵A=bab若A的伴随矩阵的秩为1，则必有bba(A)a=b或a+2b=0.(B）a=b或a+2b0(C) ab且 a+2b=0.(D）ab且a+2b±0.[1（s）设α,αz"",α，均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数k,kz",，都有kα+αz++k,α，0，则α,α2,"α线性无关，(B)若αi,αz,"",α，线性相关，则对于任意一组不全为零的数k,kz,",k，，都有k,α,+k,α,+...+k,α,=o(C)α1,α2，"",α，线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D）α,α2，α，线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关11(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A,={掷第一次出现正面)，A,={掷第二次出现正面)，A,={正、反面各出现一次，Af={正面出现两次，则事件(A）A,A2,A,相互独立(B）A2,A3,A相互独立.(C）AA2,A,两两独立.(D）A,A,A两两独立.[1三、（本题满分8分）设111f(x)=,1XEI元(1-x)Xsinx试补充定义 f(1)使得 f(x)在[1]上连续
(A) 若 条件收敛，则 与 都收敛. (B) 若 绝对收敛，则 与 都收敛. (C) 若 条件收敛，则 与 敛散性都不定. (D) 若 绝对收敛，则 与 敛散性都不定. [ ] （4）设三阶矩阵 ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 (A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b 0. (C) a b 且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. [ ] （5）设 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，则 线性无关. (B) 若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ， 都 有 (C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、 反面各出现一次}， ={正面出现两次}，则事件 (A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、（本题满分 8 分） 设 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 上连续. n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 pn n=1 n q = b b a b a b a b b A s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 k11 + k2 2 ++ ks s 0 s , , , 1 2 s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 0. k11 + k2 2 ++ ks s = s , , , 1 2 s , , , 1 2 A1 A2 A3 A4 1 2 3 A , A , A 2 3 4 A , A , A 1 2 3 A , A , A 2 3 4 A , A , A ,1). 2 1 , [ (1 ) 1 sin 1 1 ( ) − = + − x x x x f x ,1] 2 1 [
四、（本题满分8分） t()具有二阶连续偏导数，且满足+%=1 , 又g(1,)=[,(x2 -y2)) ,求Ou?Ov21a'g.o"gax?+ ay?五、（本题满分8分）计算二重积分I= [e-(+-m) sin(x + y’)dxdy.D其中积分区域D=((x,J)x2+≤元)六、（本题满分9分）求幂级数1+(-1)"-(x0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12(1)求a,b的值；(2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵
四 、（本题满分 8 分） 设 f(u,v) 具有二阶连续偏导数，且满足 ， 又 ,求 五、（本题满分 8 分） 计算二重积分 其中积分区域 D= 六、（本题满分 9 分） 求幂级数 的和函数 f(x)及其极值. 七、（本题满分 9 分） 设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 内满足以下条件： ， ，且 f(0)=0, (1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式. 八、（本题满分 8 分） 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使 九、（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组 其中 试讨论 和 b 满足何种关系时， (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分 13 分） 设二次型 ， 中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值； (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 1 2 2 2 2 = + v f u f ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y . 2 2 2 2 y g x g + sin( ) . ( ) 2 2 2 2 I e x y dxdy D x y = + − + − {( , ) }. 2 2 x y x + y = + − 1 2 ( 1) 2 1 ( 1) n n n x n x (−,+) f (x) = g(x) g (x) = f (x) ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e (0,3) f ( ) = 0. + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 n n n n n n n n a x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x 0. 1 = n i ai a a an , , , 1 2 ( , , ) 2 2 2 ( 0) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 x2 x3 = X AX = ax1 + x − x + bx x b T
十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为1,若xe[1,8],f(x)=3/x2其他；10,F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为2X~(0.30.7)而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）1若x+0x"cos-其导函数在x=0处连续，则元的取值范围是入>2(1) 设f(x)=x若x=0,0,【分析】当x0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当元>1时，有11,若x+0,Arisin-cosf(x):Xx若x=0,0显然当入>2时，有limfx）=0=(0)，即其导函数在x=0处连续（2）已知曲线y=x3-3ax+b与x轴相切，则b?可以通过a表示为b2=4a【分析】曲线在切点的斜率为0，即v'=0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b?与a的关系【详解】由题设，在切点处有y=3x2-3a2=0,有=α2又在此点y坐标为0，于是有0=x-3ax。+b=0,故b2=x(3a2-x)2=α2.4a*=4a【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程[a,若0≤x≤1,而D表示全平面，则=J[f(x)g(y-x)dxdy=a2(3) 设 a>0, f(x)=g(x)=[0，其他，D【分析】本题积分区域为全平面，但只有当0≤x≤10≤y-x≤1时，被积函数才不为零，因此实际
十一、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数. 十二、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 ， 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 2003 年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 0, 0, 0, , 1 cos ( ) = = x x x x f x 若 若 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是 . 【分析】 当 0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导. 【详解】 当 时，有 显然当 时，有 ，即其导函数在 x=0 处连续. （2）已知曲线 与 x 轴相切，则 可以通过 a 表示为 . 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处 纵坐标为零，即可找到 与 a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 ，有 又在此点 y 坐标为 0，于是有 , 故 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设 a>0， 而 D 表示全平面，则 = . 【分析】本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才不为零，因此实际 ; [1,8], 0, , 3 1 ( ) 3 2 其他 若 = x x f x 0.3 0.7 1 2 X ~ 2 x 1 0, 0, 0, , 1 sin 1 cos ( ) 1 2 = + = − − x x x x x x f x 若 若 2 lim ( ) 0 (0) 0 f x f x = = → y = x − a x + b 3 2 3 2 b = 2 b 6 4a y = 0 2 b 3 3 0 2 2 y = x − a = . 2 2 x0 = a 0 3 0 0 3 2 = x0 − a x + b = (3 ) 4 4 . 2 2 2 4 6 0 2 2 0 2 b = x a − x = a a = a ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( ) = = = − D I f (x)g( y x)dxdy 2 a 0 x 1,0 y − x 1
上只需在满足此不等式的区域内积分即可【详解】 = [[f(x)g(y-x)dxdy=I[a? dxdyD0≤x≤1,0≤yxs1a? 'dx"" dy = a '[(x+1)-x]dx = a?【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n维向量α=(a,0,.,0,a),a<0：E为n阶单位矩阵，矩阵1aoTA=E-ααT,B-E+-a-1其中A的逆矩阵为B，则a=【分析】这里αα为n阶矩阵，而αα=2a?为数，直接通过AB=E进行计算并注意利用乘法的结合律即可，由题设，有【详解】1-αα)AB =(E-αα)(E+d=E-αα'+!-αq1-aαT.αa0a11=E-ααT+--aaα(αα)αaa1=E-ααT+-aaT-2aaa1-)ααT=E,=E+(-1-2a+a112a+a-1=0，解得a-1-2g+=0，即于是有,α=-1、由于A<0,故a=-1a（5）设随机变量×和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为0.9【分析】利用相关系数的计算公式即可.【详解】因为cov(Y,Z)= cov(Y,X -0.4)= E[(Y(X -0.4))-E(Y)E(X -0.4)=E(XY)-0.4E(Y)-E(Y)E(X)+0.4E(Y)=E(XY) - E(X)E(Y)=COV(X,Y),且DZ=DX.cov(Y,Z)cov(X,Y)Pxx=0.9于是有Cov(Y,Z)=JDYDZDXDY【评注】注意以下运算公式：D(X+a)=DX，cov(X,Y+a)=cov(X,Y)（6）设总体×服从参数为2的指数分布，XX2X，为来自总体×的简单随机样本，则当n→o011"ZX?依概率收敛于时，Y=2n=l【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X，X2，""X，，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：
上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】 = = 【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的 区域的公共部分上积分即可. （4）设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 . 【分析】 这里 为 n 阶矩阵，而 为数，直接通过 进行计算并注意利用乘法的 结合律即可. 【详解】 由题设，有 = = = = , 于是有 ，即 ，解得 由于 A<0 ,故 a=-1. （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 0.9 . 【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为 = =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且 于是有 cov(Y,Z)= = 【评注】 注意以下运算公式： ， （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 时， 依概率收敛于 . 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 ，当方 差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： = − D I f (x)g( y x)dxdy a dxdy x y x 0 1,0 − 1 2 [( 1) ] . 2 1 0 2 1 0 1 2 a dx dy a x x dx a x x = + − = + = (a,0, ,0,a) ,a 0 T T A = E − T a B E 1 = + T 2 2a T = AB = E ) 1 ( )( T T a AB = E − E + T T T T a a E − + − 1 1 T T T T a a E ( ) 1 1 − + − T T T a a E 2 1 − + − E a E a T + − − + ) = 1 ( 1 2 0 1 −1− 2 + = a a 2 1 0 2 a + a − = , 1. 2 1 a = a = − Z = X − 0.4 cov(Y,Z) = cov(Y, X −0.4) = E[(Y(X −0.4)]− E(Y)E(X −0.4) E(XY) − 0.4E(Y) − E(Y)E(X) + 0.4E(Y) DZ = DX. DY DZ cov(Y,Z) 0.9. cov( , ) = XY = DX DY X Y D(X + a) = DX cov( X,Y + a) = cov( X,Y). X X Xn , , , 1 2 n → = = n i n Xi n Y 1 1 2 2 1 X X Xn , , , 1 2
17X,-EX,(n → 0)n=l1)2这里X,X3,,X满足大数定律的条件，且EX?=DX,+(EX)-1+(专因【详解】+(-)4此根据大数定律有,=?依概率收敛于EX=2n台n台二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1）设()为不恒等于零的奇函数，且,(0)存在，则函数g(1)=(a)+(A）在x=0处左极限不存在(B）有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D）有可去间断点x=0.[D]【分析】由题设，可推出f(0)=0，再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.F(x) = lim ()-_()=F(0)存在，故x=0为可去间断点.lim g(x) = lim 于是有！0Xx→(x-0[评注 1 本题也可用反例排除, 例如()-x, 则此时 g(1=-ILx0 可排除()(B)(C) 三项, 故[0,x=0,X应选(D).[评注 2) 若()在x=x。处连续， 则lim ) =A (x)=0. (co)= 4. 0-X（2）设可微函数f(x,y)在点(xo,yo）取得极小值，则下列结论正确的是(A）f(xo,y)在y=y。处的导数等于零.（B）f(xo,)在y=y。处的导数大于零(C）f(xo,y)在y=y处的导数小于零．(D）f(xo,J)在y=y处的导数不存在【A]【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论【详解】可微函数f(x,y)在点（xo,y)取得极小值，根据取极值的必要条件知f(xo,y）=0，即f(xo,y)在y=y.处的导数等于零，故应选(A)【评注1】本题考查了偏导数的定义，f(xo,J)在y=y。处的导数即f(xo,yo）；而f(x,y）在x=xo处的导数即f(xoy)【评注2】本题也可用排除法分析，取f(xJ)=x2+J2，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有
【详解】 这里 满足大数定律的条件，且 = ，因 此根据大数定律有 依概率收敛于 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 存在，则函数 (A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出 f(0)=0 , 再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 存在，故 x=0 为可去间断点. 【评注 1】 本题也可用反例排除，例如 f(x)=x, 则此时 g(x)= 可排除(A),(B),(C) 三项，故 应选(D). 【评注 2】 若 f(x)在 处连续，则 . （2）设可微函数 f(x,y)在点 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) 在 处的导数等于零. （B） 在 处的导数大于零. (C) 在 处的导数小于零. (D) 在 处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论. 【详解】 可微函数 f(x,y)在点 取得极小值，根据取极值的必要条件知 ，即 在 处的导数等于零, 故应选(A). 【评注 1】本题考查了偏导数的定义， 在 处的导数即 ；而 在 处的导数即 【评注 2】 本题也可用排除法分析，取 ，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有 ( ). 1 1 1 1 → → = = EX n n X n n i i n p i i 2 2 2 2 1 , , , X X Xn 2 2 ( ) EXi = DXi + EXi 2 1 ) 2 1 ( 4 1 2 + = = = n i n Xi n Y 1 1 2 . 2 1 1 1 2 = = n i EXi n f (0) x f x g x ( ) ( ) = (0) 0 ( ) (0) lim ( ) lim ( ) lim 0 0 0 f x f x f x f x g x x x x = − − = = → → → 0, 0, 0, 1, = = x x x x 0 x = x ( ) 0, ( ) . ( ) lim 0 0 0 0 A f x f x A x x f x x x = = = → − ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 0 x y f y (x0 , y0 ) = 0 ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 f x y 0 y = y ( , ) 0 0 f x y y ( , ) 0 f x y 0 x = x ( , ). 0 0 f x y x 2 2 f (x, y) = x + y
f(O,y)=y2，可排除(B),(C)(D),故正确选项为(A)a, +Ja,la, -la,l(3）设pn=1,2，则下列命题正确的是q,22(A）若α，条件收敛，则p与q都收敛.胎==I(B)若亡a,绝对收敛，则p，与q，都收敛1aln=ln=l(C)若a,条件收敛，贝，与9，敛散性都不定。=1n=1n=l(D)若a,绝对收敛，则p,与g,敛散性都不定。［B]=I=n=l【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案a, +anC0若a,绝对收敛，即Ja,收敛，当然也有级数a,收敛，再根据p，【详解】2=n=In=Ia, -a,l及收敛级数的运算性质知，p,与9都收敛，故应选(B)9.2n=1n=l[abb]b（4）设三阶矩阵A=ab若A的伴随矩阵的秩为1，则必有[bba](A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b± 0.(C)ab且a+2b=0(D）a±b且a+2b±0.[c]【分析】A的伴随矩阵的秩为1，说明A的秩为2，由此可确定ab应满足的条件【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有Jabbhab=(a+2b)a-b)=0,即有a+2b=0或a=b.bba但当a=b时，显然秩(A)±2，故必有a±b且a+2b=0.应选(C)【评注】n（n≥2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：[n, r(A)=n,r(A*)=31, r(A)=n-1,0,r(A)<n-1（5）设α,αz，"",α，均为n维向量，下列结论不正确的是(A）若对于任意一组不全为零的数k,kz,",，，都有kα,+kαz+..+k,α，±0，则α,αz,"",α
，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A). （3）设 ， ， ，则下列命题正确的是 (A) 若 条件收敛，则 与 都收敛. (B) 若 绝对收敛，则 与 都收敛. (C) 若 条件收敛，则 与 敛散性都不定. (D) 若 绝对收敛，则 与 敛散性都不定. [ B ] 【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若 绝对收敛，即 收敛，当然也有级数 收敛，再根据 ， 及收敛级数的运算性质知， 与 都收敛，故应选(B). （4）设三阶矩阵 ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 (A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b 0. (C) a b 且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件. 【详解】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有 ，即有 或 a=b. 但当 a=b 时，显然秩(A) , 故必有 a b 且 a+2b=0. 应选(C). 【评注】 n（n 阶矩阵 A 与其伴随矩阵 A*的秩之间有下列关系： （5）设 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，则 2 f (0, y) = y 2 n n n a a p + = 2 n n n a a q − = n = 1,2, n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 pn n=1 n q n=1 n a n=1 an n=1 n a 2 n n n a a p + = 2 n n n a a q − = n=1 pn n=1 n q = b b a b a b a b b A ( 2 )( ) 0 2 = a + b a − b = b b a b a b a b b a + 2b = 0 2 2) ( ) 1. ( ) 1, ( ) , 0, 1, , ( *) − = − = = r A n r A n n r A n r A s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 k11 + k2 2 ++ ks s 0 s , , , 1 2
线性无关.(B)若αj,αz",α线性相关，则对于任意一组不全为零的数k,k2，",k，，都有ka +k,a2 +...+k,α,=0.(C)α,α2，",α,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s(D）αi,α2，",α,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.［B]【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题【详解】(A)：若对于任意一组不全为零的数k,kz，,k，都有kα+k,αz+.+k,α±0，则αi,α2,…,α必线性无关，因为若αi,α2,…,α线性相关，则存在一组不全为零的数ki,k2…,k，,使得kα+kαz++kα=0，矛盾可见（A）成立(B)：若α,αz,""α，线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数k,kz，"",k，，都有k,α+k,α2+...+k,α,=0.(B)不成立.(C)α,α2，",α,线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组ααz,",α的秩为s，则αj,α2"α，线性无关，因此(C)成立.(D）α,α2"",α,线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的例如，原命题：若存在一组不全为零的数k,kz，,k，，使得k,α+kzα2++k,α，=0成立，则α1,α2",α,线性相关.其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数k,k2，",，都有kα+zαz++k,α，±0，则α,α2",α,线性无关在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A,={掷第一次出现正面)，A,={掷第二次出现正面)，A,=(正、反面各出现一次)，A4=正面出现两次)，则事件(A）A,A2,A相互独立.(B）A2,As,A,相互独立(C)A,A2,A,两两独立(D）A2,A,A两两独立.[c]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立
线性无关. (B) 若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ， 都 有 (C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应 注意是寻找不正确的命题. 【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数 ,都有 ，则 必线性无关，因为若 线性相关，则存在一组不全为零的数 ,使得 ，矛盾. 可见（A）成立. (B): 若 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数 ，都有 (B)不成立. (C) 线性无关,则此向量组的秩为 s；反过来，若向量组 的秩为 s，则 线性无关，因此(C)成立. (D) 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成 立. 综上所述，应选(B). 【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数 ，使 得 成立，则 线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零 的数 ，都有 ，则 线性无关. 在平时的学习过程中， 应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、 反面各出现一次}， ={正面出现两次}，则事件 (A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是 否相互独立. s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 0. k11 + k2 2 ++ ks s = s , , , 1 2 s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 k11 + k2 2 ++ ks s 0 s , , , 1 2 s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 0. k11 + k2 2 ++ ks s = s , , , 1 2 s , , , 1 2 s , , , 1 2 s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 s , , , 1 2 s k , k , , k 1 2 k11 + k2 2 ++ ks s 0 s , , , 1 2 A1 A2 A3 A4 1 2 3 A , A , A 2 3 4 A , A , A 1 2 3 A , A , A 2 3 4 A , A , A
【详解】因为11-P(A)=P(A,) =P(A,)=P(A):24.2n111且P(A,A2)= P(A,A,A,)= 04,P(AA)=’P(A,A)=,P(A2A4)=442可见有P(A,A,)= P(A,)P(A,),P(A,A,)= P(A,)P(A,), P(A,A,)= P(A2)P(A,) ,P(A,A2A,)+ P(A)P(A2)P(A),P(A,A) ± P(A,)P(A).故A,A2,A,两两独立但不相互独立；A2,As,A4不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立三、（本题满分8分）设11f(x):元(1- x)sinxTX试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续1【分析】只需求出极限limf(x)，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】因为111lim f(x)=lim[元(1- x)TXsinxx-→1x-→111(1 - x) - sin xlim元x→1(1 - x)sin rx元一元一元COS元1-lim-sinx+(1-x）cosx元元X-→11元sinxlim元coS元x-元coSx-（1-x）元sin元元元X-→1元）上连续，因此定义由于f(x)在1f(1)=A使 f(x)在[11上连续【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x，转化为求y→0+的极限，可以适当简化
【详解】 因为 ， ， ， ， 且 ， ， ， ， 可见有 ， ， ， ， . 故 两两独立但不相互独立； 不两两独立更不相互独立，应选(C). 【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立. 三 、（本题满分 8 分） 设 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 上连续. 【分析】 只需求出极限 ，然后定义 f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为 = = = = = 由于 f(x)在 上连续，因此定义 ， 使 f(x)在 上连续. 【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中， 也可先作变量代换 y=1-x，转化为求 的极限，可以适当简化. 2 1 ( ) P A1 = 2 1 ( ) P A2 = 2 1 ( ) P A3 = 4 1 ( ) P A4 = 4 1 ( ) P A1A2 = 4 1 ( ) P A1A3 = 4 1 ( ) P A2 A3 = 4 1 ( ) P A2 A4 = P(A1A2 A3 ) = 0 ( ) ( ) ( ) P A1A2 = P A1 P A2 ( ) ( ) ( ) P A1A3 = P A1 P A3 ( ) ( ) ( ) P A2 A3 = P A2 P A3 ( ) ( ) ( ) ( ) P A1A2A3 P A1 P A2 P A3 ( ) ( ) ( ) P A2 A4 P A2 P A4 1 2 3 A , A , A 2 3 4 A , A , A ,1). 2 1 , [ (1 ) 1 sin 1 1 ( ) − = + − x x x x f x ,1] 2 1 [ lim ( ) 1 f x x→ − lim ( ) 1 f x x→ − ] (1 ) 1 sin 1 1 lim[ x 1 x x − x + − → − x x x x x (1 )sin (1 ) sin lim 1 1 1 − − − + → − x x x x x sin (1 ) cos cos lim 1 1 1 − + − − − + → − x x x x x x cos cos (1 ) sin sin lim 1 1 2 2 1 − − − − + → − . 1 ,1) 2 1 [ 1 f (1) = ,1] 2 1 [ → + y 0
四、（本题满分8分） f(u)具有二阶连续偏导数，且满足%+%=1 又g(s,)=[x((x2 -) ,求Ov2Ou?a'g.o"gax2+ay?(x2-），直接利用复合【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：g=f(u,v)，u=xy,v=-(x2af_a'f函数求偏导公式即可，注意利用auovOvouafafog = 19【详解】+x0-%+Ovog=xafofavQuay0=yo1+2xyaf+故ar?Qu?Ov2avOuov08=x201+y-af2xy-1Qu?a?avay2Ovou=(r +y)afa'g.a'g+(r +y3)所以Ou?Ov2ax+ay?=x? + y?.【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导五、（本题满分8分）计算二重积分I- Jfe(-) in(x* +y)dxdy.D其中积分区域D=(x,y)x2+y≤元)【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算【详解】作极坐标变换：x=rcos,y=rsin，有I=e* Jfe-(+y) sin(x? +y2)dxdyDre-rsinr?dr.edb令t=r2，则"e'sintdtI = Te"记A="e'sintdt，则
四 、（本题满分 8 分） 设 f(u,v) 具有二阶连续偏导数，且满足 ， 又 ,求 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题： ， ，直接利用复合 函数求偏导公式即可，注意利用 【详解】 ， 故 ， 所以 = 【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五 、（本题满分 8 分） 计算二重积分 其中积分区域 D= 【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换： ，有 = 令 ，则 . 记 ，则 1 2 2 2 2 = + v f u f ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y . 2 2 2 2 y g x g + g = f (u,v) ( ) 2 1 , 2 2 u = xy v = x − y . 2 2 v u f u v f = v f x u f y x g + = . v f y u f x y g − = v f v f x u v f xy u f y x g + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v f v f y v u f xy u f x y g − + − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) v f x y u f x y y g x g + + = + + . 2 2 x + y sin( ) . ( ) 2 2 2 2 I e x y dxdy D x y = + − + − {( , ) }. 2 2 x y x + y x = r cos, y = rsin I e e x y dxdy D x y sin( ) ( ) 2 2 2 2 = + − + sin . 2 0 0 2 2 e d re r dr r − 2 t = r I e e tdt t sin 0 − = A e tdt t sin 0 − =