2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上（1）若反常积分[dx收敛，则（）x (1+x)(A)a1 (B)a>1且b>1 (C)a1 (D)a>且a+b>1(2) 已知面数(1)-[2(1)x<1,则,() 的一个原菌数是([lnx,x≥1(4)F(n)-[(x-1)°,x<1(B)F(g)=[(r-1),x<1[x(Inx-1),x≥1[x(Inx+1)-1,x ≥1[±(nx+1)+1x≥1 (D)F(s)=(x-1),x<1(C)F(t)=(α-1) ,x<1[x(Inx-1)+1,x≥1(3)若y=(1+x)-/1+x,=(1+x)+/+x2是微分方程y+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=（）(4)3x(1+x) (B)-3x(1+x*) (C), (D)-1+xx,x≤0(4）已知函数f(x)=P,n=1,2...，则（11<XS(n'n+1n（A）x=0是f(x)的第一类间断点（B）x=0是f(x)的第二类间断点(C）f(x）在x=0处连续但不可导（D）f(x)在x=0处可导（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（（A）A与BI相似（B）A"与B-相似(C）A+A与B+B相似（D）A+A-I与B+B-相似(6）设二次型f()=x+++4x+4+4x，则()=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为（)(C)柱面（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面
2016 考研数学（一）真题完整版 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）若反常积分 ( ) 0 1 1 b a dx x x + + 收敛，则（ ） ( A a b B a b C a a b D a a b ) + + 1 1 1 1 1 1 1 1 且 ( ) 且 ( ) 且 ( ) 且 （2）已知函数 ( ) 2 1 , 1 ( ) ln , 1 x x f x x x − = ，则 f x( ) 的一个原函数是（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 , 1 1 , 1 ln 1 , 1 ln 1 1, 1 1 , 1 1 , 1 ln 1 1, 1 ln 1 1, 1 x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x − − = = − + − − − = = + + − + （3）若 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 y x x y x x = + − + = + + + 1 1 , 1 1 是微分方程 y p x y q x + = ( ) ( ) 的两 个解，则 q x( ) = （ ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 1 1 1 x x A x x B x x C D x x + − + − + + （4）已知函数 ( ) , 0 1 1 1 , , 1, 2, 1 x x f x x n n n n = = + ，则（ ） （A） x = 0 是 f x( ) 的第一类间断点 （B） x = 0 是 f x( ) 的第二类间断点 （C） f x( ) 在 x = 0 处连续但不可导 （D） f x( ) 在 x = 0 处可导 （5）设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A） T A 与 T B 相似 （B） 1 A − 与 1 B − 相似 （C） T A A + 与 T B B+ 相似 （D） 1 A A− + 与 1 B B− + 相似 （6）设二次型 ( ) 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x , , 4 4 4 = + + + + + ，则 f x x x ( 1 2 3 , , 2 ) = 在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ） （A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （C）柱面
(7)设随机变量~(u,)>0)，记p=P(≤μ+),，则（（A）p随着μ的增加而增加（B）p随着α的增加而增加(C）p随着μ的增加而减少(D）p随着α的增加而减少（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A,AA，且三种结果发生的概率均为将试3验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A发生的次数，Y表示2次试验中结果A发生的次数，则X与Y的相关系数为（二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上tln(1+tsin t)dt(9) limx-→01-cosx2(10）向量场A(x,y=)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=(11）设函数f(u,)可微，z=z(x,J)由方程(x+1)z-y=xf(x-z,J)确定，则d=(0.1)x(12) 设西数()=areanx-→+且(0)-1,则a=-100-10A（13）行列式0元[432元+]（14）设x,2…x为来自总体N（u,α）的简单随机样本，样本均值x=9.5，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为三、解答题：15一23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15）（本题满分10分）已知平面区域D=(r,0)2≤r≤2(1+cos0),-号≤0≤计算二重积分xdxdy（16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y+2y+ky=0,其中0<k<1(1)证明：反常积分[y(x)dx收敛；
（7）设随机变量 ~ ( , )( 0) 2 X N ，记 2 p = P X + ，则（ ） （A） p 随着 的增加而增加 （B） p 随着 的增加而增加 （C） p 随着 的增加而减少 （D） p 随着 的增加而减少 （8）随机试验 E 有三种两两不相容的结果 1 2 3 A , A , A ，且三种结果发生的概率均为 3 1 ，将试 验 E 独立重复做 2 次， X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数， Y 表示 2 次试验中结果 A2 发生的次数，则 X 与 Y 的相关系数为（ ） 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. （9） ( ) _ 1 cos ln 1 sin lim 2 0 0 = − + → x t t t dt x x （10）向量场 A(x, y,z) = (x + y + z)i + xyj + zk 的旋度 rotA = _ （11）设函数 f (u,v) 可微， z = z(x, y) 由方程 (x 1)z y x f (x z, y) 2 2 + − = − 确定，则 dz (0,1) = _ （12）设函数 ( ) 2 1 arctan ax x f x x + = − ，且 f ''(0) =1 ，则 a = _ （13）行列式 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 3 2 1 − − = − + _. （14）设 1 2 , ,., n x x x 为来自总体 ( ) 2 N , 的简单随机样本，样本均值 x = 9.5 ，参数 的 置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 _. 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）已知平面区域 ( , 2 2 1 cos , ) ( ) 2 2 D r r = + − ， 计算二重积分 D xdxdy . （16）（本题满分 10 分）设函数 y x( ) 满足方程 '' ' y y ky + + = 2 0, 其中 0 1 k . () 证明：反常积分 0 y x dx ( ) + 收敛；
(1)若y(0)=1,(0)=1,求[(x)dx的值(17) (本题满分 10 分) 设函数 (x, )满足 (=(2x +1)e-),且,F(0. )= )+1,L, ax是从点(0,0)到点(1,1)的光滑曲线，计算曲线积分 1=(+，并axay求I()的最小值（18）设有界区域Q由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，Z为Q整个表面的外侧，计算曲面积分1=[(x+1)bydz-2ydzdx+3zdxdy，设数列(x)（19）（本题满分10分）已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0Y
() 若 ' y y (0) 1, (0) 1, = = 求 0 y x dx ( ) + 的值. （17）（本题满分 10 分）设函数 f x y ( , ) 满足 2 ( , ) (2 1) , x y f x y x e x − = + 且 (0, ) 1, t f y y L = + 是从点 (0,0) 到点 (1, )t 的光滑曲线，计算曲线积分 ( , ) ( , ) ( ) Lt f x y f x y I t dx dy x y = + ，并 求 It() 的最小值 （18）设有界区域 由平面 2x + y + 2z = 2 与三个坐标平面围成， 为 整个表面的外侧， 计算曲面积分 I (x 1)dydz 2ydzdx 3zdxdy 2 = + − + （19）（本题满分 10 分）已知函数 f x( ) 可导，且 f (0) 1 = ， 1 0 '( ) 2 f x ，设数列 xn 满足 1 ( )( 1,2.) n n x f x n + = = ，证明： （I）级数 1 1 ( ) n n n x x + = − 绝对收敛； （II） lim n n x → 存在，且 0 lim 2 n n x → . （20）（本题满分 11 分）设矩阵 1 1 1 2 2 2 1 , 1 1 1 1 2 A a B a a a − − = = − − − − 当 a 为何值时，方程 AX B = 无解、有唯一解、有无穷多解？ （21）（本题满分 11 分）已知矩阵 0 1 1 2 3 0 0 0 0 A − = − （I）求 99 A （II）设 3 阶矩阵 2 3 B = ( , , ) 满足 2 B BA = ，记 100 1 2 3 B = ( , , ) 将 1 2 3 , , 分别表 示为 1 2 3 , , 的线性组合。 （22）（本题满分 11 分）设二维随机变量 ( , ) X Y 在区域 ( ) 2 D x y x x y x = , 0 1, 上服从均匀分布，令 1, 0, X Y U X Y =
(I）写出（X,Y)的概率密度；（II）问U与X是否相互独立？并说明理由：（III）求Z=U+X的分布函数F（-)[3x2,0<x<0(23）设总体X的概率密度为f(x,0)=其中日e(0,+)为未知参数，03[0,其他X,X2,X,为来自总体X的简单随机样本，令T=max(X,X2,X,)。（1）求T的概率密度（2）确定a，使得aT为θ的无偏估计
（I）写出 ( , ) X Y 的概率密度； （II）问 U 与 X 是否相互独立？并说明理由； （III）求 Z U X = + 的分布函数 F z( ) . （23）设总体 X 的概率密度为 ( ) = 0,其他 ,0 3 , 3 2 x x f x ，其中 (0，+) 为未知参数， 1 2 3 X , X , X 为来自总体 X 的简单随机样本，令 ( ) 1 2 3 T = max X , X , X 。 （1）求 T 的概率密度 （2）确定 a ，使得 aT 为 的无偏估计
海文考研万孕教构2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1U8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合愿目要求的，请将所选项前的字母填在各题纸指定位置上()【答案】（C(2)【答案】(D)(3)【答案】(A)(4)【答案】(D)【答案(C)(5)(6)【答案】（B)(7)【答案】(B)(8)【答案】-}2二、填空题：9L14小题，每小题1分，共24分.请将各案写在谷题纸指定位置上(9）【答案】IC（10)【答案】（0,1-1)(11)【答案】-d+201(12 【答案（13）【答案】2+2+22+32+4艺教育（14)【答案】（8.2.10.8)三、解谷题：15~23小题，共94分，请将解谷写在答题纸指定位置上，解谷应写出文字说明、证明过程或演算步骤，ERSAL EDUCATION GROUP32（15）【答案】5元+3(16)【谷家】K（17)【答案】3（18）【答案】2（19)【答案】路
海文考研万孕教相（20【答案】=-2时，无解：a=1时，有无穷多解，3aa+24-44±-2月a+1时，有唯一解，X=0a+2-10-2+2991-292-2%2+210012002-29(21)【答案】（1)000(11)B=(2+2+(-2+20)gB,=(1-20)+(1-2100)β,=(2-2+(2-2)aJ3.0<x<1x<y<Vx(22）【答案】(3)=0.其他()U与X不独立，因为rusgePusyus-半教育(II)Z的分布西数0,2<032-2021EDUCATION GROUPF.(=)=35+2(3-1(-1).1522412≥2（23）【答案】（T的械率密度
海文考研万孕载相9x0<x<0f.()=90.其他10(ma-9万学教育UNIVERSAL EDUCATION GROUP