2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)下列反常积分中收敛的是（）cInxdx(C)-dx(A)(B)(D)dxAxlnx1x(2)函数 (t)=lim(1+ sin)号)在(-00,+00)内（)t->0x（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点（D)有无穷间断点1cos>0(3)设函数f(x)：(α>0,β>0)，若f(x)在x=0处连续，则（）0,x≤0(A) α-β>1 (B)02 (D)0<α-β≤2(4）设函数f(x)在（-o0,+oo)连续，其二阶导函数f"(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为（）(C)2 (D)3(A)0(B)1afafy)=x?依次是（则与(5).设函数f(u，v)满足f(x+y,oull41111(C) -(A)=,0(B)0,-.0(D)0 ,-2222(6)。设D是第一象限中曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=/3x围成的平面区域，函数f(x,j)在 D 上连续，则[[f(x,y)dxdy= ()D(dedein20sin20f(rcos,rsinの)dr (B)f(rcos,rsin@)dr(A)Ja2sin20J2sin20dein20desin2ef(rcos,rsin)dr(D)f(rcos,rsin)dr(C)2sin202sin281
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 1 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（） （A） 2 1 dx x + （B） 2 ln x dx x + (C) 2 1 ln dx x x + (D) 2 x x dx e + (2)函数 2 0 sin ( ) lim(1 ) x t t t f x → x = + 在 ( , ) − + 内（） （A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数 1 cos , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = ( 0, 0) ，若 f x( ) 在 x = 0 处连续，则（） （A） − 1 (B) 0 1 − (C) − 2 (D) 0 2 − (4) 设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 连续，其二阶导函数 f x ( ) 的图形如右图所示，则曲线 y f x = ( ) 的 拐点个数为（） （A）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数 f (u v) ， 满足 2 2 ( , ) y f x y x y x + = − ，则 1 1 u v f u = = 与 1 1 u v f v = = 依次是（） （A） 1 2 ,0 (B)0， 1 2 （C）- 1 2 ,0 (D)0 ,- 1 2 (6). 设 D 是第一象限中曲线 2 1,4 1 xy xy = = 与直线 y x y x = = , 3 围成的平面区 域，函数 f x y ( , ) 在 D 上连续，则 ( , ) D f x y dxdy =（） （A） 1 2 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin ) （B） 1 2 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin ) （C） 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin ) （D） 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin )
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二(112，若集合2={1,2)，则线性方程组Ax=b有无穷多个解的(7)．设矩阵A=14a充分必要条件为（）(A) a@2,d@(B)a2,de(C)ae2,d@Q (D) ae2,de2(8)设二次型f(x,x2,)在正交变换x=Py下的标准形为2+-,其中P=(e,e2e,)，若Q=(e,-es,e)，则f(x,x2,)在正交变换x=Py下的标准形为（）(A):2-+(B)2y+-(C)2y--(D)2++二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上，x=arctant,dy(9)设则[y=3t+t3"dx?(10）函数f(x)=x22*在x=0处的n阶导数f(")(0)=(11)设函数f(x)连续，(x)=[xf(t)dt,若p(1)=1，β(1)=5，则f(1)=(12）设函数y=(x)是微分方程y+y-2y=0的解，且在x=0处(x)取值3，则y(x)=(13）若函数≥=2(x,J)由方程e*2*+xyz=1确定，则d-lo.0)=（14）设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，B=A-A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式[B]=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本题满分10分）设函数f(x)=x+αln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx2，若f(x)与g(x)在x→>0是等价无穷小，求a,b,k的值。16、（本题满分10分）2
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 2 (7)．设矩阵 A= 2 1 1 1 1 2 a 1 4 a ，b= 2 1 d d ,若集合 Ω=1,2 ，则线性方程组 Ax b = 有无穷多个解的 充分必要条件为（） （A） a d , (B) a d , (C) a d , (D) a d , (8)设二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Py = 下的标准形为 2 2 2 1 2 3 2 , y y y + − 其中 P=(e ,e ,e ) 1 2 3 ，若 1 3 2 Q e e e = − ( , , ) ，则 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Py = 下的标准形为（ ） (A): 2 2 2 1 2 3 2y y y − + (B) 2 2 2 1 2 3 2y y y + − (C) 222 1 2 3 2yyy − − (D) 222 1 2 3 2yyy + + 二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 设 2 3 2 1 arctan , 3 t x t d y y t t dx = = = = + 则 （10）函数 2 ( ) 2x f x x = 在 x = 0 处的 n 阶导数 ( ) (0) n f = （11）设函数 f x( ) 连续， 2 0 ( ) ( ) , x x xf t dt = 若 (1) = 1， ' (1) 5 = ，则 f (1) = （12）设函数 y y x = ( ) 是微分方程 '' ' y y y + − = 2 0 的解，且在 x = 0 处 y x( ) 取值 3，则 y x( ) = （13）若函数 z z x y = ( , ) 由方程 2 3 1 x y z e xyz + + + = 确定，则 (0,0) dz = （14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2,1， 2 B A A E = − + ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式 B = 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 15、（本题满分 10 分） 设函数 f x x x bx x ( ) ln(1 ) sin = + + + ， 2 g x kx ( ) = ，若 f x( ) 与 g x( ) 在 x →0 是等价无穷小， 求 a b k , , 的值。 16、（本题满分 10 分）
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二儿设A>0,D 是由曲线段y=Asinx(0≤x≤)所形成的平面区域，V，)及直线y=0,x=22V,分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若V=V,，求A的值。17、（本题满分10分）已知函数f(x,y)满足f(x,y)=2(y+1)e，J‘(x,0)=(x+1)e，f(0,y)=+2y,求f(x,y)的极值。18、（本题满分10分）计算二重积分[x(x+)dxdy，其中D=(x,)]x2 +≤2,≥x2D19、（本题满分10分）已知函数f(x)="V1+dt+V1+idt，求f(x)零点的个数。20、（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30℃，若要使物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？21、（本题满分11分）已知函数f(x)在区间[a,+)上具有2阶导数，f(a)=0,f(x)>0,设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与X轴的交点是(xo,0)，证明：a<x<b。22、（本题满分11分）(a10，且A=0，（1）求a的值：（2）若矩阵X满足设矩阵A=la-l(o1 a)X-XA-AX+AXA=Z,其中Z为3阶单位矩阵，求X3
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 3 设 A 0，D 是由曲线段 sin (0 ) 2 y A x x = 及直线 , 2 y o x = = 所形成的平面区域， V1 ， V2 分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若 V V 1 2 = ，求 A 的值。 17、（本题满分 10 分） 已知函数 f x y ( , ) 满足 ( , ) 2( 1) x xy f x y y e = + ， ( ,0) ( 1) x x f x x e = + ，f y y (0, ) 2 , = + 求 f x y ( , ) 的 极值。 18、（本题满分 10 分） 计算二重积分 ( ) D x x y dxdy + ，其中 2 2 2 D x y x y y x = + ( , ) 2, 。 19、（本题满分 10 分） 已知函数 2 1 2 1 ( ) 1 1 x x f x t dt tdt = + + + ，求 f x( ) 零点的个数。 20、（本题满分 11 分） 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温 差成正比，现将一初始温度为 120 0C 的物体在 20 0C 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30 0C ，若要使物体的温度继续降至 21 0C ，还需冷却多长时间？ 21、（本题满分 11 分） 已知函数 f x( ) 在区间 a,+) 上具有 2 阶导数， f a f x ( ) 0, ( ) 0, = 设 b a , 曲线 y f x = ( ) 在 点 ( , ( )) b f b 处的切线与 X 轴的交点是 0 ( ,0) x ，证明： 0 a x b 。 22、（本题满分 11 分） 设矩阵 1 1 1 1 0 0 a A a a = − , 且 3 A = 0 ，（ 1 ） 求 a 的 值 ；（ 2 ） 若 矩 阵 X 满 足 2 2 X XA AX AXA Z − − + = , 其中 Z 为 3 阶单位矩阵，求 X
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二23、（本题满分11分）(0-3)2(1-20b0设矩阵A=-13-33，相似于矩阵B=031(-2(o1a（1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P，使P-IAP为对角矩阵。4
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二 4 23、（本题满分 11 分） 设矩阵 0 2 3 1 3 3 1 2 A a − = − − − ，相似于矩阵 1 2 0 0 0 0 3 1 B b − = ， （1）求 a,b 的值（2）求可逆矩阵 P，使 1 P AP − 为对角矩阵