中国最权威考研门户中国教育在线（www.kaoyan.cn）2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析、填空题：1一6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上xln(1+x) = 2.(1) lim>01-cosx0【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可0x ln(1+ x).X·X=2=lim【详解】lim401-cOSx微分方程=(1-)的通解是y=Cxe-*(x±0)(2)x【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为dyy两边积分得lny=lnx-x+C，整理得y=Cxe". (C=e)(3）设是锥面z=/x2+y0≤z≤1)的下侧，则[ xdyd + 2 ydzdx +3(z -1])dxdy = 2元 ,z=1【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面Z，：，取上侧，使+[x? +y? ≤]构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】设,：z=1(x2+y2≤1)，取上侧，则[[ xdydz +2 ydzdx + 3(z -1)dxdyxdydz+2 ydzdx +3(z-1)dxdy-[xdydz +2ydzdx+3(z-1)dxdy.+[[ xdydz +2ydzdx+3(z-1)dxdy= [6dv=6[" de[,rdr[' dz = 2元而2+[[xd yd 2yd x 3(z1),中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （1） 0 ln(1 ) lim 1 cos x x x x 2. 【分析】 本题为 0 0 未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】 0 0 2 ln(1 ) lim lim 2 1 cos 1 2 x x x x x x x x . （2） 微分方程 y x (1 ) y x 的通解是 e ( 0). x y Cx x 【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为 d 1 1 d y x y x ， 两边积分得 1 ln ln y x x C ，整理得 e x y Cx .（ 1 e C C ） （3）设 是锥面 2 2 z x y z (0 1) 的下侧，则 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d 2 . 【分析】本题 不是封闭曲面，首先想到加一曲面 1 ： 2 2 1 1 z x y ，取上侧，使 1 构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计 算即可. 【详解】 设 1 ： 2 2 z x y 1( 1) ，取上侧，则 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d 1 1 x y z y z x z x y x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d d d 2 d d 3( 1)d d . 而 1 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d ＝ 2 1 1 0 0 6d 6 d d d 2 r V v r r z ， 1 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d 0
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户[xdydz +2 ydzdx +3(z -1)dxdy = 2元所以（4）点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d=/2【分析】本题直接利用点到平面距离公式d = [4xo + By +Co + D]NA? + B2 +C2进行计算即可。其中（xo,yo,=）为点的坐标，Ax+By+Cz+D=0为平面方程[3× 2+ *+ 【详解】32 +4°+5212（5）设矩阵AE为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则12B|=_2【分析】将矩阵方程改写为AX=B或XA=B或AXB=C的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B(A-E)=2EBA-=4，而A-E==2，所以B=2于是有-11（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则P[max[X,Y}≤1}=9【分析】利用X与Y的独立性及分布计算.【详解】由题设知，X与Y具有相同的概率密度[10≤x≤3f(x)=/3'[0,其他则P[max[X,Y)≤1)=P(X≤1,Y≤1)=PX≤I)P(Y≤1)=(P(X≤1) -((Cidr) =-中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 所以 x y z y z x z x y d d 2 d d 3( 1)d d 2 . （4）点 (2,1,0) 到平面 3 4 5 0 x y z 的距离 d 2 . 【分析】 本题直接利用点到平面距离公式 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d A B C 进行计算即可. 其中 0 0 0 ( , , ) x y z 为点的坐标， Ax By Cz D 0 为平面方程. 【详解】 2 2 2 3 2 4 1 5 0 2 345 d . （5）设矩阵 2 1 1 2 A ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA B E 2 ，则 B 2 . 【分析】 将矩阵方程改写为 AX B XA B AXB C 或 或 的形式，再用方阵相乘的行 列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有 B A E E ( ) 2 于是有 B A E 4 ，而 1 1 2 1 1 A E ，所以 B 2 . （ 6 ） 设随机变量 X Y 与 相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间 0,3 上 的 均 匀 分 布 ， 则 P X Y max , 1 1 9 . 【分析】 利用 X Y 与 的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知， X Y 与 具有相同的概率密度 1 , 3 ( ) 3 0, x f x 0 其他 . 则 P X Y P X Y max , 1 1, 1 P X P Y 1 1 2 2 1 0 1 1 1 d 3 9 P X x
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：y32S407则 P(max(X,)≤1)=P(X≤1,Y≤1)==s9二、选择题：7一14小题，每小题4分，共32分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。(7)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f(x)>0,f"(α)>0，△x为自变量x在点x处的增量，Ay与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若△x>0，则(A) 00,f"(x)>0知，函数f(x)单J=()/调增加，曲线y=f(x)凹向，作函数y=f(x)的图形如14ydy右图所示，显然当△x>0时，Ay>dy=f(x)dx=f(x)Ar>0，故应选(A)0x1o+Ax（8）设f(xy)为连续函数，则4def(rcos,rsinの)rdr等于yl-(A)[(B)[2 dx]f(x, y)dy.df(x,y)dy21=11-1(C)f(x,y)dx.(D)f(x,y)dx.11didy【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Yy型域，则V22x2 +j3 =1中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn+X01
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 则 1 max , 1 1, 1 9 S P X Y P X Y S 阴 . 二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数 y f x ( ) 具有二阶导数，且 f x f x ( ) 0, ( ) 0 ，x 为自变量 x 在点 0 x 处的 增量， y y 与d 分别为 f x( ) 在点 0 x 处对应的增量与微分，若 x 0 ，则 (A) 0 d y y . (B) 0 d y y . (C) y yd 0 . (D) d 0 y y . [ Ａ ] 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由 f x f x ( ) 0, ( ) 0 知，函数 f x( ) 单 调增加，曲线 y f x ( ) 凹向，作函数 y f x ( ) 的图形如 右图所示，显然当 x 0 时， 0 0 y y f x x f x x d ( )d ( ) 0 ，故应选(Ａ). （ 8 ） 设 f x y ( , ) 为 连 续 函 数 ， 则 1 4 0 0 d ( cos , sin ) d f r r r r 等于 （Ａ） 2 2 1 2 0 d ( , )d x x x f x y y . （B） 2 2 1 2 0 0 d ( , )d x x f x y y . (C) 2 2 1 2 0 d ( , )d y y y f x y x . (D) 2 2 1 2 0 0 d ( , )d y y f x y x . [ Ｃ ] 【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域 D 如右图所示，显然是 Y 型域，则
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户(x,y)dx原式故选（C），(9）若级数α,收敛，则级数=[a.|收敛(-1)"a,收敛(B)(A)>2n=Za,am收效.a,+al收敛.(C) (D) [D ]12nln=【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定5a,+anl收敛，故应选(D)由a,收敛知+收敛，所以级数>【详解】2台In=ln=l或利用排除法：取a,=(-1)n则可排除选项（A），（B）；n取a,=(-1)"一，则可排除选项（C）.故（D）项正确Jn(10）设f(x,y)与p(x,J)均为可微函数，且g,(x,J)0，已知(xo,)是f(x,y)在约束条件β(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若f(xo,%)=0,则f'(xo,y)=0(B)若f'(xo,yo)=0，则f(xo,yo)±0若f(x,)±0，则(xo,%)=0(C)若f(xo,y)0，则J'(xo,%)0.(D)【D]【分析】利用拉格朗日函数F(x,y,)=f(x,J)+p(x,J)在(x,,）（是对应xo,%的参数入的值）取到极值的必要条件即可。【详解】作拉格朗日函数F(x,y,)=f(x,y)+p(x,y)，并记对应xo,的参数的值为，则中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 原式 2 2 1 2 0 d ( , )d y y y f x y x . 故选（Ｃ）. （9）若级数 1 n n a 收敛，则级数 (A) 1 n n a 收敛 . （B） 1 ( 1)n n n a 收敛. (C) 1 1 n n n a a 收敛. (D) 1 1 2 n n n a a 收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由 1 n n a 收敛知 1 1 n n a 收敛，所以级数 1 1 2 n n n a a 收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取 1 ( 1)n n a n ，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； 取 1 ( 1)n n a n ，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （10）设 f x y x y ( , ) ( , ) 与 均为可微函数，且 ( , ) 0 y x y ，已知 0 0 ( , ) x y 是 f x y ( , ) 在约 束条件 ( , ) 0 x y 下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y . (B) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y . (C) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y . (D) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y . [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数 F x y f x y x y ( , , ) ( , ) ( , ) 在 0 0 0 ( , , ) x y （ 0 是对应 0 0 x y, 的参数 的值）取到极值的必要条件即可. 【详解】作拉格朗日函数 F x y f x y x y ( , , ) ( , ) ( , ) ，并记对应 0 0 x y, 的参数 的 值为 0 ，则
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户F'(,[s'(xo, %)+ 2og'(x0, yo)=0[U,'(xo, y0)+ ,(x0, y)= 0F'(,消去，得f'(xo,y),(xo,y)-f'(xo,yo)p'(xo,y)=0,1整理得'(xo,o)=f'(xo,)p (x,). (因为g,(x,)±0),,(xo,yo)若f'(xo,y)±0，则f(xy)±0.故选（D）（11）设αi,αz，,α,均为n维列向量，A为mxn矩阵，下列选项正确的是(A）若α,α2"*α,线性相关，则Aαy,Aα,"",Aα,线性相关(B）若α,α2,",α,线性相关，则Aα,Aα2,",Aα线性无关(C）若,αz,线性无关，则Aα,Aα2,Aα,线性相关(D）若α,αz,…,α,线性无关，则Aα,Aα，,Aα,线性无关c]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定【详解】记B=(αα",），则（Aα,Aα",Aα）=AB所以，若向量组α,α2",α,线性相关，则r(B)<S，从而r(AB)≤r(B)<s，向量组Aαi,Aα2,"",Aα,也线性相关，故应选(A).（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2(110)010列得C，记P=则(001(B) C=PAP-I(A) C=P-'AP.(D) C= PAPT.(C) C=PTAP.［B]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 0 ( , , ) 0 x y F x y F x y ， 即 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 x x y y f x y x y f x y x y . 消去 0 ，得 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y y x f x y x y f x y x y , 整理得 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y x y x y .（因为 ( , ) 0 y x y ）， 若 0 0 ( , ) 0 x f x y ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y .故选（Ｄ）. （11）设 1 2 , , , s 均为 n 维列向量， A 为 m n 矩阵，下列选项正确的是 (A) 若 1 2 , , , s 线性相关，则 1 2 , , , A A A s 线性相关. (B) 若 1 2 , , , s 线性相关，则 1 2 , , , A A A s 线性无关. (C) 若 1 2 , , , s 线性无关，则 1 2 , , , A A A s 线性相关. (D) 若 1 2 , , , s 线性无关，则 1 2 , , , A A A s 线性无关. [ C ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记 1 2 ( , , , ) B s ，则 1 2 ( , , , ) A A A AB s . 所以，若向量组 1 2 , , , s 线性相关，则 r B s ( ) ，从而 r AB r B s ( ) ( ) ，向量组 1 2 , , , A A A s 也线性相关，故应选(Ａ). （12）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的1 倍加到第 2 列得 C ，记 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P ，则 （Ａ） 1 C P AP . （Ｂ） 1 C PAP . （Ｃ） T C P AP . （Ｄ） T C PAP . ［ Ｂ ］ 【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】 由题设可得
中国最权威考研门户中国教育在线（www.kaoyan.cn）(110)10-100100100B=C=BA0000100C-1 0)1010而P则有C=PAP-l.故应选（B）(o01)(13)设A,B为随机事件，且P(B)>0,P(A|B)=1，则必有(B)(A)P(AU B> R P(AUB)>P(B)P(AUB)=P(A)P(AUB)=P(B)(C)(D)B【分析】利用事件和的运算和条件概率的概念即可.P(AB) =1, 即 P(AB)= P(A).P(A|B) =【详解】由题设，知P(B)又 P(AUB)= P(A)+ P(B)-P(AB)= P(A),故应选(C).（14）设随机变量X服从正态分布N(μ,α），Y服从正态分布N(,)，且P(X -μ| P(Y- μ2/02(C) (D)[D]2【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得【详解】由题设可得X-μY-μal1a,aJ则2Φ其中(x)是标准正态分布的分布函数11川又(x)是单调不减函数，即,<0202ar故选(A).中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 B A C B A ， 而 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P ，则有 1 C PAP .故应选（Ｂ）. （13）设 AB, 为随机事件，且 P B P A B ( ) 0, ( | ) 1 ，则必有 (A) P A B P A ( ) ( ) (B) P A B P B ( ) ( ) (C) P A B P A ( ) ( ) (D) P A B P B ( ) ( ) [ B ] 【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可. 【详解】 由题设，知 ( ) ( | ) 1 ( ) P AB P A B P B ，即 P AB P A ( ) ( ) . 又 P A B P A P B P AB P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 故应选(Ｃ). （14）设随机变量 X 服从正态分布 2 1 1 N( , ) ，Y 服从正态分布 2 2 2 N( , ) ，且 P X P Y 1 2 1 1 则必有 (A) 1 2 (B) 1 2 (C) 1 2 (D) 1 2 [ D ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得 1 2 1 1 2 2 X Y 1 1 P P ， 则 1 2 1 1 2 1 2 1 ，即 1 2 1 1 . 其中 ( ) x 是标准正态分布的分布函数. 又 ( ) x 是单调不减函数，则 1 2 1 1 ，即 1 2 . 故选(A)
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户三、解答题：15一23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分10分）1+xy设区域D=(x,y)x+y≤1,x≥0)计算二重积分「dxdy1+x2+1【分析】由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域D如右图所示.因为区域D关于x轴对称，1函数f(x,y)=是变量y的偶函数，1+x2 + y2xy2是变量y的奇函数函数g(x,y)=1+x?+y2则0x1元n2dxdy= 2[dxdy:dr=+x?+y2xydxdy=01+x+ydxdy=元 ln21+xy, dxdy=[X故1dxdy+[1+x?+y?1+x2+11+x2+y2A（16）（本题满分12分）设数列(x,)满足00时,sinx<x)，则有xu<x，可见数列()单Xn+L于是XnX调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limx，存在.中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 三 、解答题：15－23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 设区域 2 2 D x y x y x ( , ) 1, 0 ， 计算二重积分 2 2 1 dd. 1 D xy x y x y 【分析】 由于积分区域 D 关于 x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求 积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可. 【详解】 积分区域 D 如右图所示.因为区域 D 关于 x 轴对称， 函数 2 2 1 ( , ) 1 f x y x y 是变量 y 的偶函数， 函数 2 2 ( , ) 1 xy g x y x y 是变量 y 的奇函数. 则 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 ln 2 d d 2 d d 2 d d 1 1 1 2 D D r x y x y r x y x y r 2 2 d d 0 1 D xy x y x y ， 故 2 2 2 2 2 2 1 1 ln 2 d d d d d d 1 1 1 2 D D D xy xy x y x y x y x y x y x y . （16）（本题满分 12 分） 设数列 xn 满足 1 1 0 , sin ( 1,2, ) n n x x x n （Ⅰ）证明 lim n n x 存在，并求该极限； （Ⅱ）计算 2 1 1 lim n x n n n x x . 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列 极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果. 【详解】 （Ⅰ）因为 1 0 x ，则 2 1 0 sin 1 x x . 可推得 1 0 sin 1 , 1,2, n n x x n ，则数列 xn 有界. 于是 1 sin 1 n n n n x x x x ，（因当 x x x 0 sin 时， ）， 则有 n n 1 x x ，可见数列 xn 单 调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限 lim n n x 存在
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户设limx=l，在+1=x,两边令n→，得1=sinl，解得/=0，即m_x,2sin x手(I)因lim=lim，由（I）知该极限为1型，n>X令t=x，则n→,t→0，而sinsintsintsintlim1+=lim=lim-01->0(1-→0tsint-t1(sintcost-1-sint/lim又lim-lim=lim6t33t3-06t1→0T-1f-0（利用了sinx的麦克劳林展开式）sinxXnt故limlime6（17）（本题满分12分）x将函数f(x)展成x的幂级数2 + x- x2【分析】利用常见函数的幂级数展开式xABx【详解】f(x)=2+x-x?(2 - x)(1+x)21+x-212.B=即 f(x)比较两边系数可得A：333211x2xE(-2,2)而(-1)"x",xe(-1,1),>x1+xn=0:2故x(-1)"x" +2,x",xe(-1,1)-x"f(x)=-2±x-x22n=(-（18）（本题满分12分）设函数f(u)在(0,+o)内具有二阶导数，且z=f(x2+y）满足等式00zF=0ax?ay?中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn 设 lim n n x l ，在 1 sin n n x x 两边令 n ，得 l l sin ，解得 l 0 ，即 lim 0 n n x . （Ⅱ） 因 2 2 1 1 1 sin lim lim n n x x n n n n n n x x x x ，由（Ⅰ）知该极限为 1 型， 令 n t x ，则 n t , 0 ，而 2 2 2 sin 1 1 1 1 1 1 sin 1 0 0 0 sin sin sin lim lim 1 1 lim 1 1 t t t t t t t t t t t t t t t t ， 又 2 3 3 0 0 0 0 1 sin sin cos 1 sin 1 lim 1 lim lim lim t t t t 3 6 6 t t t t t t t t t t . （利用了 sin x 的麦克劳林展开式） 故 2 2 1 1 1 1 6 sin lim lim e n n x x n n n n n n x x x x . （17）（本题满分 12 分） 将函数 2 ( ) 2 x f x x x 展成 x 的幂级数. 【分析】 利用常见函数的幂级数展开式. 【详解】 2 ( ) 2 (2 )(1 ) 2 1 x x A B f x x x x x x x ， 比较两边系数可得 2 1 , 3 3 A B ，即 1 2 1 1 1 1 ( ) 3 2 1 3 1 1 2 f x x x x x . 而 0 1 ( 1) , ( 1,1) 1 n n n x x x ， 0 1 , ( 2,2) 2 1 2 n n x x x ， 故 1 2 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) , ( 1,1) 2 3 2 3 2 n n n n n n n n n n x f x x x x x x x . （18）（本题满分 12 分） 设函数 f u( ) 在 (0, ) 内具有二阶导数，且 2 2 z f x y 满足等式 2 2 2 2 0 z z x y
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户() 验证"(u)+(u)=0：u(）若f(1)=0.f(1)=1，求函数f(u)的表达式代入+=0即可得（1）【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出ax2'ay?ax2ay2按常规方法解（II）即可.（）设u=x+y，则【详解】Oz== f(u)xy=f'(u)axayVx+y?/x2+12-a°zJr2+y2xX"(u+ f'(u)ax2x? + y2x2+y2x=f"(u)f(u)(x2 +y2)ya°zx-+f(u)f"(u)ay?x2+y(2+y2)将%代入=0得ax2ay2ax2+ay2'()+ I' =0.ududp(）令f(u)=p，则p+=0=两边积分得uupInp=-Inu+hnC, 即 p=C,亦即f'(u)u1由f(1)=1可得C=1.所以有两边积分得f'(u)=uf(u)=lnu+C2,由f(I)=0可得C,=0，故f(u)=lnu.（19）（本题满分12分）设在上半平面D=(x,J)Iy>0)内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t2f(x,y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn （I）验证 ( ) ( ) 0 f u f u u ； （II）若 f f (1) 0, (1) 1 ，求函数 f u( ) 的表达式. 【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出 2 2 2 2 , z z x y 代入 2 2 2 2 0 z z x y 即可得（I）. 按常规方法解（II）即可. 【详解】 （I） 设 2 2 u x y ，则 2 2 2 2 ( ) , ( ) z x z y f u f u x y x y x y . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x x y z x x x y f u f u x x y x y x y 2 2 2 2 3 2 2 2 ( ) ( ) x y f u f u x y x y ， 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 ( ) ( ) z y x f u f u y x y x y . 将 2 2 2 2 , z z x y 代入 2 2 2 2 0 z z x y 得 ( ) ( ) 0 f u f u u . （II） 令 f u p ( ) ，则 d d 0 p p u p u p u ，两边积分得 1 ln ln ln p u C ，即 C1 p u ，亦即 1 ( ) C f u u . 由 f (1) 1 可得 1 C 1.所以有 1 f u( ) u ，两边积分得 2 f u u C ( ) ln ， 由 f (1) 0 可得 2 C 0 ，故 f u u ( ) ln . （19）（本题满分 12 分） 设在上半平面 D x y y ( , ) | 0 内，函数 f x y ( , ) 具有连续偏导数，且对任意的 t 0 都有 2 f tx ty t f x y ( , ) ( , ) . 证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L ，都有
中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户f yf(x, y)dx-xf(x, y)dy = 0.【分析】利用曲线积分与路径无关的条件_Paxdy【详解】f(tx,ty)={f(x,y)两边对t求导得xf(tx,ty)+yf(tx,ty) =-2tf(x,y)@令 t=1, 则 xf(x,y)+yf,(x,j)=-2f(x,y)设 P(x,y)=yf(x,y),Q(x,y)=-xf(x,y),则--(x,)-x(x, %= (x,)+,(x, ),axoyao_ap则由①可得ax"ay故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有Il yf(x, y)dx-xf(x, y)dy = 0.（20）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组[x+x+x+x=-14x+3x,+5x-x4=-1ax, +x, +3x, +bx =1有3个线性无关的解。（I）证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2（II）求a,b的值及方程组的通解【分析】（I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明：（II）利用初等变换求矩阵A的秩确定参数a,b，然后解方程组。【详解】(1)设α1,α2,α3是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中-1(1111435YA=b13a1中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn
中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn ( , )d ( , )d 0 L yf x y x xf x y y . 【分析】 利用曲线积分与路径无关的条件 Q P x y . 【详解】 2 f tx ty t f x y ( , ) ( , ) 两边对 t 求导得 3 ( , ) ( , ) 2 ( , ) x y xf tx ty yf tx ty t f x y . 令 t 1 ，则 ( , ) ( , ) 2 ( , ) x y xf x y yf x y f x y . ① 设 P x y yf x y Q x y xf x y ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ，则 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) x y Q P f x y xf x y f x y yf x y x y . 则由①可得 Q P x y . 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L ， 都有 ( , )d ( , )d 0 L yf x y x xf x y y . （20）（本题满分 9 分） 已知非齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x ax x x bx 有 3 个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵 A 的秩 r A 2 ； （Ⅱ）求 ab, 的值及方程组的通解. 【分析】 （I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II）利用初等变换求矩阵 A 的秩确定参数 ab, ，然后解方程组. 【详解】 （I） 设 1 2 3 , , 是方程组 Ax 的 3 个线性无关的解，其中 1 1 1 1 1 4 3 5 1 , 1 1 3 1 A a b