考研数学历年真题：1994考研数一真题及解析

7跨考教育XKUAKAOFDUCATIOIBorntowin1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）1(1)limcotx(sinxTX(2）曲面z-e+2xy=3在点（1,20)处的切平面方程为(3) 设u=e"sin=,则u在点(2 )处的值为axoy元y12(4)设区域D为x+≤R,则[)dxdy6314),设A=αβ，其中α是α的转置，则A"=(5)已知α=(1,2,3),β=(1,23二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）sinxcosxdx,N(sinx+cosx)dxP(1)设M (xsin"x-cosx)dx,1+1则()(A) N0,且级数α收敛，则级数了-()Jn+an=in=l(A）发散(B）条件收敛(C）绝对收敛(D）收敛性与入有关atanx+b(1-cosx)(4) lim()2,其中α2+c2+0,则必有x-0 cln(1-2x)+d(1-e-r)(A) b=4d(B) b=-4d(C) a=4c(D) a=-4c(5）已知向量组α、α2、α、α,线性无关,则向量组()(A)+α、α+α、线性无关

Born to win 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 0 1 1 lim cot ( ) x sin x → x x − = _. (2) 曲面 2 3 z z e xy − + = 在点(1,2,0)处的切平面方程为_. (3) 设 sin x x u e y − = ,则 2 u x y    在点 1 (2, )  处的值为_. (4) 设区域 D 为 2 2 2 x y R +  ,则 2 2 2 2 ( ) D x y dxdy a b + =  _. (5) 已知 1 1 (1,2,3), (1, , ) 2 3   = = ,设 T A =  ,其中 T  是  的转置,则 n A =_. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设 2 4 2 2 sin cos 1 x M xdx x   − = +  , 2 3 4 2 N x x dx (sin cos )   − = +  , 2 2 3 4 2 P x x x dx ( sin cos )   − = −  , 则 ( ) (A) N P M   (B) M P N   (C) N M P   (D) P M N   (2) 二元函数 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处两个偏导数 0 0 ( , ) x f x y  、 0 0 ( , ) y f x y  存在是 f x y ( , ) 在 该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数   0,且级数 2 1 n n a  =  收敛,则级数 2 1 | | ( 1)n n n a n   = − +  ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与  有关 (4) 2 0 tan (1 cos ) lim 2 ln(1 2 ) (1 ) x x a x b x c x d e → − + − = − + − ,其中 2 2 a c +  0 ,则必有 ( ) (A) b d = 4 (B) b d =−4 (C) a c = 4 (D) a c =−4 (5) 已知向量组     1 2 3 4 、 、 、 线性无关,则向量组 ( ) (A)   1 2 + 、  2 3 + 、  3 4 + 、  4 1 + 线性无关

凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIONBorntowin(B)---α-线性无关(C）+α、α+、αα-线性无关(D)+α、α+α、α-α、α-,线性无关三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分.）x= cos(t),元d'y在t=求迎(1)设的值1dx?V2y=tcos(t)-dxcosudu,J.2Ju11.1+x,1(2)将函数f(x)==lnarctanx-x展开成x的幂级数41-x2dx(3)求[sin2x+2sinx四、（本题满分6分）计算曲面积分+*d,其中S是由曲面+=R及两平面==R,x?+y?+zSz=-R(R>O)所围成立体表面的外侧五、（本题满分9分）设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+xy]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.六、（本题满分8分）f(x)=0，证明级数设f(x)在点x=0的某一领域内具有二阶连续导数，且limx-→0xf()绝对收敛.1n=l七、（本题满分6分）已知点A与B的直角坐标分别为（1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积八、（本题满分8分）

Born to win (B)   1 2 − 、  2 3 − 、  3 4 − 、  4 1 − 线性无关 (C)   1 2 + 、  2 3 + 、  3 4 + 、  4 1 − 线性无关 (D)   1 2 + 、  2 3 + 、  3 4 − 、  4 1 − 线性无关 三、(本题共 3 小题, 每小题 5 分,满分 15 分.) (1) 设 2 2 2 1 cos( ), 1 cos( ) cos , 2 t x t y t t udu u  =   = −    求 dy dx 、 2 2 d y dx 在 2 t  = 的值. (2) 将函数 1 1 1 ( ) ln arctan 4 1 2 x f x x x x + = + − − 展开成 x 的幂级数. (3) 求 sin 2 2sin dx x x +  . 四、(本题满分 6 分) 计算曲面积分 2 2 2 2 S xdydz z dxdy x y z + + +  ,其中 S 是由曲面 2 2 2 x y R + = 及两平面 z R = , z R R = −  ( 0) 所围成立体表面的外侧. 五、(本题满分 9 分) 设 f x( ) 具有二阶连续导数, f f (0) 0, (0) 1 = =  ,且 2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] 0 xy x y f x y dx f x x y dy + − + + =  为一全微分方程,求 f x( ) 及此全微分方程的 通解. 六、(本题满分 8 分) 设 f x( ) 在点 x = 0 的某一领域内具有二阶连续导数,且 0 ( ) lim 0 x f x → x = ,证明级数 1 1 ( ) n f n  =  绝对收敛. 七、(本题满分 6 分) 已知点 A 与 B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段 AB 绕 z 轴旋转一周所围成 的旋转曲面为 S .求由 S 及两平面 z z = = 0, 1 所围成的立体体积. 八、(本题满分 8 分)

凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIOIBorntowin[x, +x, =0,设四元线性齐次方程组()为又已知某线性齐次方程组(II)的通解为(-x=0,k(0,1,10)+k(-1,2,2,1).(1）求线性方程组(I)的基础解系；(2）问线性方程组(①)和(II)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由，九、(本题满分6分)设A为n阶非零方阵，A是A的伴随矩阵，A是A的转置矩阵，当A=A时，证明IA|±0.十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.）(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=P，则P(B)=(2）设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律，且X的分布律为X011-21-2P则随机变量Z=maxX,Y的分布律为十一、(本题满分6分)已知随机变量（X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,3）和XY1，设Z=3N(O,4°)，X与Y的相关系数Pxy=3+2'2(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)：(2）求X与Z的相关系数Pxz:（3）问X与Z是否相互独立？为什么？

Born to win 设四元线性齐次方程组 () 为 1 2 2 4 0, 0, x x x x  + =   − = 又已知某线性齐次方程组 ( )  的通解为 1 2 k k (0,1,10) ( 1,2,2,1) + − . (1) 求线性方程组 () 的基础解系； (2) 问线性方程组 () 和 ( )  是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没 有,则说明理由. 九、(本题满分 6 分) 设 A 为 n 阶非零方阵, * A 是 A 的伴随矩阵, T A 是 A 的转置矩阵,当 * T A A = 时,证明 | | 0 A  . 十、填空题(本题共 2 小题, 每小题 3 分,满分 6 分.) (1) 已知 A 、B 两个事件满足条件 P AB P AB ( ) ( ) = ,且 P A p ( ) = ,则 P B( ) = _. (2) 设相互独立的两个随机变量 X 、Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为 X 0 1 P 1 2 1 2 则随机变量 Z X Y = max ,   的分布律为_. 十一、(本题满分 6 分) 已知随机变量 ( , ) X Y 服从二维正态分布,且 X 和 Y 分别服从正态分布 2 N(1,3 ) 和 2 N(0,4 ) , X 与 Y 的相关系数 1 2  XY = − ,设 3 2 X Y Z = + , (1) 求 Z 的数学期望 E Z( ) 和方差 D Z( ) ； (2) 求 X 与 Z 的相关系数  XZ ； (3) 问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？

凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIORBornto win1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）()【答案】！60.【解析】原式变形后为“”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，所以连0续应用两次洛必达法则，有cosx(x-sinx)x-sinx原式=lim=limcosx·lim3xsin"x-→0r>0x-→011-cosxsinxsinx=1)= lim=lim（由重要极限lim3x266xx-→0x-→0x(2）【答案】2x+y-4=0【解析】所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点（1,2,0）处法线方向的方向向量l，取n=l，又平面过已知点M(1,2,0)已知平面的法向量（A,B,C)和过已知点（xo,yo,）可唯一确定这个平面：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0因点（1,20)在曲面F(x,y,=)=0上.曲面方程Fx,y,=)=z-e+2xy-3曲面在该点的法向量[aF F F]=(2y,2x,1-ei)n=20 = (4,2,0)= 2(2,1,0) [ax"ay"a= ](120)(1,2,0)故切平面方程为2(x-1)+(y-2)=0，即2x+y-4=0元2(3）【答案】e?【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，为了简化运算，所以本题可以先(ou)来Qu，再求ax(ay)ayu--e.cosOyy2y

Born to win 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 1 6 【解析】原式变形后为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,所以连 续应用两次洛必达法则,有 原式 2 0 cos ( sin ) lim x sin x x x → x x − = 3 0 0 sin lim cos lim x x x x x → → x − =  2 0 0 1 cos sin 1 lim lim x x 3 6 6 x x → → x x − = = = . (由重要极限 0 sin lim 1 x x → x = ) (2)【答案】 2 4 0 x y + − = 【解析】所求平面的法向量 n 为平行于所给曲面在点 (1,2,0) 处法线方向的方向向量 l ,取 n l = ,又平面过已知点 M (1,2,0) . 已知平面的法向量 ( , , ) A B C 和过已知点 0 0 0 ( , , ) x y z 可唯一确定这个平面： 0 0 0 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − = . 因点 (1,2,0) 在曲面 F x y z ( , , ) 0 = 上.曲面方程 ( , , ) 2 3 z F x y z z e xy = − + − . 曲面在该点的法向量       (1,2,0) (1,2,0) , , 2 ,2 ,1 4,2,0 2 2,1,0 FFF z n y x e x y z    = = − = =        , 故切平面方程为 2( 1) ( 2) 0 x y − + − = , 即 2 4 0 x y + − = . (3)【答案】 2 2 e  【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先 求 u y   ,再求 u x y          . 2 cos u x x x e y y y  − = − 

凶跨煮教育CAKABornto wina'ua'uau一元xe-coS元xaxoyl2.yoxle!ax+元=(-元~e-(1- x)cos 元x)/ x=2 + 0 =o（可边代值边计算，这样可以简化运算量.）【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u=p(x,y),v=y(x,y)都在点(x,J)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f(p(x,y),y(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有Oz_ Oz Ou Oz Ovfovc,OuaxaxavaxaxOuaxOz_'OuOzOuOzOroyayayayQu yOvayER(+)(4）【答案】R(+)4【解析】很显然，根据此题的特征用极坐标变换来计算：cos'?, sin'?cos', sin’原式：3drb2b2aa"cos?edo=f,"sin'edo=元,注意：151(+)R=r(则原式2+1-3.2-31-211(5）【答案】3"-123312【解析】由矩阵乘法有结合律，注意βαT=3是一个数，3

Born to win ( ) 2 2 2 1 1 1 (2, ) (2, ) 2 2 cos x y x x u u u xe x x y y x x y x      − = = =        = = = −              2 2 2 2 ( (1 )cos ) 0 x x e x x e    − = − − + = = . (可边代值边计算,这样可以简化运算量.) 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 u x y v x y = =   ( , ), ( , ) 都在点 ( , ) x y 具 有对 x 及对 y 的偏导数,函数 z f u v = ( , ) 在对应点 ( , ) u v 具有连续偏导数,则复合函数 z f x y x y = ( ( , ), ( , ))   在点 ( , ) x y 的两个偏导数存在,且有 1 2 z z u z v u v f f x u x v x x x        = + = +          ； 1 2 z z u z v u v f f y u y v y y y         = + = +         . (4)【答案】 4 2 2 1 1 ( ) 4 R a b  + 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 0 0 0 0 R R cos sin cos sin d r rdr d r dr a b a b             = + = +              . 注意： 2 2 2 2 0 0 cos sin d d        = =   , 则 原式 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 R R a b a b       = +  = +         . (5)【答案】 1 1 1 1 2 3 2 3 2 1 3 3 3 1 2 n−                   【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1 1 1 1, , 2 3 2 3 3 T       = =         是一个数

跨煮教育KUAKAOEDUCATIBornto win1-21-3.2-311而A=αβ=(是一个三阶矩阵)2.2'3)[33-231于是，A" =(α β)(α β)(α" β)..(α β)=αT (βα)(βα)...(βα")βV1-322-31= 3"-lαβ= 3"-l23-231二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1）【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分，应该关注被积函数的奇偶性由对称区间上奇偶函数积分的性质，被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，则积分为0,故M=0,且由定积分的性质,如果在区间[a,b]上,被积函数f(x)≥0,则["f(x)dx≥0 (a0,P=-2[cos*xdx=-N<0.所以因而P<M<N,应选(D).(2）【答案】(D)【解析f(x,y)在点(xo,y)连续不能保证f(x,J)在点(xo,)存在偏导数f(xo,%)(xo,yo）.反之，(x,Jy)在点(xo,yo)存在这两个偏导数f(xo,%)，f(xo,J）也不能保证f(x,J)在点(xo,%)连续因此应选(D).二元函数f(x,J)在点(xo,J%)处两个偏导数存在和在点(xo,y%)处连续并没有相关性.(3）【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因

Born to win 而 1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1, , 2 1 2 3 3 3 3 3 1 2 T A                = = =                     ,(是一个三阶矩阵) 于是, ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) n T T T T T T T T A = =              1 1 1 1 1 2 3 2 3 3 2 1 3 3 3 1 2 n T n   − −         = =           . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性. 由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分 为 0,故 M = 0 ,且 由定积分的性质,如果在区间 a b,  上,被积函数 f x( ) 0  ,则 ( ) 0 ( ) b a f x dx a b    . 所以 2 4 0 N xdx 2 cos 0  =   , 2 4 0 P xdx N 2 cos 0  = − = −   . 因而 P M N   ,应选(D). (2)【答案】(D) 【解析】 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 连续不能保证 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 存在偏导数 0 0 ( , ), x f x y  0 0 ( , ) y f x y  .反之, f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 存在这两个偏导数 0 0 ( , ), x f x y  0 0 ( , ) y f x y  也不能保 证 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 连续,因此应选(D). 二元函数 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处两个偏导数存在和在点 0 0 ( , ) x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C) 【解析】考查取绝对值后的级数.因

7跨考教育XKUAKAEDCABorn to win(-1)"|a, 11111a,+an22n22 n?+12n+a-(α2+b2)得到的.)(第一个不等式是由a≥0,b≥0,ab≤29111又收敛，收敛，此为p级数：当p>1时收敛；当p≤1时发散.）>n=12n2n=inpn=l[(-1)"|a,所以户！收敛.收敛，由比较判别法，得/12%2n2Jn?+a-1故原级数绝对收敛，因此选(C)(4)【答案】(D)2 =0(x),1-e-r ~ x2 =0(x),1-cosx~【解析】因为2故atanx+b(1-cosx)~ax (a±0),cln(1-2x)+d(1-e-r)~-2cx(c+0)axa=2=原式右边，a=-4c.因此，原式左边=lim0-2cx-2c当a=0.c±0时，极限为0；当α去0.c=0时极限为0，均与题设盾，应选（D)【相关知识点】1.无穷小的比较：α(x) =1lim设在同一个极限过程中，α(x),β(x)为无穷小且存在极限β(x)(1)若10,称α(x),β(x)在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若l=1称α(x),(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为α(x)～β(x)：(3）若1=0,称在该极限过程中α(x)是β(x)的高阶无穷小,记为α(x)=o(β(x).若[lim α(不存在(不为 -0),称α(x),β(t)不可比较。β(x)2.无穷小量的性质：当x→x时，α(x),β(x)为无穷小,则α(x)~β(x)=α(x)=β(x)+o(β(x)

Born to win 2 2 2 2 2 ( 1) | | 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n a a a n  n n  −  +  + + + , (第一个不等式是由 1 2 2 0, 0, ( ) 2 a b ab a b    + 得到的.) 又 2 1 n n a  =  收敛, 2 1 1 n 2n  =  收敛,(此为 p 级数： 1 1 p n n  =  当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散.) 所以 2 2 1 1 1 2 2 n n a n  =  + 收敛,由比较判别法,得 2 1 ( 1) | | n n n a n   = − +  收敛. 故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D) 【解析】因为 2 1 2 2 1 cos ( ),1 ( ) 2 x x x o x e x o x − − = − = , 故 a x b x ax a tan (1 cos ) ( 0) + −  , 2 ln(1 2 ) (1 ) 2 ( 0) x c x d e cx c − − + − −  , 因此,原式左边 0 lim 2 x 2 2 ax a → cx c = = = = − − 原式右边, = − a c4 . 当 a c =  0, 0 时,极限为 0； 当 a c  = 0, 0 时,极限为  ,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较： 设在同一个极限过程中,  ( ), ( ) x x 为无穷小且存在极限 ( ) lim . ( ) x l x   = （1） 若 l  0, 称   ( ), ( ) x x 在该极限过程中为同阶无穷小； （2） 若 l = 1, 称   ( ), ( ) x x 在该极限过程中为等价无穷小,记为   ( ) ( ) x x ； （3） 若 l = 0, 称在该极限过程中 ( ) x 是  ( ) x 的高阶无穷小,记为   ( ) ( ) x o x = ( ) . 若 ( ) lim ( ) x x   不存在(不为  ),称   ( ), ( ) x x 不可比较. 2. 无穷小量的性质：当 0 x x → 时,  ( ), ( ) x x 为无穷小,则      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) x x x x o x  = +

凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIONBornto win(5）【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式(A)：由于(α+α)-(α,+α)+(α,+α)-(α+α)=0,所以(A)线性相关.(B)：由于(α-α)+(α-α)+(α-α)+(α-α,)=0,所以(B)线性相关对于（C)，实验几组数据不能得到0时，应立即计算由α的系数构成的行列式，即100-11100=2±0，0110001由行列式不为0，知道（C)线性无关.故应选（C)当然，在处理(C)有困难时，也可来看(D)，由(α +α)-(α, +α)+(α-α)+(α-α)=0,知(D)线性相关，于是用排除法可确定选(C)【相关知识点】α,α2""α,线性相关的充分必要条件是存在某α,(i=1,2,",s)可以由ααi-,α+,",α,线性表出α,αz,,α,线性无关的充分必要条件是任意一个α,(i=1,2,…,s)均不能由α,"αi-α,"",α,线性表出三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分，）cost?-2f’ sint?_-cost?.2tdy_dydt2t(1)【解析】=t(t>0),dt dxdt/dtdx-2tsint?X1()F=同理=2t sin 2x'元代入参数值V2元则yVyal2元V【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果u=g(x)在点x可导，而y=f(x）在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)在点x可导，且其导数为

Born to win (5)【答案】(C) 【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于 (        1 2 2 3 3 4 4 1 + − + + + − + = ) ( ) ( ) ( ) 0,所以(A)线性相关. (B)：由于 (        1 2 2 3 3 4 4 1 − + − + − + − = ) ( ) ( ) ( ) 0 ,所以(B)线性相关. 对于(C),实验几组数据不能得到 0 时,应立即计算由  的系数构成的行列式,即 1 0 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 − =  , 由行列式不为 0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由 1 2 2 3 3 4 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0         + − + + − + − = , 知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】 1 2 , , ,   s 线性相关的充分必要条件是存在某 ( 1,2, , ) i  i s = 可以由 1 1 1 , , , ,     i i s − + 线性表出. 1 2 , , ,   s 线性无关的充分必要条件是任意一个 ( 1,2, , ) i  i s = 均不能由 1 1 1 , , , ,     i i s − + 线性表出. 三、(本题共 3 小题, 每小题 5 分,满分 15 分.) (1)【解析】 dy dy dt dy dx dx dt dx dt dt =  = 2 2 2 2 2 1 cos 2 sin cos 2 2 ( 0), 2 sin t t t t t t t y t t t x t t − −   = = =   − 同理 2 ( ) 1 2 sin x t xx t y y x t t    = =  − , 代入参数值 2 t  = , 则 2 2 x t y   =  = , 2 1 2 xx t y   =  = − . 【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果 u g x = ( ) 在点 x 可导,而 y f x = ( ) 在点 u g x = ( ) 可导,则复合函数 y f g x =  ( ) 在点 x 可导,且其导数为

7跨考教育XKUAKAODCABorntowindy_dy dudy- f"(u)-g(x)或dxdu dxdx2.对积分上限的函数的求导公式：若F(t)=【f(x)dx，α(t)，B(t)均一阶可导，则F'(t)=β'(t):f[β(t)]-α(t)-f[α(t)]1In(1+ x)-=In(1-x)+=arctan x- x.(2）【解析】f(x)=XX2先求f（x）的展开式.将f(x）微分后，可得简单的展开式，再积分即得原函数的幂级数展开.所以由α(α-1) ++ α(α-1)(α-+) " (-1<x<1)(1+x)° =1+ax+2!n!该级数在端点x=±1处的收敛性，视α而定.特别地，当α=-1时，有1-1-x+x?-x+...+(-1)"x"+..(-1<x<1)1+x1-1+x+x?+x+..+x"+.,(-1<x<1)1-x￥1111111111得1f'(x)=x21+g22 1-x221+x41+x41-x1-1=2+*"-1=2"(xk1),1-x4n=0n=l积分，由牛顿-莱布尼茨公式得4n+lt4ndi =f(x)= f(O)+f'(x)dx =(xk1)台4n+1n=1(3）【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin2α=2sinα·cosα，并利用换元积分，结合拆项法求积分，得dxdx2sin x(cosx+1)sin2x+2sinxsin xdxcOS.x=1 (1-u)(1+)2sin2x(cosx+1)sinx=1-cos?x)(:1 r(1+u)+(1-u)du=dgJ-u 1+u(+)AJ(1-u)(1+u)2In|1-u|-In|1+u|+.((1+u)

Born to win ( ) ( ) dy f u g x dx =    或 dy dy du dx du dx =  . 2.对积分上限的函数的求导公式：若 ( ) ( ) ( ) ( ) t t F t f x dx   =  ,()t ,  ()t 均一阶可导,则 F t t f t t f t    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =  −          . (2)【解析】 111 ( ) ln(1 ) ln(1 ) arctan 442 f x x x x x = + − − + − . 先求 f x ( ) 的展开式.将 f x( ) 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数 展开.所以由 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 1 , 2! ! n n x x x x n        − − − + + = + + + + + ( 1 1) −  x 该级数在端点 x =1 处的收敛性,视  而定.特别地,当  =−1 时,有 1 2 3 1 ( 1) , 1 n n x x x x x = − + − + + − + + ( 1 1) −  x 1 2 3 1 , 1 n x x x x x = + + + + + + − ( 1 1) −  x 得 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 f x x x x x x  = + + − = + − + − + − + 4 4 4 0 1 1 1 1 (| | 1) 1 n n n n x x x x   = = = − = − =  −   , 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得 4 1 4 0 0 1 1 ( ) (0) ( ) (| | 1) 4 1 n x x n n n x f x f f x dx t dt x n   + = = = + = =   +     . (3)【解析】方法 1：利用三角函数的二倍角公式 sin2 2sin cos    =  ,并利用换元积分, 结合拆项法求积分,得 sin 2 2sin 2sin (cos 1) dx dx x x x x = + +   2 2 sin 1 1 cos 2sin (cos 1) 2 (1 )(1 ) xdx x u du x x u u = = − + − +   ( 2 2 sin 1 cos x x = − ) 2 2 1 (1 ) (1 ) 1 1 1 2 ( ) 4 (1 )(1 ) 8 1 1 (1 ) u u du du u u u u u + + − = − = − + + − + − + +   1 2 ln |1 | ln |1 | 8 (1 ) u u C u   = − − + + +     +

跨煮教育KUAKAnrnBornto winIn(1-cosx)-In(1+cosx)+I+cosx8其中C为任意常数方法2：换元cosx=u后，有dudxsin xdx1原式=2/ (1-u)(1+u)22sinx(cosx+1)2sinx(cosx+1)用待定系数法将被积函数分解：BDIA(1-u)(1+u)1-u1+u(1+u)2_ (A-B)u? +(2A-D)u+(A+B+D)(1-u)(1 +u)[A-B=01"D-!2A-D=0=A=B=A2A+B+D=1于是，原式)duIn|1-u|- In|1+ ul1+u(I+u)2)X132In(1-cos x)-In(1+cosx)+811+cosx四、（本题满分6分）【解析】求第二类曲面积分的基本方法：套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分，再化为二重积分，或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分，这里曲面块的个数不多，积分项也不多，某些积分取零值，如若Z垂直yO=平面，则[Pdydz=0.化为二重积分时要选择投影平面，注意利用对称性与奇偶性。先把积分化简后利用高斯公式也很方便的zdxdy方法1：注意=0，（因为S关于xy平面对称，被积函数关于z轴对称）+ y2 + 22xdydz所以I+ y2 + 22S由上下底圆及圆柱面组成.分别记为S,S2,S.S,S,与平面yOz垂直=

Born to win ( ) ( ) 1 2 ln 1 cos ln 1 cos 8 1 cos x x C x   = − − + + +     + , 其中 C 为任意常数. 方法 2：换元 cos x u = 后,有 原式 2 2 sin 1 2sin (cos 1) 2sin (cos 1) 2 (1 )(1 ) dx xdx du x x x x u u = = = − + + − +    . 用待定系数法将被积函数分解: 2 2 1 (1 )(1 ) 1 1 (1 ) A B D u u u u u = + + − + − + + 2 2 ( ) (2 ) ( ) (1 )(1 ) A B u A D u A B D u u − + − + + + = − + , 0 1 1 2 0 , 4 2 1 A B A D A B D A B D  − =   − =  = = =    + + = . 于是, 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ln 1 ln 1 8 1 1 (1 ) 8 1 du u u C u u u u   − + + = − − + + +   − + + +   原式＝  ( ) ( ) 1 2 ln 1 cos ln 1 cos 8 1 cos x x C x   = − − + + +     + . 四、(本题满分 6 分) 【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化 为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分. 这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若  垂直 yOz 平面,则 Pdydz 0  =  .化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性. 先把积分化简后利用高斯公式也很方便的. 方法 1：注意 2 2 2 2 0 S z dxdy x y z = + +  ,(因为 S 关于 xy 平面对称,被积函数关于 z 轴对称) 所以 2 2 2 S xdydz I x y z = + +  . S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为 1 2 3 S S S , , . 1 2 S S, 与平面 yOz 垂直 