2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1）曲线y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)*的拐点是（(A) (1,0).(B) (2,0) .(D)(4,0) .(C) (3,0).(2)设数列(a,)单调减少，lima,=0，S,=之。a（n=1,2）无界，则幂级数k=lZa,(x-1)"的收敛域为()n=l(D) (0,2) .(A)(-1,1].(B)[-1,1).(C) [0,2).(3)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0，f'(0)=0，则函数1z=f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（(A) f(0)>1,f"(0)>0(B) f(0)>1, f"(0)0.(D) f(0)<1, f"(0)<0 .[ Incotxdx, K=](4) 设1=[4 Insinxdx,J= [incosxdx，则I,J,K的大小关系是（(A) I<J<K.(B) I<K<J.(C) J<I<K(D) K<J<I.（5）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3C00)(100)00011P, =)行得单位矩阵，记P=1则A=（(001)(0 1 0(A) PP2.(C) PP.(D) P,P-1.(B) P-'P, .(6）设A=(α,α2,α3,α)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则Ax=0的基础解系可为（)(A) α,αg.(B) α,α2.(C) α,αz,αg.(D) αz,ag,α
2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上． (1) 曲线 2 3 4 y x x x x = − − − − ( 1)( 2) ( 3) ( 4) 的拐点是( ) (A) (1,0) ． (B) (2,0) ． (C) (3,0) ． (D) (4,0) ． (2) 设数列 an 单调减少， lim 0 n n a → = ， 1 ( 1, 2, ) n n k k S a n = = = 无界，则幂级数 1 ( 1)n n n a x = − 的收敛域为( ) (A) ( 1,1] − ． (B) [ 1,1) − ． (C) [0, 2) ． (D) (0,2] ． (3) 设函数 f x( ) 具有二阶连续导数，且 f x( ) 0 ， f (0) 0 = ，则函数 z f x f y = ( )ln ( ) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f (0) 1 ， f (0) 0 ． (B) f (0) 1 ， f (0) 0 ． (C) f (0) 1 ， f (0) 0 ． (D) f (0) 1 ， f (0) 0 ． (4) 设 4 0 I x dx ln sin = ， 4 0 J x dx ln cot = ， 4 0 K x dx ln cos = ，则 I J K , , 的大 小关系是( ) (A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 P = ， 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 P = ，则 A = ( ) (A) PP1 2 ． (B) 1 P P 1 2 − ． (C) PP2 1 ． (D) 1 PP2 1 − ． (6) 设 1 2 3 4 A = ( , , , ) 是 4 阶矩阵， * A 为 A 的伴随矩阵，若 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则 * A x = 0 的基础解系可为( ) (A) 1 3 , ． (B) 1 2 , ． (C) 1 2 3 , , ． (D) 234 , , ．
(7）设F(x)，F(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f(ax)，f(x)是连续函数，则必为概率密度的是（(A) f(x)f2(x) .(B) 2f(x)F(x) .(C) f(x)F(x).(D) f.(x)F(x)+ f(x)F(x) (8）设随机变量X与Y相互独立，且E(X)与E(Y)存在，记U=max（X,Y)V=min(X,Y)则E(UV)=()(A) E(U)·E(V) .(B) E(X)·E(Y) .(C) E(U)·E(Y).(D) E(X)·E(V) 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上，(9)曲线y=Jtantdi(0≤x≤")的弧长s=4(10）微分方程y+y=e*cosx满足条件y(0)=0的解为y=，(1) 设函数 F(x,)=J。1ax2(12）设L是柱面方程x2+y=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为道时针方向，则曲线积分q,xzdx+ xdy+兰。dz=2(13）若二次曲面的方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4，经过正交变换化为+4z=4，则a=(14)设二维随机变量（X,Y)服从正态分布N(u,μ,α2,α2;0)，则E(XY2)=三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)（本题满分10分）In(1 + x)求极限lim
(7) 设 1 F x( ) ， 2 F x( ) 为两个分布函数，其相应的概率密度 1 f x( ) ， 2 f x( ) 是连续函数， 则必为概率密度的是( ) (A) 1 2 f x f x ( ) ( ) ． (B) 2 1 2 ( ) ( ) f x F x ． (C) 1 2 f x F x ( ) ( )． (D) 1 2 2 1 f x F x f x F x ( ) ( ) ( ) ( ) + ． (8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 E X( ) 与 E Y( ) 存在，记 U X Y = max , ， V X Y = min , 则 E UV ( ) = ( ) (A) E U E V ( ) ( ) ． (B) E X E Y ( ) ( ) ． (C) E U E Y ( ) ( ) ． (D) E X E V ( ) ( ) ． 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上． (9) 曲线 0 tan (0 ) 4 = x y tdt x 的弧长 s = ． (10) 微分方程 cos x y y e x − + = 满足条件 y(0) 0 = 的解为 y = ． (11) 设函数 2 0 sin ( , ) 1 xy t F x y dt t = + ，则 2 2 0 2 x y F x = = = ． (12) 设 L 是柱面方程 2 2 x y + =1 与平面 z x y = + 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去 为逆时针方向，则曲线积分 2 L 2 y xzdx xdy dz + + = ． (13) 若二次曲面的方程 2 2 2 x y z axy xz yz + + + + + = 3 2 2 2 4 ，经过正交变换化为 2 2 1 1 y z + = 4 4 ，则 a = ． (14) 设二维随机变量 ( X Y, ) 服从正态分布 ( ) 2 2 N , ; , ;0 ，则 ( ) 2 E X Y = ． 三、解答题：15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答题纸 ．．．指定的位置上．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． (15)(本题满分 10 分) 求极限 1 1 0 ln(1 ) lim( ) x e x x x − → + ．
（16)（本题满分9分）设函数z=f(xy,yg(x)，其中函数具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=12求处取得极值g(1)=1，axoy=(17)（本题满分10分）求方程karctanx-x=0不同实根的个数，其中k为参数
(16)(本题满分 9 分) 设函数 z f xy yg x = ( , ( )) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g x( ) 可导且在 x =1 处取得极值 g(1) 1 = ，求 2 1 1 x y z x y = = ． (17)(本题满分 10 分) 求方程 k x x arctan 0 − = 不同实根的个数，其中 k 为参数．
(18)（本题满分10分）1（I）证明：对任意的正整数n，都有<ln(1+-)<-成立，n+1nn1--lnn(n=1,2,.)，证明数列(a,)收敛(I)设a,=1+-+·+-2n（19）（本题满分11分）已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(l,y)=0，f(x,1)=0，JJ f(x,)dxdy=a, 其中D=(x,y)10≤x≤1,0≤y≤1),D计算二重积分1=JJxf,(x,)dxdy0
(18)(本题满分 10 分) (Ⅰ)证明：对任意的正整数 n，都有 1 1 1 ln(1 ) n n n 1 + + 成立． (Ⅱ)设 1 1 1 ln ( 1,2, ) 2 n a n n n = + + + − = ，证明数列 an 收敛． (19)(本题满分 11 分) 已知函数 f x y ( , ) 具有二阶连续偏导数，且 f y (1, ) 0 = ， f x( ,1) 0 = ， ( , ) D f x y dxdy a = ，其中 D x y x y = ( , ) | 0 1,0 1 ， 计算二重积分 '' ( , ) xy D I xy f x y dxdy = ．
(20)（本题满分11分）设向量组α=(1,0,1)，α,=(0,1,1)，α,=(1,3,5)，不能由向量组β=(1,1,1)，β,=(1,2,3)，β,=(3,4,a)线性表示(I)求a的值；(1I）将β,β2,β,由αi,αz,α,线性表示(21)（本题满分11分）A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即r(A)=2，且A11（I）求A的特征值与特征向量：(II）求矩阵A.（22）（本题满分11分）
(20)(本题满分 11 分) 设向量组 1 2 3 (1,0,1) (0,1,1) (1,3,5) T T T = = = ， ， ，不能由向量组 1 (1,1,1)T = ， 2 (1, 2,3)T = ， 3 (3,4, )T = a 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1 2 3 , , 由 1 2 3 , , 线性表示． (21)(本题满分 11 分) A 为三阶实对称矩阵， A 的秩为 2，即 r A( ) = 2 ，且 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 A − = − ． (I) 求 A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵 A ． (22)(本题满分 11 分)
设随机变量X与Y的概率分布分别为X01P/1/32/3Y0-1P1/31/3/1/3且P(I）求二维随机变量(X,Y)的概率分布；(II）求Z=XY的概率分布；(III）求X与Y的相关系数Pxy·（23）（本题满分11分）设X,X2,,X,为来自正态总体N(）的简单随机样本，其中已知，>0未知.X和S?分别表示样本均值和样本方差(I）求参数?的最大似然估计量？：(II) 计算 E(c)和 D(α).2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 X 0 1 P 1/ 3 2 / 3 Y −1 0 1 P 1/ 3 1/ 3 1/ 3 且 2 2 P X Y = =1． (I) 求二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布； (II) 求 Z XY = 的概率分布； (III) 求 X 与 Y 的相关系数 XY ． （23）（本题满分 11 分） 设 1 2 , , , X X X n 为来自正态总体 2 0 N( , ) 的简单随机样本，其中 0 已知， 2 0 未知． X 和 2 S 分别表示样本均值和样本方差． (I) 求参数 2 的最大似然估计量 2 ； (II) 计算 2 E( ) 和 2 D( ) ． 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1）【答案】(C).【解析】记y=x-1,y=1,y"=0，y,=(x-2),=2(x-2),"=2y, =(x-3),y=3(x-3),y"=6(x-3),y4 =(x-4)*,y,= 4(x-4),y"=12(x-4),y"=(x-3)P(x)，其中P(3)±0，Jx=3=0，在x=3两侧，二阶导数符号变化，故选(C).(2）【答案】(C).【解析】观察选项：（A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在x=1处，故(A)，(B)错误；因为(a)单调减少，lima,=0，所以a,≥0，所以2α,为正项级数,将x=2代入幂级数得≥a,，而已知S.-之a.无界，故原幂级数在x=2k=lneln=l处发散，(D)不正确。当x=0时，交错级数(-1)"α,满足莱布尼茨判别法收敛，故x=0n=l时≥(-1)"α,收敛。故正确答案为(C)。n=/(3）【答案】（A）.Oz【解析】lo.0)= f(x).ln f()lo.0)= f(0)In f(0)=0,axOzf(y)ko,0) = f(x).(o,0)=F(0)=0,故f(0)=0,yf(y)a22Asl(0.0)=f"(x)-lnf(y)(o.0)="(0)-lnf(0)>0,ax2az- L(O)(o.0)= [(x),(),B :-0oy0.o0axoyf(0)0?2loo=(o-orl0o.0)= F"(0)-[I(0)Pf"(O)f(O)f(y)又 AC-B2=[f"(O)P·In f(O)>0,故 f(O)>1, f"(O)>0(4）【答案】(B).元时，【解析】因为0<x<0<sinx<cosx<1<cotx,4又因lnx是单调递增的函数，所以Insinx<lncosx<Incotx.故正确答案为(B)
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上． (1)【答案】(C)． 【解析】记 1 1 1 y x y y = − = = 1, 1, 0 ， 2 2 2 2 y x y x y = − = − = ( 2) , 2( 2), 2, 3 2 3 3 3 y x y x y x = − = − = − ( 3) , 3( 3) , 6( 3), 4 3 2 4 4 4 y x y x y x = − = − = − ( 4) , 4( 4) , 12( 4) , y x P x = − ( 3) ( ) ，其中 P(3) 0 ， 3 0 x y = = ，在 x = 3 两侧，二阶导数符号变化， 故选(C)． (2)【答案】(C)． 【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间 的中心在 x =1 处，故(A)，(B)错误；因为 an 单调减少， lim 0 n n a → = ，所以 0 n a ，所以 1 n n a = 为正项级数，将 x = 2 代入幂级数得 1 n n a = ，而已知Sn= 1 n k k a = 无界，故原幂级数在 x = 2 处发散，(D)不正确．当 x = 0 时，交错级数 1 ( 1)n n n a = − 满足莱布尼茨判别法收敛，故 x = 0 时 1 ( 1)n n n a = − 收敛．故正确答案为(C)． (3)【答案】(A)． 【解析】 (0,0) (0,0) | ( ) ln ( ) | (0)ln (0) 0 z f x f y f f x = = = , (0,0) (0,0) ( ) | ( ) | (0) 0, ( ) z f y f x f y f y = = = 故 f (0) 0 = , 2 2 (0,0) (0,0) | ( ) ln ( ) | (0) ln (0) 0, z A f x f y f f x = = = 2 2 (0,0) (0,0) ( ) [ (0)] | ( ) | 0, ( ) (0) z f y f B f x x y f y f = = = = 2 2 2 2 2 (0,0) (0,0) ( ) ( ) [ ( )] [ (0)] | ( ) | (0) (0). ( ) (0) z f y f y f y f C f x f f y f y f − = = = − = 又 2 2 AC B f f − = [ (0)] ln (0) 0, 故 f f (0) 1, (0) 0 ． (4)【答案】(B)． 【解析】因为 0 4 x 时， 0 sin cos 1 cot x x x ， 又因 ln x 是单调递增的函数，所以 lnsin lncos lncot x x x ． 故正确答案为(B)．
(5）【答案】(D)【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵B，故(100)110=B001即 AP=B,A= BP-l由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵，故(100)0 0 1B=E,(010)即P,B=E,故B=P-"=P2因此，A=P,P-"，故选(D).(6)【答案】(D).【解析】由于(1,0,1,0)是方程组Ax=0的一个基础解系，所以A(1,0,1,0)=0，且r(A)=4-1=3，即αi+α,=0，且A=0。由此可得AA=A|E=O，即Az)=O，这说明是Ax=0的解由于r(A)=3，α,+α,=0，所以α,α,α,线性无关.又由于r(A)=3，所以r(A)=1,因此Ax=0的基础解系中含有4-1=3个线性无关的解向量.而α2,α3,α4线性无关，且为Ax=0的解，所以αz,α3,α,可作为Ax=0的基础解系，故选(D).(7）【答案】(D).【解析】选项(D)[[fi(x)F,(α)+ f(x)F(α) dx = J[F(x)dF(x)+F(x)dF (x)]=J d[F(x)F,(x)]= F(x)F(x) =1.所以f,F(x)+f,F(x)为概率密度.(8）【答案】(B)，[X, X≥Y,[Y, X≥Y,【解析】因为U=max{X,Y}=V = min[X,Y] -X, X<Y.Y, X<Y,所以，UV=XY，于是E(UV)=E(XY)=E(X)E(Y)二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
(5)【答案】 (D)． 【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故 1 0 0 1 1 0 0 0 1 A B = ， 即 AP B 1 = ， 1 A BP1 − = ． 由于交换 B 的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故 1 0 0 0 0 1 0 1 0 B E = ， 即 2 P B E = , 故 1 B P P 2 2 − = = ．因此， 1 A P P2 1 − = ，故选(D)． (6)【答案】(D)． 【解析】由于 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，所以 (1,0,1,0) 0 T A = ，且 r A( ) 4 1 3 = − = ， 即 1 3 + = 0 ， 且 A = 0 ． 由此可得 * A A A E O = = | | ， 即 * 1 2 3 4 A O ( , , , ) = ，这说明 1 2 3 4 , , , 是 * A x = 0 的解． 由于 r A( ) 3 = ， 1 3 + = 0 ，所以 234 , , 线性无关．又由于 r A( ) 3 = ，所以 * r A( ) 1 = ， 因此 * A x = 0 的基础解系中含有 4 1 3 − = 个线性无关的解向量．而 234 , , 线性无关，且为 * A x = 0 的解，所以 234 , , 可作为 * A x = 0 的基础解系，故选(D)． (7)【答案】(D)． 【解析】选项(D) 1 2 2 1 f x F x f x F x dx ( ) ( ) ( ) ( ) + − + 2 2 1 1 F x dF x F x dF x ( ) ( ) ( ) ( ) + − = + 2 1 d F x F x ( ) ( ) + − = 1 2 F x F x ( ) ( ) |+ = − = 1． 所以 1 2 2 1 f F x f F x ( ) ( ) + 为概率密度． (8)【答案】(B)． 【解析】因为 , , max , , , X X Y U X Y Y X Y = = , , min , , Y X Y V X Y X X Y = = ． 所以， UV XY = ，于是 E UV E XY ( ) ( ) = = E X E Y ( ) ( ) ． 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上．
(9)【答案】In(1+2)【解析】选取x为参数，则弧微元ds=/1+(y)dx=/1+tan?xdx=secxdx sec xdx = In|sec x+tan x = In(1+ 2),所以s:(10)【答案】y=e-*sinx.【解析】由通解公式得Jecosxeld+C)y=e= e-*([ cos xdx +C)=e-*(sinx+C).由于y(O)=0,故C=0.所以y=e*sinx（11）【答案】4.aFsinxy【解析】ax"I+()y,aFycosxy-sinxy.2xy?=Uax3[1+(xy)"}a'F故ar2 ko.2)= 4.（12）【答案】元【解析】取S:x+y-z=0,x2+y≤1，取上侧，则由斯托克斯公式得，dydzdzdx dxdyaaa原式=[ydydz+ xdzdx +dxdy.axOzay2Xzx2因z=x+y,z,=1=,=1.由转换投影法得[ ydydz + xdzdx+ dxdy =( [y-(-1)+ x(-1)+ 1]dxdyx+y2s((-x-y+1)dxdy=元S
(9)【答案】 ln 1 2 ( + )． 【解析】选取 x 为参数，则弧微元 ( ) 2 2 ds y dx xdx xdx = + = + = 1 1 tan sec 所以 4 4 0 0 s xdx x x sec ln sec tan ln(1 2) = = + = + ． (10)【答案】 sin x y e x − = ． 【解析】由通解公式得 ( cos ) dx dx x y e e x e dx C − − = + ( cos ) x e xdx C − = + (sin ) x e x C − = + ． 由于 y(0) 0, = 故 C =0．所以 sin x y e x − = ． (11)【答案】4． 【解析】 2 sin 1 ( ) F xy y x xy = + ， 2 2 2 2 2 cos sin 2 [1 ( ) ] F y xy xy xy y x xy − = + ， 故 2 2 (0,2) | 4 F x = ． (12)【答案】 ． 【解析】取 2 2 S x y z x y : 0, 1 + − = + ，取上侧，则由斯托克斯公式得， 原式= 2 2 S S dydz dzdx dxdy ydydz xdzdx dxdy x y z y xz x = + + ． 因 ' ' , 1, 1. x y z x y z z = + = = 由转换投影法得 2 2 1 [ ( 1) ( 1) 1] S x y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy + + + = − + − + ． 2 2 1 ( 1) x y x y dxdy + = − − + =
dxdy=元(13）【答案】a=1.【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A的特征值，故A的特征值为0，1，4.二次型所对应的矩阵(1alα31A=1路1a由于4==0，故31=0==1[111(14)【答案】μ(+）【解析】根据题意，二维随机变量（X,Y)服从N（u,μ,α2,α2;0)：因为P=0，所以由二维正态分布的性质知随机变量X,Y独立，所以X,Y2．从而有E(XY2)=E(X)E(y2)=μ[D(Y)+E? ()]=μ(μ +α2),三、解答题：15～23小题，共94分请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15)（本题满分10分）_ In(1+x) 1In(1 +x)ex_【解析】lim[x-→0xx-12+0(x)-xIn(1+x)xxx2Or2+o(r)-12=etm-3(16)（本题满分9分)【解析】 z=J[xy,yg(x]%= [y yg(1] y+ [y yg()] g(c)ax= [ ()+[( ()+ ( g(0)() axoy+g (x). fi[xy, yg(x)]+ yg'(x) (f2[xy, yg(x)]-x + f2[xy, yg(x)lg(x)
2 2 x y 1 dxdy + = = ． (13)【答案】 a =1． 【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵 A 的 特征值，故 A 的特征值为 0，1，4．二次型所对应的矩阵 1 1 3 1 1 1 1 a A a = ， 由于 3 1 0 i i A = = = ，故 1 1 3 1 0 1 1 1 1 a a a = = ． (14)【答案】 ( ) 2 2 + ． 【解析】根据题意，二维随机变量 ( X Y, ) 服从 ( ) 2 2 N , ; , ;0 ．因为 0 xy = ，所以 由二维正态分布的性质知随机变量 X Y, 独立，所以 2 X Y, ．从而有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 E XY E X E Y D Y E Y = = + = + ． 三、解答题：15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答题纸 ．．．指定的位置上．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． (15)(本题满分 10 分) 【解析】 1 1 0 ln(1 ) lim[ ] x e x x x − → + 0 ln(1 ) 1 lim[ 1]. 1 x x x x e e → + − − = 2 0 ln(1 ) lim x x x x e → + − = 2 2 2 0 1 ( ) 2 lim x x x o x x x e → − + − = 2 2 2 0 1 ( ) 2 lim x x o x x e → − + = 1 2 e − = ． (16)(本题满分 9 分) 【解析】 z f xy yg x = , ( ) 1 2 , ( ) , ( ) ( ) z f xy yg x y f xy yg x yg x x = + 2 1 11 12 , ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) z f xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y = + + + + + g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x ( ) , ( ) ( ) [ , ( )] [ , ( )] ( ) 2 12 22 ．