1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）V1+x+Vi-x-2(1) limx2-0a2z(2)设z=f(xy)+yp(x+y),f,p具有二阶连续导数,则axoyX(3)设L为椭圆二+之=1,其周长记为a，则Φ(2xy+3x2+4y)ds=43(4）设A为n阶矩阵，A+0，A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值入，则（A）+E必有特征值及直线y=0,x=1,x=e?所围成，二维随机变量(X,Y)在(5）设平面区域D由曲线V=X区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分.）(a) 设(n)连续,则兴(x-r)dt=()dxJ(A) xf(x)(B) -xf(x2)(c) 2xf(x2)(D) -2xf(x3)()(2）函数f(x)=(x2-x-2)x3-x不可导点的个数是(D) 0(A) 3(B) 2(C) 1yAr(3）已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay+α,且当△x→0时，α是△x的1+x2高阶无穷小，y(0)=元，则(1)等于()Cei3(A)2元(B) 元(D)元e4[ab,G[是满秩的,则直线二二=岁二号=二 与直线b,（4）设矩阵。a,C2b,-b,-c2a-ab,La,Cy-b,x-a,z-C()b,-b,a,-a,C2-C1资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 1 1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 2 0 1 1 2 lim x x x → x + + − − = . (2) 设 1 z f xy y x y f ( ) ( ), , x = + + 具有二阶连续导数,则 2 z x y = . (3) 设 L 为椭圆 2 2 1, 4 3 x y + = 其周长记为 a ,则 2 2 (2 3 4 ) L xy x y ds + + = . (4) 设 A 为 n 阶矩阵, A 0 , * A 为 A 的伴随矩阵, E 为 n 阶单位矩阵.若 A 有特征值 , 则 * 2 ( ) A E+ 必有特征值 . (5) 设平面区域 D 由曲线 1 y x = 及直线 2 y x x e = = = 0, 1, 所围成,二维随机变量 ( , ) X Y 在 区域 D 上服从均匀分布,则 ( , ) X Y 关于 X 的边缘概率密度在 x = 2 处的值为 _ . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1) 设 f x( ) 连续,则 2 2 0 ( ) d x tf x t dt dx − = ( ) (A) 2 xf x( ) (B) 2 −xf x( ) (C) 2 2 ( ) xf x (D) 2 −2 ( ) xf x (2) 函数 2 3 f x x x x x ( ) ( 2) = − − − 不可导点的个数是 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数 y y x = ( ) 在任意点 x 处的增量 2 , 1 y x y x = + + 且当 →x 0 时, 是 x 的 高阶无穷小, y(0) = ,则 y(1) 等于 ( ) (A) 2 (B) (C) 4 e (D) 4 e (4) 设矩阵 111 222 333 a b c a b c a b c 是满秩的,则直线 3 3 3 1 2 1 2 1 2 x a y b z c a a b b c c − − − = = − − − 与直线 1 1 1 2 3 2 3 2 3 x a y b z c a a b b c c − − − = = − − − ( )
(B)重合(A）相交于一点(D)异面(C）平行但不重合(5)设A、B是两个随机事件,且00,P(BA)=P(BIA),则必有()(A) P(A|B)= P(A|B)(B) P(A|B)+ P(A|B)(C) P(AB)= P(A)P(B)(D) P(AB)± P(A)P(B)三、（本题满分5分）求直线L:1=在平面:x-y+2=-1=0上的投影直线L。的方程，并求11-1L.绕y轴旋转一周所成曲面的方程，四、（本题满分6分）确定常数,使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xy(x+y)i-x(x4+y）j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y)五、（本题满分6分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度V之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为p，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>O).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=(v)六、（本题满分7分）计算[ axdhd+(e+a) dad,其中为下半球面≥=-a2-x2-的上侧,a为大(x2 +y2 +2)N于零的常数.七、（本题满分6分）2元sinsin-sin元n+n求lim11n+10n+n+2Ln)八、（本题满分5分）2资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 2 (A) 相交于一点 (B) 重合 (C) 平行但不重合 (D) 异面 (5) 设 A B 、 是两个随机事件,且 0 ( ) 1, ( ) 0, ( | ) ( | ), = P A P B P B A P B A 则必有( ) (A) P A B P A B ( | ) ( | ) = (B) P A B P A B ( | ) ( | ) (C) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = (D) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) 三、(本题满分5分) 求直线 1 1 : 1 1 1 x y z L − − = = − 在平面 − + − = : 2 1 0 x y z 上的投影直线 L0 的方程,并求 L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分6分) 确定常数 ,使在右半平面 x 0 上的向量 4 2 2 4 2 A x y xy x y i x x y j ( , ) 2 ( ) ( ) = + − + 为某二元函数 u x y ( , ) 的梯度,并求 u x y ( , ) . 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y (从海平面算 起)与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在 下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m ,体积为 B ,海水比重为 ,仪器所 受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 k k( 0) .试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出 函数关系式 y = y v( ) . 六、(本题满分7分) 计算 2 1 2 2 2 2 ( ) , ( ) axdydz z a dxdy x y z + + + + 其中 为下半球面 2 2 2 z a x y = − − − 的上侧, a 为大 于零的常数. 七、(本题满分6分) 求 2 sin sin sin lim . 1 1 1 2 n n n n n n n → + ++ + + + 八、(本题满分5分)
设正项数列(a,)单调减少,且(-1)"a,发散,试问级数之(”是否收敛？并说a+ll明理由.九、（本题满分6分）设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数(1）试证存在x=(0,1)，使得在区间[0,x]上以(x)为高的矩形面积，等于在区间[x,]上以y=f(x)为曲边的梯形面积(2) 又设(s)在区间(01)内可导,且F(t)>-2(,证明(1)中的x,是唯一的:x十、(本题满分6分)已知二次曲面方程x2+ay?+2+2bxy+2xz+2yz=4，可以经过正交变换x115P-15化为椭圆柱面方程n2+4z2=4，求a.b的值和正交矩阵P十一、(本题满分4分)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A*x=0有解向量α，且Ak-α±0，证明：向量组α,Aα…,A-"α是线性无关的.十二、(本题满分5分）已知线性方程组a,+a22+.+a.2nx2n=0a21 +a22x2+..+a2.2nX2n=0,(1)amX,+an2X,+.+an,2nX2=0的一个基础解系为(b,b2,"b.2n）,(b2,ba2"bz2n）(bub2,",ba2n），试写出线性方程组3资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 3 设正项数列 an 单调减少,且 1 ( 1)n n n a = − 发散,试问级数 1 1 ( ) 1 n n n a = + 是否收敛？并说 明理由. 九、(本题满分6分) 设 y f x = ( ) 是区间 [0,1] 上的任一非负连续函数. (1) 试证存在 0 x (0,1) ,使得在区间 0, x0 上以 0 f x( ) 为高的矩形面积,等于在区间 x0 ,1 上以 y f x = ( ) 为曲边的梯形面积. (2) 又设 f x( ) 在区间 (0,1) 内可导,且 2 ( ) ( ) , f x f x x − 证明(1)中的 0 x 是唯一的. 十、(本题满分6分) 已知二次曲面方程 2 2 2 x ay z bxy xz yz + + + + + = 2 2 2 4 ,可以经过正交变换 x y P z = 化为椭圆柱面方程 2 2 + = 4 4,求 ab, 的值和正交矩阵 P . 十一、(本题满分4分) 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k ,使线性方程组 0 k A x = 有解向量 ,且 1 0 k A − , 证明：向量组 1 , , , k A A − 是线性无关的. 十二、(本题满分5分) 已知线性方程组 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0, 0, ( ) 0 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x I a x a x a x + + + = + + + = + + + = 的一个基础解系为 11 12 1,2 21 22 2,2 1 2 ,2 ( , , , ) ,( , , , ) , ,( , , , ) T T T n n n n n n b b b b b b b b b ,试写出线性 方程组
biyi+bi2y2 +...+bi2ny2n =0,b2ii+b2y2+.+b2.2my2n=0,(II)bmyi+bn2y2+...+bn.2nJ2m=0的通解，并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为0、方差为=的正态分布，求随机变量2X-Y的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体N(3.4.62）中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？121e2dt附表：标准正态分布表（2)=2元Z1.281.6451.962.33Φ(=)0.9000.9750.9900.950十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程附表：t分布表P(t(n)≤t,(n)) =pPt.(n)0.950.975n351.68962.0301361.68832.02814资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 4 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0, 0, ( ) 0 n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y II b y b y b y + + + = + + + = + + + = 的通解,并说明理由. 十三、(本题满分6分) 设两个随机变量 X Y, 相互独立,且都服从均值为0、方差为 1 2 的正态分布,求随机变量 X Y− 的方差. 十四、(本题满分4分) 从正态总体 2 N(3.4,6 ) 中抽取容量为 n 的样本,如果要求其样本均值位于区间 (1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量 n 至少应取多大？ 附表：标准正态分布表 2 2 1 ( ) 2 t z z e dt − − = z 1.28 1.645 1.96 2.33 ( )z 0.900 0.950 0.975 0.990 十五、(本题满分4分) 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩 为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成 绩为70分？并给出检验过程. 附表： t 分布表 { ( ) ( )} P t n t n p = p p ( ) p t n n 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分 15分.）1(1）【答案】4【解析】方法1：用四则运算将分子化简，再用等价无穷小替换(1+x+ /1-x-2)(V1+x+ V1-x+2)原式=limx2(/1+x+ /1-x+2)(VI+x+/1-x) -42(V1-x2 -=limJin?0→04x20 x2(V1+x+ /1-x+2)11/1-x22lim42x2方法2：采用洛必达法则.1(VI+x+VI-x-22/1+x 2/-xlim原式洛lim2xX-→(X-0(x2)-11-V1+xVi-x-/I+xVi-x2/1-x 2/1+x洛limlimlimX→04x44x/1-x2X-0t1-1lim2/1-x2/1+x47方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至x2项，/I+x =1++o (x), 1-x+0,(x2)5一XD28911+0.(x2)+12+0(x2)-21+XN从而原式=limxx→0+0 (x)+02 (x)= limx24x>0(2)【答案】yf"(xy)+p(x+y)+yp"(x+y)5资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 5 1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 1 4 − 【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换, 原式 ( )( ) ( ) 0 2 1 1 2 1 1 2 lim 1 1 2 x x x x x x x x → + + − − + + − + = + + − + ( ) ( ) 2 0 2 1 1 4 lim 1 1 2 x x x x x x → + + − − = + + − + ( ) 2 2 0 2 1 1 lim x 4 x → x − − = 2 2 2 2 0 1 1 1 2 1 1 2 lim x 2 4 x x x → x − − − − = − . 方法2：采用洛必达法则. 原式 ( ) ( ) 0 2 1 1 2 limx x x x → + + − − 洛 0 1 1 2 1 2 1 lim x 2 x x → x − + − = 0 2 1 1 lim 4 1 x x x x x → − − + = − 0 1 1 lim x 4 x x → x − − + = 0 1 1 2 1 2 1 lim x 4 x x → − − − + 洛 0 1 1 lim 2 1 2 1 1 4 4 x→ x x − − − + = = − . 方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至 2 x 项, 1+ x ( ) 2 2 1 1 1 1 2 8 = + − + x x o x , 1− x ( ) 2 2 2 1 1 1 2 8 = − − + x x o x , 从而 原式 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 8 2 8 lim x x x o x x x o x → x + − + + − − + − = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 0 1 4 lim x x o x o x → x − + + = 1 4 =− . (2)【答案】 yf xy x y y x y ( ) ( ) ( ) + + + +
【分析】因为z=f(xy)+yp(x+y).f.p具有二阶连续导数，利用混合偏导数在连续X或=的条件下与求导次序无关，先求均可，但不同的选择可能影响计算的繁简，axy方法1：先求axαa[1()+yo(x+) =-()+F(x)+y0(x+),axoxYα(1(x)+兰f(x)+ yp(x+y)axoyoy-+()+()+r()+(++)+y0(+)f(xy)+= f'(xy)+ yf"(xy)+p(x+y)+ yp"(x+ y)=yf"(xy)+p'(x+y)+yp"(x+y)方法2：先求%yα1-f(xy)+yp(x+y) f'(xy)x+p(x+y)+ yp(x+y)oyay x= f'(xy)+p(x+y)+ yp'(x+y), =yf"(xy)+@(x+y)+ yp"(x+y)方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：离[()][%((+)]axoyaxay(x[ ()x]+[v0(x+)]aax[x-α[ (] / ((+ ) =yf"(xy)+p'(x+y)+yp"(x+y)评注：本题中，f，β中的中间变量均为一元，因此本题实质上是一元复合函数的求导，只要注意到对x求导时，y视为常数；对y求导时，x视为常数就可以了(3）【答案】12a6资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 6 【分析】因为 1 z f xy y x y f ( ) ( ), , x = + + 具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续 的条件下与求导次序无关,先求 z x 或 z y 均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求 z x . 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z y f xy y x y f xy f xy y x y x x x x x = + + = − + + + , 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). z y f xy f xy y x y x y y x x y f xy x f xy f xy x x y y x y x x x f xy f xy yf xy x y y x y x x yf xy x y y x y = − + + + = − + + + + + + = − + + + + + + = + + + + 方法2：先求 z y . 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), z f xy y x y f xy x x y y x y y y x x f xy x y y x y = + + = + + + + = + + + + 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). z z f xy x y y x y x y y x x yf xy x y y x y = = + + + + = + + + + 方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些： ( ) 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). z f xy y x y x y x y x y x f xy x y x y x x y f xy y x y x y yf xy x y y x y = + + = + + = + + = + + + + 评注：本题中, f , 中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要 注意到对 x 求导时, y 视为常数；对 y 求导时, x 视为常数就可以了. (3)【答案】 12a
【解析】L关于x轴（y轴）对称，2xy关于y（关于x）为奇函数=[,2xyds=0又在L上，x?y?=1= 3x2 + 4y2 =12= ,(3x2 +4y2)ds=J,12ds =12a.43[, 2xyds+[,(3x +4y2)ds=12a因此,原式=【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分[J(x,y)ds，设f(x,y)在1上连续，如果1关于y轴对称，1为1上x≥0的部分，则有结论：[2],(x,J)ds, 于(r,J)关于x为偶函数,J,f(x,y)ds f(x,J)关于x为奇函数.0,类似地，如果/关于x轴对称，1,为l上y≥0的部分，则有结论：[2],(x,J)ds,(x,)关于y为偶函数[,(x,y)ds =0,f(x,J)关于y为奇函数(4）【答案】【解析】方法1：设A的对应于特征值入的特征向量为，由特征向量的定义有AE=NE,(≤±0).由A0，知入±0（如果0是A的特征值A=0），将上式两端左乘A得AAE-AS-ANE-NAEA5-A从而有，（即A"的特征值为as,L将此式两端左乘A',得(4)5-445()+15.故(4)+E的特征值为又 E5=5,所以(4) +E)5=27资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 7 【解析】 L 关于 x 轴( y 轴)对称, 2xy 关于 y (关于 x )为奇函数 2 0 L = xyds . 又在 L 上, 2 2 2 2 2 2 1 3 4 12 (3 4 ) 12 12 . 4 3 L L x y + = + = + = = x y x y ds ds a 因此, 原式 2 2 2 (3 4 ) 12 L L = + + = xyds x y ds a . 【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分 ( , ) l f x y ds ,设 f x y ( , ) 在 l 上连续,如果 l 关于 y 轴对称, 1 l 为 l 上 x 0 的部分,则有结论： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , , 0 , l l f x y ds f x y x f x y ds f x y x = 关于 为偶函数, ， 关于 为奇函数. 类似地,如果 l 关于 x 轴对称, 2 l 为 l 上 y 0 的部分,则有结论： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , , , 0 , l l f x y ds f x y y f x y ds f x y y = 关于 为偶函数, ， 关于 为奇函数. (4)【答案】 2 1 A + 【解析】方法1：设 A 的对应于特征值 的特征向量为 ,由特征向量的定义有 A = , ( 0) . 由 A 0 ,知 0 (如果0是 A 的特征值 = A 0 ),将上式两端左乘 A ,得 A A A A A = = = , 从而有 * , A A = (即 A 的特征值为 A ). 将此式两端左乘 A ,得 ( ) 2 2 * * A A A A = = . 又 E = ,所以 (( ) ) 2 2 * 1 A A E + = + ,故 * 2 ( ) A E+ 的特征值为 2 1 A +
方法2：由A±0，A的特征值入±0（如果0是A的特征值A=0），则A-有特征值2AAA*的特征值为（A）+E的特征值为+12【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵，若存在数入及非零的n维列向量X使得AX=X成立，则称入是矩阵A的特征值，称非零向量X是矩阵A的特征向量.由为A的特征值可知，存在非零向量α使Aα=α，两端左乘A-，得α=A-α1I因为α0，故±0，于是有A"α=一是A-的特征值-α.按特征值定义知二1若AX=AX，则（A+kE)X=AX+kX=(a+k)X.即若是A的特征值，则A+kE的特征值是入+k2.矩阵A可逆的充要条件是A+0，且A-!A(5）【答案】！4【解析】首先求(X,Y)的联合概率密度f(x,y)1D=/(x,y)l1≤x≤e,0≤y≤dx=l区域D的面积为S,=Xe? x012[1(x,y)eD,2f(x,y)=o,其他.其次求关于X的边缘概率密度，当xe时，fx(α)=0：Sdy=当1<xe时, fx(x)= f(x, )dy=」2故Jr(2)=14二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分.）(1）【答案】（A)【解析】为变限所定义的函数求导数，作积分变量代换u=x?-?8资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 8 O 1 2 方法2：由 A 0 , A 的特征值 0 (如果0是 A 的特征值 = A 0 ),则 1 A − 有特征值 1 , A 的特征值为 A ； * 2 ( ) A E+ 的特征值为 2 1 A + . 【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是 n 阶矩阵,若存在数 及非零的 n 维列向量 X 使得 AX X = 成立,则称 是矩阵 A 的特征值,称非零向量 X 是矩阵 A 的 特征向量. 由 为 A 的特征值可知,存在非零向量 使 A = ,两端左乘 1 A − ,得 1 A − = . 因为 0,故 0,于是有 1 1 A − = .按特征值定义知 1 是 1 A − 的特征值. 若 AX X = ,则 ( ) ( ) A kE X AX kX k X + = + = + .即若 是 A 的特征值,则 A kE + 的特征值是 +k . 2.矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ,且 1 1 A A A − = . (5)【答案】 1 4 【解析】首先求 ( , ) X Y 的联合概率密度 f x y ( , ) . 2 1 D x y x e y ( , ) |1 ,0 x = , 区域 D 的面积为 2 2 1 1 1 ln 2. e e D S dx x x = = = 1 , ( , ) , ( , ) 2 0, x y D f x y = 其他. 其次求关于 X 的边缘概率密度. 当 x 1 或 2 x e 时, ( ) 0 X f x = ； 当 2 1 x e 时, 1 0 1 1 ( ) ( , ) 2 2 x X f x f x y dy dy x + − = = = . 故 1 (2) . 4 X f = 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A) 【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换 2 2 u x t = −
t:0→x=u:x2→0, du=d(x2-)=-2tdt=dt =du2tTr(--o(-)a:-I-(du= (n,x- --m7(x) () -→(x),2x=x(x),选(A)【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若F(U)=[(" f(x)dx,α(t),β(t)均一阶可导, 则 F(t)=β(t)-J[β(t)]-α(t)· f[α(t)] (2）【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“尖点”，因为这时的函数是分段函数。f(x)=(x2-x-2)xx2-1，当x±0,±1时f(x)可导，因而只需在x=0,±1处考察f(x)是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数((x2 -x-2)x(1-x2), x<-1(x2-x-2)x(x2-1),-1≤x<0由f(x)=(x2-x-2)x(1-x), 0≤x<1,(x2 -x-2)x(x2 -1), 1≤x,f(x)-f(-1) (c° -x-2)x(1-)-0 = 0. limf(-1) = lim :=x+1x+1f(x)-f(-1)(2 -x-2)x(1-x)-0 =0,limJ*(-1)= limx+1x+1即f(x)在x=-1处可导.又(x)-f(o0)(2 -x-2)x(x2 -1)-0 = 2,f(O)= lim :limx?0x→0f(x)-f(0)( -x-2)x(1-x)-0 =-2 ,f(0)= lim :limxr~0xr-0所以f(x）在x=0处不可导9资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 9 2 t x u x : 0 : 0 → → , ( ) 2 2 du d x t tdt = − = −2 1 2 dt du t = − , 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) , 2 2 x x x x tf x t dt u x t tf u dt t f u du f u du − = − − = − = ( ) 2 2 2 0 0 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 2 ( ), 2 2 d d x x tf x t dt f u du dx dx f x x f x x xf x − = = = = 选(A). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若 ( ) ( ) ( ) ( ) t t F t f x dx = ,()t , ()t 均一阶 可导,则 F t t f t t f t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − . (2)【答案】(B) 【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是 分段函数. 2 2 f x x x x x ( ) ( 2) 1 = − − − ,当 x 0, 1 时 f x( ) 可导,因而只需在 x = 0, 1 处 考察 f x( ) 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数. 由 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) (1 ), 1, ( 2) ( 1), 1 0, ( ) ( 2) (1 ), 0 1, ( 2) ( 1), 1 , x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x − − − − − − − − = − − − − − − ( ) ( ) 2 2 1 1 1 ( 2) (1 ) 0 ( 1) lim lim 0 x x 1 1 f x f x x x x f x x − →− →− − − − − − − − − − = = = + + , ( ) ( ) 2 2 1 1 1 ( 2) (1 ) 0 ( 1) lim lim 0 x x 1 1 f x f x x x x f x x + →− →− + + − − − − − − − = = = + + , 即 f x( ) 在 x =−1 处可导.又 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 ( 2) ( 1) 0 (0) lim lim 2 x x f x f x x x x f x x − → → − − − − − − − = = = , ( ) ( ) 2 2 0 0 0 ( 2) (1 ) 0 (0) lim lim 2 x x f x f x x x x f x x + → → + + − − − − − = = = − , 所以 f x( ) 在 x = 0 处不可导
类似，函数f(x)在x=1处亦不可导.因此f(x）只有2个不可导点，故应选(B)，评注：本题也可利用下列结论进行判断设函数f(x)=x-αp(x),其中p(x)在x=a处连续,则f(x)在x=a处可导的充要条件是β(a)=0.(3）【答案】(D)yAr+α,有yα【解析】由Ay=1+ x2Ax1+x2AxQ=0,令Ax→0,得α是△x的高阶无穷小，则limAr-0 AxAyyαyyQ= limlimlim+limAr-→0 △xAr→0(1+ x2Ax)4r→01+x24r-0△x1+x2dyy即dx1+x2dxdy分离变量,得1+x2y两边积分，得lny=arctanx+C，即y=C,earctanx代入初始条件y(0)=元，得y(0)=Ceartano=C=元.所以，y=元earctanxy(I) = π eirctanx,= 元eactanl = 元e故【相关知识点】无穷小的比较：α(x)=1,lim设在同一个极限过程中，α(x)β(x)为无穷小且存在极限β(x)(1）若1+0,称α(x),β(x)在该极限过程中为同阶无穷小；(2）若1=1,称α(x),β(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为α(x)~β(x)：(3）若1=0,称在该极限过程中α(x)是β(x)的高阶无穷小,记为α(x)=o(β(x))α(x)若lim不存在(不为),称α(x),β(x)不可比较β(x)(4）【答案】（A)---,L:---,题设矩阵【解析】设L：a-azb-b,az-ab,-bC-CC-C210资料搜集QQ1836989006微信1836989006
资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 10 类似,函数 f x( ) 在 x =1 处亦不可导.因此 f x( ) 只有2个不可导点,故应选(B). 评注：本题也可利用下列结论进行判断： 设函数 f x x a x ( ) ( ) = − ,其中 ( ) x 在 x a = 处连续,则 f x( ) 在 x a = 处可导的充要 条件是 ( ) 0 a = . (3)【答案】(D) 【解析】由 2 , 1 y x y x = + + 有 2 . 1 y y x x x = + + 令 →x 0, 得 是 x 的高阶无穷小,则 0 lim 0 x x → = , 0 lim x y → x 2 0 lim x 1 y x x → = + + 2 0 0 lim lim x x 1 y x x → → = + + 2 1 y x = + 即 2 1 dy y dx x = + . 分离变量,得 2 , 1 dy dx y x = + 两边积分,得 ln arctan y x C = + ,即 arctan 1 . x y C e = 代入初始条件 y(0) , = 得 ( ) arctan0 1 1 y C e C 0 . = = = 所以, arctan x y e = . 故 arctan 1 (1) x x y e = = arctan1 = e 4 e . = 【相关知识点】无穷小的比较： 设在同一个极限过程中, ( ), ( ) x x 为无穷小且存在极限 ( ) lim ( ) x l x = , (1) 若 l 0, 称 ( ), ( ) x x 在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若 l = 1, 称 ( ), ( ) x x 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ( ) ( ) x x ； (3) 若 l = 0, 称在该极限过程中 ( ) x 是 ( ) x 的高阶无穷小,记为 ( ) ( ) x o x = ( ) . 若 ( ) lim ( ) x x 不存在(不为 ),称 ( ), ( ) x x 不可比较. (4)【答案】(A) 【解析】设 3 3 3 1 1 2 1 2 1 2 : x a y b z c L a a b b c c − − − = = − − − , 1 1 1 2 2 3 2 3 2 3 : x a y b z c L a a b b c c − − − = = − − − ,题设矩阵