教学建议学习目标第四章积分及其应用$4.1定积分的概念与性质84.2不定积分的概念与性质84.3禾积分的基本公式$ 4.4换元积分法$ 4.55分部积分法S4.6无限区间上的反常积分84.7积分学的应用
§4.1 定积分的概念与性质 §4.3 积分的基本公式 第四章 积分及其应用 §4.4 换元积分法 §4.2 不定积分的概念与性质 §4.5 分部积分法 §4.6 无限区间上的反常积分 §4.7 积分学的应用 教学建议 学习目标
$ 4.3积分的基本公式一．不定积分的基本公式二．定积分的基本公式
一. 不定积分的基本公式 §4.3 积分的基本公式 二. 定积分的基本公式
一.不定积分的基本公式如下不定积根据导数为求积分可推得分的基本积基本公式必须掌握！分公式：Odx = Cα+1+C(α±-l)11力α+1dx = lnx+ Cdx+C(a>0,a±l)In a*dx=e*+C6sin xdx =-cosx +C8tan xdx = -lncos x + Ccos xdx = sin x +C
一 . 不定积分的基本公式 如下不定积 分的基本积 分公式: 根据导数 基本公式 为求积分, 可推得 必须掌握!!! x = C 1. 0d ( 1) 1 1 2. d 1 + − + = + x x x C x x C x = + d ln 1 3. ( 0, 1) ln 4. d = + C a a a a a x x x x C x x = + 5. e d e x x = − x +C 6. sin d cos x x = x + C 7. cos d sin x x = − x +C 8. tan d ln cos
Ccot xdx = In sin x + C记住这10sec xdx = In sec x + tan x+ C些公式11+0csc xdx = lncsc x - cot xsec? xdx = tan x +C12以上积分公式均可通过等式右13csc xdx = -cot x +端求导数,结果是左端的被积函数来验证其成立14.sec x · tan xdx = sec x + C15csc x · cot xdx =-cscx +1
x x = x +C 12. sec d tan 2 x x = − x +C 13. csc d cot 2 x x = x + x +C 10. sec d ln sec tan x x = x − x +C 11. csc d ln csc cot 记住这 些公式 x x x = x + C 14. sec tan d sec x x x = − x +C 15. csc cot d csc 以上积分公式 均可通过等式右 端求导数,结果是 左端的被积函数 来验证其成立. x x = x +C 9. cot d ln sin
分的运算性质直接8tan xdx = - n|cos x + C便可求得一些积分10sec xdx = In sec x + tan x + C练习1由不定积分的运算性质求下列不定积分： [(2 tan x +3sec x)dx1)(2 tan x + 3sec x)dx =2)tan x dx + 3/ sec x dx解(1)天-2 In|cos x| + 3 In|sec x + tan x| + C.由不定积分的基本积分公式
练习1 求下列不定积分: (2 tan x + 3sec x)dx ; (1) 解(1) 由不定积分的运算性质 由不定积分的基本积分公式 (2 tan x + 3sec x)dx 2 tan x dx 3 sec x dx = + 直接 积分 直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质, 有时须先将被积函数进行恒等变形,便可求得一些 函数的不定积分. = −2ln cos x +3ln sec x + tan x +C. x x = − x +C 8. tan d ln cos x x = x + x +C 10. sec d ln sec tan
求下列不定积分:(2)[(/-2)2练习1dx,3X解(2)3/x-4/x+4原式=dx3/x由不定积分11的运算性质[(1-4x+4x3)dx11[dx-4[x6dx+4[x3 dx2524r61+6x3 +C= x5
练习1 求下列不定积分: (2) d ; ( 2) 3 6 2 x x x − 解(2) 由不定积分 的运算性质 原式= (1 4x 4x )dx 3 1 6 1 − − = − + x x x x d 4 4 3 3 6 − + dx 4 x dx 4 x dx 3 1 6 1 − − = − + 6 . 5 24 3 2 6 5 = x − x + x + C
练习1求下列不定积分：(3)I tan? x dx;1 + tan* x = sec-X11.sec? xdx = tan x + C解(3)tan? x dx((sec2 x -1)dx= tan x - x + C.2.kdx = kx+(由不定积分的运算性质和基本积分公式
练习1 求下列不定积分: 解(3) 由不定积分的运算 性质和基本积分公式 x x 2 2 1+ tan = sec tan x dx 2 (3) tan d ; 2 x x (sec x 1)dx 2 = − = tan x− x+C. x x = x +C 11. sec d tan 2 k x = k x+C 2. d
练习1求下列不定积分：11.sec? xdx = tan x +C1 = sin2x+cos? x 12.csc2 xdx = -cot x +Csin" x + cos’ Xdxdx解(4)sin? x cos? xsin? xcos? x=/(cos xdxsin由不定积分的运算X性质和基本积分公式= [ (sec2 x + csc2 x)dx= tan x -cot x + C
练习1 求下列不定积分: 解(4) 由不定积分的运算 性质和基本积分公式 x x 2 2 1= sin + cos (4) d . sin cos 1 2 2 x x x x x x d sin cos 1 2 2 x x x x x d sin cos sin cos 2 2 2 2 + = x x x )d sin 1 cos 1 ( = 2 + 2 = (sec x + csc x)dx 2 2 = tan x−cot x+C. x x = x +C 11. sec d tan 2 x x = − x +C 12. csc d cot 2
定积分的基本公式n6Z.f(5)Ax;f(x)dx = lim由定积分定义知△r-→0i=1但这种方法只能求出极少数函数的定积分,而且对于不同的被积函数要用不同的技巧.因此,这种方法远不能解决定积分的计算问题这单通过揭示导数与定积分的关系，引出计算定积分的基本公式：牛顿一一莱布尼茨公式把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题
但这种方法只能求出极少数函数的定积分,而且对于不同 的被积函数要用不同的技巧.因此,这种方法远不能解决定积分 的计算问题. f x x b a ( )d lim ( ) . 1 0 = → = n i i i x f x 这里通过揭示导数与定积分的关系,引出计算定积分的基本 公式: 把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题. 牛顿——莱布尼茨公式 二. 定积分的基本公式
牛顿一一莱布尼茨公式定理（微积分基本公式）若函数f(x)在闭区间[a,b] 上连续,记住！！！F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则6f(x)dx = F(b) - F(a)6表示F(b)-F(a),即通常以F(x)ahf (x)dx = F(x)l= F(b) - F(a)a
牛顿——莱布尼茨公式 定理(微积分基本公式) 若函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续, F(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数,则 f (x)dx F(b) F(a). b a = − a b 通常以 F(x) 表示 F(b) − F(a), 即 ( )d ( ) F(b) F(a). a b f x x F x b a = = − 记住!!!