教学建议学习目标第五章多元函数微分学偏导数$ 5.185.2二元函数的极值s5.3条件极值
§ 5.1 偏导数 § 5.2 二元函数的极值 § 5.3 条件极值 教学建议 学习目标 第五章 多元函数微分学
S5.2二元函数的极值一.二元函数的极值二.最大值与最小值的应用问题三.最小二乘法
一. 二元函数的极值 二. 最大值与最小值的应用问题 三. 最小二乘法 §5.2 二元函数的极值
一，二元函数的极值1.极值设函数z=f(x,y)在点P(xo,yo)及其邻近有定义,的定义P(x,y)是其中异于P(xo,yo)的任意一点:(1)若有f (x,y) f(xo,yo),则称P(xo,yo)是函数f (x,y)的极小值点,称f(xo,yo)是函数f(x,y)的极小值.函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点：函数的极大值与极小值统称为函数的极值
一 . 二元函数的极值 1. 极值 的定义 (1)若有 ( , ) ( , ), 0 0 f x y f x y 设函数 在点 及其邻近有定义, 是其中异于 的任意一点: z = f (x, y) P(x, y) ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) 0 0 0 P x y 则称 P0 (x0 , y0 ) 是函数 f (x, y) 的极大值点,称 ( , ) 是函数 的极大值. 0 0 f x y f (x, y) (2)若有 ( , ) ( , ), 0 0 f x y f x y 则称 P0 (x0 , y0 ) 是函数 f (x, y) 的极小值点,称 ( , ) 是函数 的极小值. 0 0 f x y f (x, y) 函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点; 函数的极大值与极小值统称为函数的极值
对函数z=f(x,y)=/1-x2-y2,点(0,0)例如是其极大值点,f(0,0)=1是极大值.这是因为在点(0,0)及其邻近,对异于点(0,0)的任意一点(x,y),都有f(x,y) f(0,0)=0, (x,y)(0,0)
例如 对函数 ( , ) 1 , 2 2 z= f x y = −x −y 是其极大值点, 点 (0,0) 1 是极大值. f (0,0)= 这是因为在点 及其邻近,对异于点 的任意一 点 ,都有 (0,0) (0,0) (x, y) f (x, y) f (0,0)=1, (x, y)(0,0). 又如 是其极小值点, 对函数 ( , ) , 2 2 f x y =x + y 点 (0,0) f (0,0)=0 是其极小值. 这是因为在点 及其邻近,除原点 以外的函数值均为正: (0,0) (0,0) f (x, y) f (0,0)=0, (x, y)(0,0).O y z 1 x
2.极值极值存在的必要条件的求法是极值点，则若函数f(x,J)在点P(xo,Jo)偏导数存在且 Pf(xo,o)=0, f(xo,yo)=0.通常把满足条件f(xo,Jo)=0, f,(xo,yo)=O的点 P(xo,)称为函数f(x,y)的驻点.若函数f(x,J)存在偏导数,则函数的极值只能在驻注意点取得.但驻点并不都是极值点.例如,函数z= f(x,y)=-x2+y2,点(0,0)是其驻点,且f(0,0)=0.但点(0,0)不是极值点.因为在点(O,)的邻近,当x时,函数f(x,J)取负值
2. 极值 的求法 极值存在的必要条件 若函数 f (x, y) 在点 ( , ) 偏导数存在且 0 0 0 P x y P0 是极值点,则 ( , ) 0, f x x0 y0 = ( , ) 0. f y x0 y0 = 通常把满足条件 的点 称为函数 的驻点. ( , ) 0, f x x0 y0 = ( , ) 0 f y x0 y0 = ( , ) 0 0 0 P x y f (x, y) 注意 ( , ) , 2 2 z= f x y =−x + y 若函数 存在偏导数,则函数的极值只能在驻 点取得.但驻点并不都是极值点. f (x, y) 例如,函数 点 (0,0) 是其驻点,且 0) 0 .但点 不是极值点. f (0, = (0,0) 因为在点 (0,0) 的邻近, 当 x y 时,函数 f (x, y) 取正值, 当 x y 时,函数f (x, y) 取负值
极值存在的充分条件若函数f(x,J)在点P(xo,y)及其邻近具有一阶和二阶连续偏导数,且满足f(xo,y)=0, f(xo,yo)=0记 A=fu(xo,yo), B= f,(xo,yo), C= f,(Xo, yo)(1)当 B2-AC0(或C>O),则点 P(xo,%)是函数f(x,y)的极小值点;(2)当 B2-AC>0时,点P(xo,J)不是函数f(x,y)的极值点;(3)当 B2-AC=0时,不能判定点P(xo,Jo)是否为函数f (x,y)的极值点
极值存在的充分条件 若函数 在点 及其邻近具有一阶和二阶连 续偏导数,且满足 f (x, y) ( , ) 0 0 0 P x y 记 ( , ), 0 0 A f x y = xx ( , ), 0 0 B f x y = xy ( , ). 0 0 C f x y = yy (1) 当 0 时,点 是函数的极值点: 2 B −AC ( , ) 0 0 0 P x y (i) 若 A 0 (或 C0 ),则点 ( , ) 是函数 的极大值点; 0 0 0 P x y f (x, y) (ii) 若 A0 (或 C0 ),则点 ( , ) 是函数 的极小值点; 0 0 0 P x y f (x, y) (2) 当 0 时,点 不是函数 的极值点; 2 B −AC ( , ) 0 0 0 P x y f (x, y) (3) 当 时,不能判定点 是否为函数 的极值点. 0 2 B −AC= ( , ) 0 0 0 P x y f (x, y) ( , ) 0, f x x0 y0 = ( , ) 0. f y x0 y0 =
求二元函数文f(x,y)极值的程序(1)确定驻点：求(2)算出A、B、(3)判定:按 B2-AC二元函数f (x,y)C的值:的符号判定驻点是否的偏导数,解方程组为极值点；求f(x,y) 的二[f(x,y)=0若是,再按A(或C)的阶偏导数,并计算,(x,y)=0符号判定是极大值点其在驻点处A确定函数的全还是极小值点B、C的值;部驻点；(4)求出函数f(x,y)的极值
(4) 求出函数 的极值. f (x, y) 求二元函数 f (x, y) 极值的程序 (1)确定驻点: 求 二元函数 的偏导数,解方程组 f (x, y) (2)算出 、 、 的值: A B C 求 的二 阶偏导数,并计算 其在驻点处 、 、 的值； f (x, y) A B C 为极值点; (3)判定: 按 B2 − AC 的符号判定驻点是否 若是,再按 (或 )的 符号判定是极大值点 还是极小值点. A C = = ( , ) 0. ( , ) 0, f x y f x y y x 确定函数的全 部驻点;
练习1 求函数f(x,y)=y3—x2+6x-12y+5的极值.解(1)求函数的偏导数,并解方程组确定驻点.由f(x,Jy)=-2x+6=0,得驻点(3,2)和(3,-2)J(x,J)=3y2-12=0.(2)算出二阶偏导数在驻点的值．因fu(x,y)=-2, f(x,y)=0, Jy(x,y)=6y.对于点(3,2): A=fx(3,2)=-2, B= fx(3,2)=0C= fu(3,2)=6.对于点(3,-2):A=f(3,-2)=-2, B=f,(3,-2)=0C= fw(3,-2)=-6
练习1 解 (1)求函数的偏导数,并解方程组确定驻点. 求函数 ( , ) 6 12 5 3 2 f x y = y −x + x− y+ 的极值. 由 = − = =− + = ( , ) 3 12 0. ( , ) 2 6 0, 2 f x y y f x y x y x 得驻点 (3,2) 和 (3,−2). (2) 算出二阶偏导数在驻点的值. 因 f (x, y)=−2, xx f (x, y)=0, xy f (x, y) 6y. yy = 对于点 (3,2): = (3,2)=−2, xx A f = (3,2)=0, xy B f = (3,2)=6. yy C f 对于点 (3,−2): = (3,−2)=−2, xx A f = (3,−2)=0, xy B f = (3,−2)=−6. yy C f
练习1 求函数f(x,J)=y3-x2+6x-12y+5的极值.解 对于点(3,2):A=fx(3,2)=-2, B= fx(3,2)=0C= f,(3,2)=6.对于点(3,-2):A= fr(3,-2)=-2, B= f,(3,-2)=0,C= fw(3,-2)=-6.(3)判定驻点是否为极值点：在点(3,2)处,由于 B2AC>0, 故点(3,2)不是极值点在点(3,-2)处,由于B2-AC<0,且 A<0, 故点(3,-2)是极大值点.极大值为f(3,-2)=(-2)3-32 +6x3-12x(-2)+5=30
练习1 解 求函数 ( , ) 6 12 5 3 2 f x y = y −x + x− y+ 的极值. 对于点 (3,2): = (3,2)=−2, xx A f = (3,2)=0, xy B f = (3,2)=6. yy C f 对于点 (3,−2): = (3,−2)=−2, xx A f = (3,−2)=0, xy B f = (3,−2)=−6. yy C f (3) 判定驻点是否为极值点: 在点 (3,2) 处,由于 0, 2 B −AC 故点 (3,2) 不是极值点. 在点 (3,−2) 处,由于 0, 2 B −AC 且 A0, 是极大值点. 故点 (3,−2) (3, 2) ( 2) 3 6 3 12 ( 2) 5 30. 3 2 f − = − − + − − + = 极大值为
二.最大值与最小值的应用问题要做一个容积为V的长方体箱子,问怎样进案例1才能使所用材料最少？利用函数的极值可以求函数的最大值.M月：对于实际应用问题,若已经知道或能够判定函数在其定分析义域D的内部确实有最大(或最小)值,此时,若在D内,函数1只有一个驻点,就可以断定,该驻点的函数值就是函数在区域D上的最大(或最小)值。解箱子的容积一定,而使所用材料最少,这就是使箱子的表面积A最小.设箱子的长为X,宽为V,高为Z．依题设V=xyz则FN于是，箱子的表面积V2A=2(xy+ yz+ zx)=2(xy+x(x >0,y>0)
案例1 二.最大值与最小值的应用问题 要做一个容积为 V 的长方体箱子,问怎样选择尺寸, 才能使所用材料最少? 分析 利用函数的极值可以求函数的最大值与最小值. 对于实际应用问题,若已经知道或能够判定函数在其定 的内部确实有最大(或最小)值,此时,若在 只有一个驻点,就可以断定,该驻点的函数值就是函数在区域 上的最大(或最小)值. 义域 D D 内,函数 D 解 箱子的容积一定,而使所用材料最少,这就是使箱子的 设箱子的长为 x ,宽为 y ,高为 z. 依题设 V = xyz, 则 . xy V z = 于是,箱子的表面积 2( ) 2( ), y V x V A= x y+ yz+zx = x y+ + 表面积 A 最小. (x 0, y 0) x y z