《经济应用数学》课程教学资源（PPT课件）第六章 矩阵与线性方程组 6.2 矩阵运算

教学建议学习目标第六章矩阵与线性方程组86.1矩阵的概念$6.2矩阵运算86.3矩阵的初等行变换与矩阵的秩S6.4线性方程组的消元解法

§ 6.1 矩阵的概念 § 6.2 矩阵运算 § 6.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 教学建议 学习目标 第六章 矩阵与线性方程组 § 6.4 线性方程组的消元解法

$ 6.2矩阵运算一.矩阵的加法二.数乘矩阵三.矩阵的乘法

一. 矩阵的加法 二. 数乘矩阵 §6.2 矩阵运算 三. 矩阵的乘法

矩阵的加法一.某种物资(单位：t)从三个产地运往四个城市销售案例12013年第一、第二季度的供应方案分别由矩阵同型矩阵A和矩阵B给定：250250200175300200200250250175350150300300250250，B1200300450200300300180220问这两个季度三个产地运往四个城市的供应量各是多少？b,表示第二α23 表示第一矩阵A的矩阵B的季度由第二个季度由第二个元记作αij元记作b产地运往第个产地运往第个城市的供应量城市的供应量(未完待续)

一 . 矩阵的加法 案 例 1 某种物资(单位:t)从三个产地运往四个城市销售, 2013年第一、第二季度的供应方案分别由矩阵 A和矩阵B给定: , 200 300 450 220 250 300 350 250 300 200 250 200           A= . 200 300 300 180 300 250 175 150 250 175 200 250           B= 问这两个季度三个产地运往四个城市的供应量各是多少? 矩阵A的 元记作 i j a 矩阵B的 元记作 i j b 同型矩阵 表示第一 季度由第二个 产地运往第个 城市的供应量 23 a 表示第二 季度由第二个 产地运往第个 城市的供应量 23 b (未完待续)

案例1分析300200200250250250175200350250300250175250150300A=B相加200200300450220300180300表示两个季度第二个产地az3 + b,, = 350 +175运往第三个城市的供应量因此,矩阵A与矩阵B对应位置的元相加,即用矩阵(完)200 +250)300 + 250200±175250+200=A+B250 +300300+250350 +175250 +150200 + 200300+300450+300220 +180便可以表示三个产地两个季度（第一和第二季度）运往四个城市的供应量情况

因此,矩阵A与矩阵B对应位置的元相加,即用矩阵 . 200 300 300 180 300 250 175 150 250 175 200 250           B= 相加 表示两个季度第二个产地 a23 + b23 = 350 +175 运往第三个城市的供应量           + + + + + + + + + + + + = 200 200 300 300 450 300 220 180 250 300 300 250 350 175 250 150 300 250 200 175 250 200 200 250 C 便可以表示三个产地两个季度(第一和 第二季度)运往四个城市的供应量情况. =A+B 案例1 分析 , 200 300 450 220 250 300 350 250 300 200 250 200           A= (完)

设有两个mXn矩阵矩阵的加法hi..bbia同型矩阵aa12ainba2.dana21a222nB=(ba.am2amn/mXnmlm2mn/mXnml将它们的对应元相加所得到的mXn矩阵,称为矩阵A与矩阵B的和,记作A+Bain +b,ai + b.tα12 +b121即a21 +b2122 +b22+h2A+B=+b+bahaam2mlmlm2mnmn

矩阵的加法 设有两个m×n矩阵 B ( ) i j = b m×n , 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1                      = m m mn n n b b b b b b b b b 将它们的对应元相加所得到的m×n矩阵,称为矩阵A与矩阵B 的和,记作A+B. . 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1               + +  +     + +  + + +  + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A ( ) i j = a m×n , 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1                      = m m mn n n a a a a a a a a a A+B 即 同型矩阵

练习1 已知两个2×3矩阵2-3352B=A=62A(3+22+55-5+(-3)则A+B =2+64+1 7+(-7)5885

练习1 A 则 A+B 已知两个2×3矩阵 , 2 4 7 3 2 5         − = B , 6 1 7 2 5 3         − − =         + + + − + + − + − = 2 6 4 1 7 ( 7) 3 2 2 5 5 ( 3) . 8 5 0 5 7 8         − =

矩阵加法具有性质：设矩阵A、B、C和O是同型矩阵由于两个矩阵相加就是矩阵的对应元相加，由数字相加所具有的性质可直接验证矩阵加法具有下述性质！(1)交换律A+B=B+A;(2)结合律（A+B)+C=A+(B+C);(3) A+0=A

矩阵加法 具有性质: 相加所具有的性质可直接验证矩阵加法具有下述性质: 设矩阵A、B、C和O是同型矩阵, 由于两个矩阵相加就是矩阵的对应元相加,由数字 (1)交换律 A + B = B + A ; (2)结合律 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ; (3) A + O = A

负矩阵mXn中的各元变号,则得到矩阵若把矩阵A=)mXn称为矩阵A的负矩阵，记作一A,即若a则 -A=(-αd21a12A:a/2022a2)2naaa二m2mlmnaam2mmn

负矩阵 若把矩阵 中的各元变号,则得到矩阵 记作－A,即若 A ( ) i j = a m×n ( ) i j −a m×n 称为矩阵A的负矩阵, A , 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1                      = m m mn n n a a a a a a a a a -A ( ) i j = −a m×n . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               − −  −     − −  − − −  − = m m m n n n a a a a a a a a a 则

设甲、乙两个蔬菜基地分别向I、五、三个城市练习2供应蔬菜(单位:t)，若全年的供应情况用矩阵A表示,前三个季度的供应情况用矩阵B表示，即IIII11IIIII同型矩阵190300）甲340300450)甲500B=A=270480450J乙400700600J求第四个季度的供应情况，解第四季度的供应情况应是矩阵A减去矩阵B,即(完)300300500450）(190340A-B=500.400480700600270IIIII(110150甲160300-190450-300500-340130220150J乙400-270700-480600 - 450

解 练习2 设甲、乙两个蔬菜基地分别向Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个城市 供应蔬菜(单位:t), 若全年的供应情况用矩阵A表示,前三 个季度的供应情况用矩阵B表示,即 A Ⅰ Ⅱ Ⅲ 乙 甲         = 400 700 600 300 500 450 , 求第四个季度的供应情况. 第四季度的供应情况应是矩阵A减去矩阵B,即         −        = 270 480 500 190 340 300 400 700 600 300 500 450 A－B         − − − − − − = 400 270 700 480 600 450 300 190 500 340 450 300 乙 甲         = 270 480 450 190 340 300 B 同型矩阵 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 乙 甲         = 130 220 150 110 160 150 Ⅰ Ⅱ Ⅲ (完)

数乘矩阵案例2-某产品从甲、乙两个产地运往I、五、Ⅲ、IV四个销地，若每吨产品每千米的运费为100元,运输里程表为下表试用矩阵表示从两个产地运往四个地区的运费各为每吨多少元？案例2分析里程销地IVIIIII(km)产地运输里程(km)甲550350350500用矩阵可表示为乙330650700400350)550350500A=400330650700由于每吨产品每千米运费为100元，所以，所以，从甲地到第个销地的运费(元/吨)为aiz = 350表100 ×350, 即100 α12示甲地到第Ⅱ(未完待续)个销地的里程

案例2 试用矩阵表示从两个产地运往四个地区的运费各为每吨多少元? 某产品从甲、乙两个产地运往Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ四个 销地,若每吨产品每千米的运费为100元,运输里程表为下表, 里程 销地 (km) 产地 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 甲 乙 550 350 500 400 330 650 案例2分析 运输里程(km) 用矩阵可表示为 A         = 400 330 650 700 550 350 500 350 表 示甲地到第Ⅱ 个销地的里程 350 a12 = 由于每吨产品每千米运费为100元,所以, 所以,从甲地到第Ⅱ个销地的运费(元/吨)为 100×350, 12 即100 a (未完待续) 二. 数乘矩阵 Ⅳ 350 700