郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答1987年全国硕士研究生入学统一考试和数学试题参考解答数学（试卷I）填空题（每小题3分，满分15分。只写答案不写解题过程）X=1x+1y+2z-1及都平行，且过原点的平面方程是(1）与两直线y=-1+t1212=2+tx-y+5=0(2）当x=-1/ln2；时，函数y=x2*取得极小值(3）由y=lnx与两直线y=(e+l)-x及y=0围成图形的面积=3/2(4)设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分(2xy-2y)dx+(x2.-4x)dy的值是-18元(5)已知三维线性空间的一组基底 α=(1,1,0),α2=(1,0,1),α,=(0,1,1)，则向量α=(2，0，0)在上述基底下的坐标是（1,1.-1）二、（本题满分8分）t2使式limdt=1成立求正的常数a与b，-obx-sinxVa+t解：假若b±1，则根据洛必达法则有x2211limdt=lim()=0±1，与题设矛盾，于是b=1x-→0bx-sinxx-0b-cosxVa+tYa+xt2x212x.dt=lim此时lim=lim(Jax-0bx-sinx JoJa+t?>0cosxlatxVa+2P即1=因此a=4福Va三、（本题满分7分）(1) 设函数],g 连续可微, u=(x,),=g(X+),求%ax'axOu,axa(xy)Ova(x+xy)=(1+y)·g解：f'+y.f';+J"f=gaxaxaxaxax1987年·第1页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 1 页 1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数 学 试 题 参 考 解 答 数 学（试卷Ⅰ） 一、填空题（每小题 3 分，满分 15 分. 只写答案不写解题过程） (1) 与两直线 1 1 2 x y t z t 及 1 2 1 1 2 1 x y z 都平行，且过原点的平面方程是 x y 5 0 (2) 当 x 1/ ln 2 ；时，函数 2 x y x 取得极小值. (3) 由 y x ln 与两直线 y e x ( 1) 及 y 0 围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设 L 为取正向的圆周 9 2 2 x y ，则曲线积分 xy y dx x x dy L (2 2 ) ( 4 ) 2 的值是 18 . (5) 已知三维线性空间的一组基底 (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) 1 2 3 ，则向量 ＝( 2 , 0 , 0 ) 在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 ) 二、（本题满分 8 分） 求正的常数 a 与 b ，使式 1 sin 1 lim 0 2 2 0 dt a t t bx x x x 成立. 解：假若 b 1 ，则根据洛必达法则有 2 2 0 0 0 2 2 1 1 lim lim( ) 0 1 sin cos x x x t x dt bx x b x a t a x ，与题设矛盾，于是 b 1. 此时 2 2 2 1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 2 lim lim( ) lim( ) sin 1 cos x x x x t x x dt bx x x x a t a x a x a ， 即 2 1 a ，因此 a 4 . 三、（本题满分 7 分） (1) 设函数 f g, 连续可微， u f x xy v g x xy ( , ), ( ) ，求 , . u v x x 解： 1 2 1 2 u x xy ( ) f f f y f x x x ； ( ) (1 ) v x xy g y g x x
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答[3 017求矩阵B.2)设矩阵A和B满足AB=A+2B，其中A=011[o14]解：因AB=A+2B，故AB-2B=A，即(A-2E)B=A故B=（A-2EA=123四、（本题满分8分）求微分方程y"+6y+（9+α）y=1的通解.其中常数a>0解：由特征方程r+2r+(9+α)r=0，知其特征根根为r=0,23=-3±ai故对应齐次方程的通解为y=C+C,e-3cosx+C,e-3sinx，其中C,C,C,为任意常数.设原方程的特解为y（x）=Ax，代入原方程可得A=9+a21-3x sinx+因此，原方程的通解为y(x)=j+y=C+C,e-3xcosx+Ce9+a五、选择题（每小题3分，满分12分）(I)设常数k>0,则级数(-1)k+n(C)n2n=l（C）条件收敛(A)发散(B)绝对收敛(D)收敛与发散与k的值有关(2)设f(αx)为已知连续函数,I=tf(tx)dx，s>0,t>0,则I的值(D)(A）依赖于s和t(B)依赖于s、t、x(C）依赖于1和x，不依赖于s(D）依赖于s，不依赖于t(3) 设lim (x)- f(a)-1，则在点x=a处(B)(x-a)2+(A）f(x)导数存在,f(a)+0(B）f(x)取得极大值(C)f(x)取得极小值(D）f(x)的导数不存在(4）设A为n阶方阵，且|A|=α+0，而A是A的伴随矩阵，则A(C)(B) 1 /a(C) a"-(A) aD六、（本题满分10分）1求幂级数的收敛域，并求其和函数= n2"1+*4xun2n解：记u有limlimn2"(n+1)2n+l2n→0n-→aXu.1987年：第2页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 2 页 (2) 设矩阵 A 和 B 满足 AB A B 2 ，其中 A 3 0 1 1 1 0 0 1 4 ，求矩阵 B . 解：因 AB A B 2 ，故 AB B A 2 ，即 ( 2 ) A E B A ， 故 1 B A E A ( 2 ) 5 2 2 4 3 2 2 2 3 . 四、（本题满分 8 分） 求微分方程 2 y y a y 6 (9 ) 1 的通解.其中常数 a 0 . 解：由特征方程 3 2 2 r r a r 2 (9 ) 0 ，知其特征根根为 1 2,3 r r ai 0, 3 . 故对应齐次方程的通解为 3 3 1 2 3 cos sin x x y C C e x C e x ，其中 1 2 3 C C C , , 为任意常数. 设原方程的特解为 * y x Ax ( ) ，代入原方程可得 A 2 1 9 a . 因此，原方程的通解为 * 3 3 1 2 3 ( ) cos sin x x y x y y C C e x C e x 2 1 9 a x . 五、选择题（每小题 3 分，满分 12 分） (1) 设常数 k 0 ，则级数 2 1 ( 1) n k n n n （C） (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛与发散与 k 的值有关. (2) 设 f (x) 为已知连续函数， t s I t f tx dx 0 ( ) ，s t 0, 0 ，则 I 的值 （D） (A) 依赖于 s 和 t (B) 依赖于 s 、t 、 x (C) 依赖于 t 和 x , 不依赖于 s (D) 依赖于 s , 不依赖于 t (3) 设 1 ( ) ( ) ( ) lim 2 x a f x f a x a ，则在点 x a 处 (B) (A) f x( ) 导数存在, f (a) 0 (B) f x( ) 取得极大值 (C) f x( ) 取得极小值 (D) f x( ) 的导数不存在. (4) 设 A 为 n 阶方阵, 且 A a 0, 而 * A 是 A 的伴随矩阵，则 * A = (C) (A) a (B) 1/ a (C) n1 a (D) n a 六、（本题满分 10 分） 求幂级数 1 1 2 1 n n n x n 的收敛域，并求其和函数. 解：记 1 1 2 n n n u x n ，有 1 1 1 2 lim lim ( 1)2 2 n n n n n n n n u x n x u n x
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答1，知原级数在开区间（-2,2)内每一点都收敛2-(-2)*=22(-1)1 又当x=-2时，原级数=Z故由莱布尼兹判别法知其收敛：=i2nn=*=-2(-1)1!而当x=2时，原级数=，显然发散，故幂级数的收敛域为[-2,2)n2"n-eT1=±21()"=xs(),， 其中S(n)=)又记S(x)=1二n2nnldx2有 S(x)=于是S(x)==2ln(V1-x/25-x/2n=l2因此幂级数的和函数为S(x)=2xlnxe[-2,2]2-x七、（本题满分10分）计算曲面积分 1 =[,x(8y+1)dydz+2(1-y)dzdx-4yzdxdy,其中s是曲线[==V-1（1≤y≤3）绕Y轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与Y轴(x=0正向的夹角恒大于元/2.解：S的方程为y=x+22+1，记S：y=3,(2+2)，知S+S,为封闭曲面，设其方向取外侧，所围区域为Q，则由高斯公式，有1=dbsx(8y+1)dydz +2(1-y)dzdx-4yzdxdy -[[,x(8y+1)dydz +2(1-y)dzdx-4yzdxd)= []],1-dv-0-[],2(1- y)dydz +0='dy[[, dzdx-[[, 2(1- 3)dzdx['(y-1)dy+16·元-2=34元.八、（本题满分10分）设函数(x)在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每个x，函数的值都在开区间（0,1)内，且(x)+1.证明 在(0,1)内有且仅有一个x，使f(x)=x.证：令h(t)=f(t)-t，知h(t)在闭区间[0,11上连续，又由题设知00,h(1)=f(1)-1<0.故由零点定理，在(0,1)内有x，使f(x)=x假若f(x)在开区间(0,1)内有两个不同的点x,和xz，使得f(x)=x，f(x）=x2不妨设x<xz，则易见f(x)在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故由拉格朗日定理知，1987年·第3页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 3 页 令 1 2 x ，知原级数在开区间 ( 2, 2) 内每一点都收敛. 又当 x 2 时，原级数= 1 1 1 1 1 1 ( 2) 2 ( 1) 2 n n n n n n n ，故由莱布尼兹判别法知其收敛； 而当 x 2 时，原级数= 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 1) 2 n n n n n n n ，显然发散，故幂级数的收敛域为 [2,2) . 又记 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 n n n n n x S x x x xS x n n ，其中 1 1 1 ( ) ( ) 2 n n x S x n ， 有 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 / 2 n n x S x x ，于是 1 0 2 ( ) 2ln( ) 1 / 2 2 x dx S x x x ， 因此幂级数的和函数为 2 ( ) 2 ln 2 S x x x ， x [ 2,2) . 七、（本题满分 10 分） 计算曲面积分 2 (8 1) 2(1 ) 4 S I x y dydz y dzdx yzdxdy ， 其中 s 是曲线 (1 3) 0 1 y x z y 绕 Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 Y 轴 正向的夹角恒大于 /2 ． 解：S 的方程为 2 2 y x z 1 ，记 1 S ： 2 2 y x z 3, ( ) ，知 1 S S 为封闭曲面，设其 方向取外侧，所围区域为 ，则由高斯公式，有 1 2 (8 1) 2(1 ) 4 S S I x y dydz y dzdx yzdxdy 1 2 (8 1) 2(1 ) 4 S x y dydz y dzdx yzdxdy 1 2 1 0 2(1 ) 0 S dv y dydz = 3 2 1 2(1 3 ) D D y z x dy dzdx dzdx 3 1 ( 1) 16 2 34 y dy . 八、（本题满分 10 分） 设函数 f (x) 在闭区间 [0,1] 上可微，对于 [0,1] 上的每个 x ，函数的值都在开区间 (0,1) 内，且 f (x) 1.证明 在 (0,1) 内有且仅有一个 x ，使 f x x ( ) ． 证：令 h t f t t ( ) ( ) ，知 ht() 在闭区间 [0,1] 上连续，又由题设知 0 ( ) 1 f x ，于是 有 h f h f (0) (0) 0 0, (1) (1) 1 0 . 故由零点定理，在 (0,1) 内有 x ，使 f x x ( ) . 假若 f (x) 在开区间 (0,1) 内有两个不同的点 1 x 和 2 x ，使得 1 1 f x x ( ) ， 2 2 f x x ( ) ， 不妨设 1 2 x x ，则易见 f (x) 在闭区间 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，故由拉格朗日定理知
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答(0,1),使得 F()=()-()，即F()=1 此与F()1矛盾！故在(0,1)内使x2-)f(x)=x的x只能有一一个九、（本题满分8分）x+x+x+x=0x +2x +2x4 =1问a,b为何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？x +(a-3)x-2x =b3x +2x, +x,+ax, =-1并求出无穷多解时的通解，解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得(101110-1223A=(A b)=0b-1-2-0b+1a-33210000a-la①当a±1时，系数行列式A=（a-1)?+0，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解；②当a=1,且b±-1时,r(A)=3,r(A)=2,r(A)≠r(A)，故原方程组无解：③当α=1，且b=-1时，r(A)=r(A)=2<4，故原方程组有无穷的解。此时显然有0-1-1-11022110A=(A b) -00000000000可见其通解为：x=(-1,1,0,0)+c(1-2,1,0)+c(1,-2,0,1)"，其中c,c,为任意常数十、填空题（每小题2分，满分6分）(1）在一次试验中事件A发生的概率为P，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为 1-(1-p)";而事件A至多发生一次的概率为 [1+(n-1)pl(1-p)"-(2）三个箱子，第一个箱子有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个白球3个黑球，第三个箱子中有3个黑球5五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个球为白球的概率为53/120，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是20/531987年·第4页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 4 页 (0,1) ，使得 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) f x f x f x x ，即 f ( ) 1 .此与 f (x) 1 矛盾！故在 (0,1) 内使 f x x ( ) 的 x 只能有一个. 九、（本题满分 8 分） 问 a b, 为何值时，线性方程组 1 2 3 4 234 2 3 4 1 2 3 4 0 2 2 1 ( 3) 2 3 2 1 x x x x x x x x a x x b x x x ax 有唯一解？无解？有无穷多解？ 并求出无穷多解时的通解. 解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 ( ) 0 1 3 2 0 0 1 0 1 3 2 1 1 0 0 0 1 0 A A b a b a b a a ○1 当 a 1 时，系数行列式 2 A a ( 1) 0 ，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解； ○2 当 a 1 ，且 b 1 时， r A r A ( ) 3, ( ) 2 ， r A r A ( ) ( ) ，故原方程组无解； ○3 当 a 1，且 b 1 时， r A r A ( ) ( ) 2 4 ，故原方程组有无穷的解. 此时显然有 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A b 可见其通解为： 1 2 ( 1,1,0,0) (1, 2,1,0) (1, 2,0,1) T T T x c c ，其中 1 2 c c, 为任意常数. 十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分） (1) 在一次试验中事件 A 发生的概率为 p ，现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率 为 n 1 (1 p) ；而事件 A 至多发生一次的概率为 1 [1 ( 1) ](1 ) n n p p . (2) 三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个白球 3 个黑球，第三 个箱子中有 3 个黑球 5 五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个 球为白球的概率为 53/120 ，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是 20/53
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答1e--+2x-1，则X的数学期望为；X的(3)已知连续随机变量X的密度为f(x)=1元方差为1/2、（本题满分6分）设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为ley[10≤x≤1y>0求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数f()10其老：1)=fx(x)=0Y≤Oe-y0≤x≤1,y>0解：由题设，（X,Y）的联合密度为f(x,y)=fx(x)f(y)：其它0故Z的分布函数F(=)=P(Z≤z)=P(2X+Y≤z)=(f(x,y)dxdy)21+1① 当z2时, F(a)=f,xj。e-"dly=J"(l-e)d=1-(e~-1)e", 此时2f.()=F()=-(e-1)e-oz2海1987年：第5页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 5 页 (3) 已知连续随机变量 X 的密度为 2 1 1 2 ( ) x x f x e ，则 X 的数学期望为 1 ；X 的 方差为 1/2 . 十一、（本题满分 6 分） 设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为 0 其 它 1 0 1 ( ) x f x X ； 0 0 0 ( ) y e y f y y Y ，求随机变量 Z = 2 X + Y 的概率密度函数 ( ) z f z . 解：由题设， ( , ) X Y 的联合密度为 0 1, 0 ( , ) ( ) ( ) 0 y X Y e x y f x y f x f y 其 它 ， 故 Z 的分布函数 2 ( ) ( ) (2 ) ( , ) z x y z F z P Z z P X Y z f x y dxdy ， ○1 当 z 0 时， 2 ( ) 0 0 z x y z F z dxdy ，此时 ( ) 0 0 z f z ； ○2 当 0 2 z 时， 2 0 0 0 0 1 ( ) 2 2 z y z z z y y y z z F z dy e dx e dy ye dy ，此时 0 1 1 ( ) ( ) (1 ) 2 2 z y z z z f z F z e dy e ； ○3 当 z 2 时， 1 2 1 2 2 0 0 0 1 ( ) (1 ) 1 ( 1) 2 z x y x z z F z dx e dy e dx e e z ，此时 1 2 ( ) ( ) ( 1) 2 z z z f z F z e e 综上所述，Z = 2 X + Y 的概率密度函数为 ( ) z f z 1 2 1 2 2 0 0 (1 ) 0 2 ( 1) 2 z z z e z e e z
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答数学（试卷Ⅱ）（本题满分15分）【同数学I、第一题】二、（本题满分14分）()（6分）计算定积分（x+x)e-mdx解:因xe-是奇函数,|xle-是偶函数,故原式=2[1xle-dx=2xe'dx=2-6e-(2)（8分）【同数学I、第二题】三、（本题满分7分）z设函数z=f(u,x,y),u=xe"，其中f有二阶连续偏导数，求axay2-+=f+",解：=fxe'+f'e'+e.f'+fxe'+fasaxaxaxoy四、（本题满分8分）【同数学I、第四题】五、（本题满分12分）【同数学I、第五题六、（本题满分10分）【同数学I、第六题七、（本题满分10分）【同数学I、第七题八、（本题满分10分）【同数学I、第八题】九、（本题满分8分）【同数学I、第九题7十、（本题满分6分）设，为n阶方阵A的特征值，≠，而x，x2分别为对应的特征向量，试证明：X+x不是A的特征向量证：假若x+x是A的特征向量，设其对应的特征值为，则有A(x+）=（x+），即Ax+Ax=+又由题设条件知Ax=，Ax,=2，故有(-)+(-)x=0.因x，x是属于不同特征值的特征向量，所以x,x线性无关，从而=，且=，此与盾！因此+不是A的特征向量1987年·第6页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 6 页 数 学（试卷Ⅱ） 一、（本题满分 15 分）【 同数学Ⅰ、第一题 】 二、（本题满分 14 分） (1)（6 分）计算定积分 2 | | 2 (| | ) . x x x e dx 解：因 | | x xe 是奇函数， | | | | x x e 是偶函数，故 原式= 2 2 | | 2 0 0 2 | | 2 2 6 . x x x e dx xe dx e (2)（8 分）【 同数学Ⅰ、第二题 】 三、（本题满分 7 分） 设函数 ( , , ), y z f u x y u xe ，其中 f 有二阶连续偏导数，求 2 . z x y 解： 1 2 1 z u y f f f e f x x ， 2 11 13 1 21 23 ( ) z y y y y f xe f e e f f xe f x y . 四、（本题满分 8 分）【 同数学Ⅰ、第四题 】 五、（本题满分 12 分）【 同数学Ⅰ、第五题 】 六、（本题满分 10 分）【 同数学Ⅰ、第六题 】 七、（本题满分 10 分）【 同数学Ⅰ、第七题 】 八、（本题满分 10 分）【 同数学Ⅰ、第八题 】 九、（本题满分 8 分）【 同数学Ⅰ、第九题 】 十、（本题满分 6 分） 设 1 2 , 为 n 阶方阵 A 的特征值， 1 2 ，而 1 2 x , x 分别为对应的特征向量，试证明： 1 2 x x 不是 A 的特征向量. 证：假若 1 2 x x 是 A 的特征向量，设其对应的特征值为 3 ，则有 1 2 3 1 2 A x x x x ( ) ( ) ， 即 Ax Ax x x 1 2 3 1 3 2 . 又由题设条件知 Ax x 1 1 1 ， Ax x 2 2 2 ，故有 1 3 1 2 3 2 ( ) ( ) 0 x x .因 1 2 x , x 是属于不同特征值的特征向量，所以 1 2 x , x 线性无关， 从而 1 3 ，且 1 3 ，此与 1 2 矛盾！因此 1 2 x x 不是 A 的特征向量
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答数学（试卷Ⅲ）填空题（每小题2分，满分10分把答案填在题中横线上）a?a(1)设y=ln(1+ax)，其中a为非零常数，则y=(1 + ax)21 + ax1元-2法线方程是(2）曲线y=arctgo在横坐标为1点处的切线方程是yX+24y=-2x+(元+8)/4(3）积分中值定理的条件是f(x)在闭区间a,b|上连续结论是提供Ee[a,b],使得[f(x)dx=f(E)(b-a(4) lin(n-2)"nti(5) [ r(x)dx= f(x)+c: " s(2x)dx = }f(2b)-:f(2a)二、（本题满分6分）X1求极限 lim(r-0xe-1111-xer-l-xx2= lim解：lim(=lim=limlim322xex-1x(e-1)x-02xx→0 xx-→00三、（本题满分7分）x=5(t-sint)d'ydy设求y= 5(1-cost)dx'dx?dydx5(0+sint)故dysintsint解：因=5-5cost,=5sint.dtdtdxdx5(1-cost)1-cost1-cost1dtd'ydsint日dr25(1-cost)2dt-costdx四、（本题满分8分）xarcsinxdx计算定积分x-元1dx=x arcsin xx arcsin xdx =dx4-2J0J1-x1987年：第7页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 7 页 数 学（试卷Ⅲ） 一、填空题（每小题 2 分，满分 10 分. 把答案填在题中横线上） (1) 设 y ln(1 ax) , 其中 a 为非零常数，则 2 2 (1 ) , 1 ax a y ax a y . (2) 曲线 y arctgx 在横坐标为 1 点处的切线方程是 4 2 2 1 y x ； 法线方程是 y 2x ( 8)/ 4 . (3) 积分中值定理的条件是 f x a b ( ) [ , ] 在闭区间 上连续 ，结论是 [ , ], ( ) ( )( ) b a a b f x dx f b a 使得 (4) 2 3 ( ) 1 n n n lin e n . (5) f (x)dx f (x) c ； b a f (2x)dx ＝ (2 ) 2 1 (2 ) 2 1 f b f a . 二、（本题满分 6 分） 求极限 0 1 1 lim( ) 1 x x x e 解： 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 lim( ) lim lim lim lim 1 ( 1) 2 2 2 xxx x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x . 三、（本题满分 7 分） 设 5(1 cos ) 5( sin ) y t x t t ，求 2 2 , . dy d y dx dx 解：因 5sin , 5 5cos dy dx t t dt dt ， 5 sin ) sin 5(1 cos 1 cos dy t t dx t t （0+ ） ，故 t t dx dy 1 cos sin ， 且 2 2 2 sin 1 ( ) 1 cos 5(1 cos ) d y d t dt dx dt t dx t 四、（本题满分 8 分） 计算定积分 1 0 x arcsin xdx . 解： 2 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 2 2 1 1 1 arcsin arcsin 2 2 4 2 1 1 x x x xdx x x dx dx x x
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答 sin’txarcsinxdx=元_！_元1costdt="，因此门令x=sint，有A4248cost五、（本题满分8分）设D是曲线y=sinx+1与三条直线x=0,x=元，y=0围成的曲边梯形求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积3元解： V =元["(sinx+1)°dx=4元 +2六、证明题（本题满分10分）(1)(5分）若f(x)在(a,b)内可导，且导数f'(x)恒大于零，则f(x)在(a,b)内单调增加.证：Vx,e(a,b)，不妨设x0，又x -x>0，因此f(x)-f(x)>0，即f(x)>f(x)，表明f(x)在(a,b)内单调增加(2)（5分）若g(x)在x=c处二阶导数存在，且g(c)=0,g(c)0, 当xe(c-8,c)时, 有(0 从而g(t)在(c-8,c)单增:当xe(c,c+)时，有g(x)<0,即g(x)<0,从而g(x)在(c-8,c)单减又由g(c)=0知，x=c是g(x）的驻点，因此g(c)为g(x）的一个极大值七、（本题满分10分）dx（其中a,b为不全为零的非负数计算不定积分a"sin?x+b"cos?x解：①当a=0时，原式=-Jsec"xdr=tanx+c;bcscxdx=②当b=0时，原式-cotx+c;a?d( tan x)sec"xdx5③当ab+0时，原式=tanx)+c.arctan(tan?x+b?abaabrtan x)? +1b1987年·第8页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 8 页 令 x t sin ，有 2 2 1 2 0 0 2 sin cos 1 cos 4 x t dx tdt x t ，因此 1 0 1 arcsin 4 2 4 8 x xdx . 五、（本题满分 8 分） 设 D 是曲线 y x sin 1 与三条直线 x 0 , x , y 0 围成的曲边梯形.求 D 绕 x 轴旋 转一周所生成的旋转体的体积. 解： 2 2 0 3 (sin 1) 4 2 V x dx . 六、证明题（本题满分 10 分） (1)（5 分）若 f x( ) 在 ( , ) a b 内可导，且导数 f (x) 恒大于零，则 f x( ) 在 ( , ) a b 内单调增加. 证： 1 2 x x a b , ( , ) ，不妨设 1 2 x x ，则 f x( ) 在 1 2 [ , ] x x 上连续，在 1 2 ( , ) x x 内可导， 故由拉格朗日中值定理， 1 2 ( , ) ( , ) x x a b ，使得 2 1 2 1 f x f x f x x ( ) ( ) ( )( ) . 由于 f (x) 在 ( , ) a b 内恒大于零，所以 f ( ) 0 ，又 2 1 x x 0 ，因此 2 1 f x f x ( ) ( ) 0 ， 即 2 1 f x f x ( ) ( ) ，表明 f x( ) 在 ( , ) a b 内单调增加. (2)（5 分）若 g x( ) 在 x c 处二阶导数存在，且 g (c) 0 , g (c) 0 ，则 g c( ) 为 g x( ) 的一个极大值. 证：因 ( ) ( ) ( ) lim 0 x c g x g c g c x c ，而 g (c) 0 ，故 ( ) lim 0 x c g x x c .由极限的保号性， 0 ，当 x c c ( , ) 时，有 ( ) 0 g x x c ，即 g x ( ) 0 ，从而 g x( ) 在 ( , ) c c 单增； 当 x c c ( , ) 时，有 ( ) 0 g x x c ，即 g x ( ) 0 ，从而 g x( ) 在 ( , ) c c 单减. 又由 g (c) 0 知， x c 是 g x( ) 的驻点，因此 g c( ) 为 g x( ) 的一个极大值. 七、（本题满分 10 分） 计算不定积分 a x b x dx 2 2 2 2 sin cos ( 其中 a b, 为不全为零的非负数 ) 解：① 当 a 0 时，原式= 2 2 2 1 1 sec tan xdx x c b b ； ② 当 b 0 时， 原式= 2 2 2 1 1 cs xdx x c c cot a a ； ③ 当 ab 0 时，原式= 2 2 2 2 2 ( tan ) sec 1 1 arctan( tan ) tan ( tan ) 1 a d x xdx a b x c a x b ab ab b a x b
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答八、（本题满分15分）(1)（7分)求微分方程xx-y，满足条件yl==0的解.dx-{-ax.-d解：原方程即虫，！J=dx+c)=-=x +c)-y=l，故其通解为y=edxx因ylz=0，所以c=-1.于是所求初值问题的解为 y=2共(2）（8分）求微分方程y"+2y+y=xe的通解解：由特征方程r+2r+1=0，知其特征根根为ri2=故对应齐次方程的通解为y=（C+C,x)e-，其中CC,为任意常数设原方程的特解为y（x)=e(ax+b)，代入原方程可得a=h4因此，原方程的通解为 (x)=j+y~=(C +C,x)e-2*+ (x-1)e九、选择题（每小题4分，满分16分）(1). f(x)=xsinxecosx,00×0是(D)(C）周期函数（A）有界函数（B）单调函数(D）偶函数(2).函数f(x)-xsinx(D)（B）当x→8时有极限（A）当x→80时为无穷大(D）在（-00,+00）内无界(C）在(-00,+00)内有界f(a+x)-f(a-x)等于(3）设f(x)在x=a处可导，则lim(B)x(A) f(a)(B) 2f(a)(C) 0(D)f'(2a)(4)【同数学、第五（2）题】十、（本题满分10分）在第一象限内，求曲线y=-x2+1上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积o解：设切点的横坐标为α，则切线方程为y-(l-a)=-2a(x-a)，即y=-2ax+α2+1VE2故所围面积s==0得驻点a=(a+1)Ddx02.32g24aV32V3_24由于s=5/3>0，故所求点的坐标为(其最小值为s9=/333O31987年·第9页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 9 页 八、（本题满分 15 分） (1)（7 分）求微分方程 x y dx dy x ，满足条件 | 0 2 x y 的解． 解：原方程即 1 1 dy y dx x ，故其通解为 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 dx dx x x y e e dx c x c x . 因 | 0 2 x y ，所以 c 1.于是所求初值问题的解为 x x y 1 2 . (2)（8 分）求微分方程 x y 2y y xe 的通解. 解：由特征方程 2 r r 2 1 0 ，知其特征根根为 1,2 r 1. 故对应齐次方程的通解为 1 2 ( ) x y C C x e ，其中 1 2 C C, 为任意常数. 设原方程的特解为 * ( ) ( ) x y x e ax b ，代入原方程可得 a 1 4 ，b 1 4 . 因此，原方程的通解为 * 2 1 2 ( ) ( ) x y x y y C C x e 1 4 ( 1) x x e . 九、选择题（每小题 4 分，满分 16 分） (1). f x x x e x x ( ) sin , - cos 是 （D） （A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数 (2). 函数 f x x x ( ) sin (D) （A）当 x 时为无穷大 （B）当 x 时有极限 （C）在 (,) 内有界 （D）在 (,) 内无界 (3) 设 f x( ) 在 x a 处可导，则 x f a x f a x x ( ) ( ) lim 0 等于 (B) （A） f (a) （B） 2 f (a) （C）0 （D） f (2a) (4) 【 同数学Ⅰ、第五（2）题 】 十、（本题满分 10 分） 在第一象限内，求曲线 1 2 y x 上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成 的面积为最小，并求此最小面积. 解：设切点的横坐标为 a ，则切线方程为 2 y a a x a (1 ) 2 ( ) ，即 2 y ax a 2 1 故所围面积 2 3 1 2 2 0 1 1 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 4 2 4 3 a a a s a x dx a a . 令 s 0 得驻点 a 3 3 . 由于 3 /3 0 a s ，故所求点的坐标为 3 2 ( , ) 3 3 ，其最小值为 a 3 /3 s 4 2 3 9 3
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答数学（试卷IV）判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分）1.D(x)(1) limerX0"xsinxdx=0()2)供(3)若级数a 与b,均发散，则级数(a,+b,)必发散(x)n=ln=ln=](4）假设D是矩阵A的r阶子式，且含D的一切r+1阶子式都等于0，()那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0()(5）连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0二、选择题（每小题2分，满分10分）(1）下列函数在其定义域内连续的是(A)sinxx≤o(A) f(x)=lnx+sinx(B)f(x)=x>0cos.xX±0(x+x0x-(2)若函数f(x)在区间(a,b)内可导，x,xz是区间内任意两点，且x<x2，则至少存一点，使得(C)(A) f(b)-f(a)=f()(b-a), a<=<b(B) f(b)-f(x)=f(5)(b-x), x,<5<b和(C)f(x)-f(x)=f(x -x), x<E<x(D) f(x)-f(a)=f'()(x,-a), a<<x,(3）下列广义积分收敛的是(C)dxdx+ dxrmlndx (B) J"(A)(D)(C)xlnxx(lnx)2xVlnx(4）设A是n阶方阵，其秩r<n，那么在A的n个行向量中(A)（A）必有r个行向量线性无关(B）任意r个行向量线性无关1987年·第10页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 10 页 数 学（试卷Ⅳ） 一、判断题（每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分） (1) 1 0 lim x x e （ ） (2) 4 x xdx sin 0 （ √ ） (3) 若级数 1 n n a 与 1 n n b 均发散，则级数 1 ( ) n n n a b 必发散 （ ） (4) 假设 D 是矩阵 A 的 r 阶子式，且含 D 的一切 r 1 阶子式都等于 0， 那么矩阵 A 的一切 r 1 阶子式都等于 0 （ √ ） (5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 0 （ √ ） 二、选择题（每小题 2 分，满分 10 分.） (1) 下列函数在其定义域内连续的是 (A) （A） f x x x ( ) ln sin （B） cos 0 sin 0 ( ) x x x x f x （C） 1 0 0 0 1 0 ( ) x x x x x f x （D） 0 0 0 1 ( ) x x f x x (2) 若函数 f(x)在区间 ( , ) a b 内可导， 1 2 x , x 是区间内任意两点，且 1 2 x x ，则至少存一点 ， 使得 （C） (A) f b f a f b a a b ( ) ( ) ( )( ), . (B) 1 1 1 f b f x f b x x b ( ) ( ) ( )( ), . (C) 2 1 2 1 1 2 f x f x f x x x x ( ) ( ) ( )( ), . (D) 2 2 2 f x f a f x a a x ( ) ( ) ( )( ), . (3) 下列广义积分收敛的是 （C） （A） dx x x e ln （B） e x x dx ln （C） e x x dx 2 (ln ) （D） e x x dx ln (4) 设 A 是 n 阶方阵，其秩 r < n ， 那么在 A 的 n 个行向量中 (A) (A) 必有 r 个行向量线性无关 (B) 任意 r 个行向量线性无关