无优教育加油站2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1）曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为(2)已知f(e')=xe-，且f(1)=0，则f(x)=(3)设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分[,xdy-2ydx的值为(4)欧拉方程+4x+2y=0(x>0)的通解为dx?dx[210](5)设矩阵A=，矩阵B满足ABA=2BA+E，其中A'为A的伴随矩阵，E12100是单位矩阵，则B：(6)设随机变量X服从参数为a的指数分布,则P(X>/DX)=二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把x→0+时的无穷小量α=costdt,β=tan/idl,="sinF'dt，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A)α,β,(B)α,,β(C) β,α,r(D)β,Y,α(8)设函数f(x)连续，且f(0)>0，则存在s>0，使得(A)f(x)在(O,)内单调增加(B)f(x)在(-8,0)内单调减少(C)对任意的xE(0,)有f(x)>f(0)(D)对任意的xE(-,0)有f(x)>f(O)1
无忧教育加油站 1 2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1)曲线 上与直线 垂直的切线方程为_ . (2)已知 ,且 ,则 =_ . (3)设 为正向圆周 在第一象限中的部分,则曲线积分 的值 为_. (4)欧拉方程 的通解为_ . (5)设矩阵 ,矩阵 满足 ,其中 为 的伴随矩阵, 是单位矩阵,则 =_ . (6)设随机变量 服从参数为 的指数分布,则 = _ . 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把 时的无穷小量 ,使排在后面的 是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A) (B) (C) (D) (8)设函数 连续,且 则存在 ,使得 (A) 在(0, 内单调增加 (B) 在 内单调减少 (C)对任意的 有 (D)对任意的 有 y x = ln x + y = 1 (e ) e x x f x − = f (1) 0 = f x( ) L 2 2 2 x + y = − L xdy 2ydx 4 2 0( 0) 2 2 2 + + y = x dx dy x dx d y x 2 1 0 1 2 0 0 0 1 = A B * * ABA BA E = + 2 * A A E B X P{X DX } → + x 0 t dt tdt t dt x x x = = = 0 3 0 0 2 cos , tan , sin 2 , , , , ,, , , f x( ) f (0) 0, 0 f x( ) ) f x( ) (− ,0) x (0, ) f x f ( ) (0) x (− ,0) f x f ( ) (0)
无优教育加油站(9)设α，为正项级数，下列结论中正确的是(A)若lim na,=0,则级数之a，收敛(B)若存在非零常数a，使得limna，=，则级数a，发散(C)若级数a,收敛,则limna,=0n=1(D)若级数之a，发散，则存在非零常数a，使得limna,=a(10)设f(x)为连续函数,F(l)=[dy,f(x)dx，则F(2)等于(A) 2 f(2)(B) f(2)(C)-f(2)(D) 0(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为[010[o 10(A)|1 0 (B)1 0 101101[010[o11(C)|1100(D)1 0 001100112)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(A)A的列向量组线性相关B的行向量组线性相关(B)A的列向量组线性相关B的列向量组线性相关(C)A的行向量组线性相关B的行向量组线性相关(D)A的行向量组线性相关B的列向量组线性相关(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的α(0α}=α,若P(X<x}=α,则x等于2
无忧教育加油站 2 (9)设 为正项级数,下列结论中正确的是 (A)若 =0,则级数 收敛 (B)若存在非零常数 ,使得 ,则级数 发散 (C)若级数 收敛,则 (D)若级数 发散, 则存在非零常数 ,使得 (10)设 为连续函数, ,则 等于 (A) (B) (C) (D) 0 (11)设 是 3 阶方阵,将 的第 1 列与第 2 列交换得 ,再把 的第 2 列加到第 3 列得 ,则满足 的可逆矩阵 为 (A) (B) (C) (D) (12)设 为满足 的任意两个非零矩阵,则必有 (A) 的列向量组线性相关 的行向量组线性相关 (B) 的列向量组线性相关 的列向量组线性相关 (C) 的行向量组线性相关 的行向量组线性相关 (D) 的行向量组线性相关 的列向量组线性相关 (13) 设 随机 变量 服 从正态 分布 对给定 的 , 数 满足 ,若 ,则 等于 n=1 n a n n na → lim n=1 n a = → n n lim na n=1 n a n=1 n a lim 0 2 = → n n n a n=1 n a = → n n lim na f x( ) = t t y F t dy f x dx 1 ( ) ( ) F(2) 2 (2) f f (2) − f (2)A A B B C AQ C= Q 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 AB, AB O= A ,B A ,B A ,B A ,B X N(0,1), (0 1) u P{X u} = P{ X x} = x
无优教育加油站(A)ug(B)u.-(C) ui-a(D) ui-a2SXi(14)设随机变量X,Xz,,X,(n>1)独立同分布,且其方差为2>0.令Y=ni=则(A)Cov(X, N)=(B)Cov(X,Y)=?n(C) D(XI +N) = n+2(D) D(X--Y)= n+1。2nn三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)（15）（本题满分12分）4设e-(b-a) .e'3
无忧教育加油站 3 (A) (B) (C) (D) (14)设随机变量 独立同分布,且其方差为 令 , 则 (A) (B) (C) (D) 三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) (15)(本题满分 12 分) 设 ,证明 . 2 u 2 1 − u 2 1− u u1− , , , ( 1) X1 X2 Xn n 0. 2 = = n i Xi n Y 1 1 2 Cov( , ) X Y1 n = 2 Cov( , ) X Y1 = 2 1 2 ( ) n n D X Y + + = 2 1 1 ( ) n n D X Y + − = 2 e e a b 2 2 2 4 ln ln ( ) e b a b a − −
无优教育加油站（16)（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0×10°)．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时）
无忧教育加油站 4 (16)(本题满分 11 分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速 伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打 开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点 算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) 6.0 10 ). 6 k =
无优教育加油站（17）（本题满分12分）计算曲面积分1=[[2xdydz+2dzdx+3(=2-1)dxdy,其中Z是曲面z=1-x2-y2(z≥0)芝的上侧.5
无忧教育加油站 5 (17)(本题满分 12 分) 计算曲面积分 其中 是曲面 的上侧. 2 2 3( 1) , 3 3 2 I x dydz y dzdx z dxdy = + + − 1 ( 0) 2 2 z = − x − y z
无优教育加油站(18)(本题满分11分）设有方程x"+nx-1=0，其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根x，并证明当α>1时，级数之x°收敛.n=1
无忧教育加油站 6 (18)(本题满分 11 分) 设有方程 ,其中 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 ,并证明 当 时,级数 收敛. 1 0 n x nx + − = n n x 1 1 n n x =
无优教育加油站（19）（本题满分12分）设z=2(x,J)是由x2-6xy+10y2-2yz-22+18=0确定的函数,求=2(x,J)的极值点和极值1
无忧教育加油站 7 (19)(本题满分 12 分) 设 是由 确定的函数,求 的极值点和 极值. z z x y = ( , ) 2 2 2 x xy y yz z − + − − + = 6 10 2 18 0 z z x y = ( , )
无优教育加油站（20）（本题满分9分）(1+a)x +x,+.+x, =0,J2x,+(2+a)x +..+2x,=0,设有齐次线性方程组(n≥2),nx,+nx,+...+(n+a)x,=0,试问α取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解8
无忧教育加油站 8 (20)(本题满分 9 分) 设有齐次线性方程组 试问 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 1 2 1 2 1 2 (1 ) 0, 2 (2 ) 2 0, ( 2) , ( ) 0, n n n a x x x x a x x n nx nx n a x + + + + = + + + + = + + + + = a
无优教育加油站（21）（本题满分9分）-312设矩阵A=4的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似-1-5a对角化.9
无忧教育加油站 9 (21)(本题满分 9 分) 设矩阵 的特征方程有一个二重根,求 的值,并讨论 是否可相似 对角化. 1 2 3 1 4 3 1 5 a − = − − A a A
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