2015年考研数学一真题完整版一、选择题（1）设函数f(x)在（-o0，+oo）连续，其2阶导函数f"(x）的图形如下图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为（)(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3个47e"是二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay+by=ce'的一个特解，（2）设y=13则：(A)a=-3,b=-1,c=-1(B)a=3.b=2.c =-1.(C)a = -3,b= 2,c=1.(D)a=3,b=2,c=1(3)若级数a,条件收敛，则x=V与x=3依次为幂级数na(x-1)"的：=]7=(A)收敛点，收敛点.(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点.（4）设D是第一象限中曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=/3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续, 则[f(x,y)dxdy=r[dojm0 f(rcos,rsin0)rdr (B)(deim20 f(rcos9,rsing)rdrA)62sin26J2sin20
2015 年考研数学一真题完整版 一、选择题 （1）设函数 f x( ) 在 （- ,+ ） 连续，其 2 阶导函数 f x ( ) 的图形如下图所示，则曲线 y f x = ( ) 的拐点个数为（） （A）0 （B）1 (C) 2 ( D) 3 1 1 2 2 3 x x x y e x e y ay by ce = + − + + = （2）设 是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一个特解， 则： (A) 3, 1, 1. (B) 3, 2, 1. (C) 3, 2, 1. (D) 3, 2, 1. a b c a b c a b c a b c = − = − = − = = = − = − = = = = = ( ) 1 1 (3) 3 3 1 (A) (B) (C) . (D) n n n n n a x x na x = = 若级数 条件收敛，则 = = − 与 依次为幂级数 的： 收敛点，收敛点. 收敛点，发散点. 发散点，收敛点 发散点，发散点. （4）设 D 是第一象限中曲线 2 1, 4 1 xy xy = = 与直线 y x y x = = , 3 围成的平面区域，函数 f x y ( , ) 在 D 上连续，则 ( , ) D f x y dxdy = （A） 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr ( cos , sin ) （B） 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr ( cos , sin )
[de[in20f(rcos9,rsin)dr(C) [ de[sin2e f(rcos9,rsin)dr ( D)sin202sin20(1 2（5）设矩阵A：若集合Q=(1,2)，则线性方程组Ax=b有无14穷多个解的充分必要条件为(A)aQ,dQ(B)aQdQ(C)aeQ,dQ(D)aEQ,dQ（6）设二次型f(x,x2,x)在正交变换x=Py下的标准形为2+-，其中P=(e,e2,e)，若Q=(e,-es,e)，则f(x,x2,)在正交变换x=Qy下的标准形为（A）2-+（B）2斤+-（C）2斤--（D）2斤++（7）若A,B为任意两个随机事件，则(A) P(AB)≤P(A)P(B) (B) P(AB)≥P(A)P(B)B) (D) P(AB)≥ P(A)+P(B)(C) P(AB)≤P(A)+ P(B)22(8)设随机变量X,Y不相关，且EX=2,EY=1,DX=3,则E[X(X+Y-2)](A)-3 (B)3 (C)-5 (D)5二、填空题(9)sinx+xDdx=(10)1+cosx(11）若函数由方程e+xyz+x+cosx=2确定，则d(0.)（12）设Q是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则[J (x+2y+32)dxdydz
(C) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin ) ( D) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr ( cos , sin ) （5）设矩阵 2 1 1 1 1 2 1 4 A a a = ， 2 1 b d d = ，若集合 = {1, 2} ，则线性方程组 Ax b = 有无 穷多个解的充分必要条件为 （A） a d , （B） a d , （C） a d , （D） a d , （6）设二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Py = 下的标准形为 2 2 2 1 2 3 2y y y + − ，其中 1 2 3 P e e e = ( , , ) ，若 1 3 2 Q e e e = − ( , , ) ，则 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Qy = 下的标准形为 （A） 2 2 2 1 2 3 2y y y − + （B） 2 2 2 1 2 3 2y y y + − （C） 222 1 2 3 2yyy − − （D） 222 1 2 3 2yyy + + （7）若 A B, 为任意两个随机事件，则 （A） P AB P A P B ( ) ( ) ( ) （B） P AB P A P B ( ) ( ) ( ) （C） ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB + （D） ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB + (8) X,Y 2, 1, 3, 2 EX EY DX E X X Y = = = + − = ( ) 设随机变量 不相关，且 则 (A) 3 − (B)3 (C) 5 − (D)5 二、填空题 （9） （10） 2 - 2 sin ( ) 1 cos x x dx x + = + （11）若函数由方程 + cos 2 x e xyz x x + + = 确定，则 (0,1) dz = . （ 12 ） 设 是由平面 x y z + + = 1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 ( 2 3 ) x y z dxdydz + + =
1（13）n阶行列式00..-12（14）设二维随机变量服从正态分布，则.三、解答题(15）设函数f(x)=x+aln(1+x)+bx·sinx，g(x)=kx3，若f(x)与g(x)在x→0是等价无穷小，求a，b，k值。(16）设函数f(x)在定义域「上的导数大于零，若对任意的xEl，曲线y=(x)在点(%,J()）处的切线与直线×=xo及×轴所围成的区域的面积为4,且(0)=2,求/(x)的表达式。(17）已知函数f(x,j)=x+y+xy，曲线C:x2+y?+xy=3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数（18）（本题满分10分）（I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x) +u(x)v(x)(）设函数u(x),u(x)...u,(x)可导，f(x)=u,(x)u(x)..u,(x),写出f(x)的求导公式.（19）（本题满分10分）[==2-x-起点为4(0,2,0)，终点为B(0,2,0)，计算曲已知曲线L的方程为2=X,线积分 =[(y+z)dx+(=?-x+y)dy+(x2+y°)d（20）（本题满分11分）设向量组α,α2,α,是3维向量空间R的一个基，β=2α,+2kα，β,=2αz，β, = α, +(k+ 1)αg
（13）n 阶行列式 2 0 0 2 -1 2 0 2 0 0 2 2 0 0 -1 2 = （14）设二维随机变量服从正态分布，则. 三、解答题 （15）设函数 f x x a x bx x ( ) ln(1 ) sin = + + + ， 3 g x kx ( ) = ，若 f x( ) 与 g x( ) 在 x →0 是 等价无穷小，求 a，b ， k 值。 （16）设函数 f x( ) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 0 x I ，曲线 y f x = ( ) 在点 0 0 ( , ( )) x f x 处的切线与直线 0 x x = 及 x 轴所围成的区域的面积为 4，且 f (0) 2, = 求 f x( ) 的表达式。 （17）已知函数 f (x, y) = x + y + xy ，曲线 : 3 2 2 C x + y + xy = ，求 f (x, y) 在曲线 C 上 的最大方向导数. （18）（本题满分 10 分） （Ⅰ）设函数 u x v x ( ), ( ) 可导，利用导数定义证明 [ ( ) ( )]'= '( ) ( ) ( ) ( )' u x v x u x v x u x v x + （Ⅱ）设函数 1 2 ( ), ( ). ( ) n u x u x u x 可导， 1 2 ( ) ( ) ( ). ( ), n f x u x u x u x = 写出 f x( ) 的 求导公式. （19）（本题满分 10 分） 已知曲线 L 的方程为 2 2 2 , , z x y z x = − − = 起点为 A(0, 2,0) ，终点为 B(0, 2,0) − ，计算曲 线积分 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) L I y z dx z x y dy x y dz = + + − + + + （20）（本题满分 11 分） 设向量组 1 2 3 , , 是 3 维 向量空 间 3 的一个基， 1 1 3 = + 2 2k ， 2 2 = 2 ， 3 1 3 = + + ( 1) k
（I）证明向量组β,β2,β,是R的一个基；（I）当k为何值时，存在非零向量在基αj,αz,α,与基β,β2,β,下的坐标相同，并求出所有的。（21）（本题满分11分）(022-3)(1-2 0)3b0-10设矩阵A=-3相似于矩阵B=1031-21a（I）求a,b的值（I）求可逆矩阵P，使得P-AP为对角阵（22）（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为[2In2 x>0f(x)=0x≤0对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数（I）求Y的概率分布；(II)求EY.（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为[0≤x≤1f(x;0)=-0【。其他其中为未知参数，X,，X...X,为来自该总体的简单随机样本（I）求的矩估计.（I）求θ的最大似然估计
（Ⅰ）证明向量组 1 2 3 , , 是 3 的一个基； （Ⅱ）当 k 为何值时，存在非零向量 在基 1 2 3 , , 与基 1 2 3 , , 下的坐标相同，并求出 所有的 。 （21）（本题满分 11 分） 设矩阵 0 2 -3 -1 3 3 1 -2 A a = − 相似于矩阵 1 -2 0 0 0 0 3 1 B b = . （Ⅰ）求 a b, 的值. （Ⅱ）求可逆矩阵 P ，使得 1 P AP − 为对角阵. （22）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 的概率密度为 - 2 ln 2 0 ( )= 0 0 x x f x x 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数. （Ⅰ）求 Y 的概率分布； （Ⅱ）求 EY . （23）（本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 1 1 ( ; )= 1 0 x f x − 其他 其中 为未知参数， 1 2. X X X ， n 为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求 的矩估计. （Ⅱ）求 的最大似然估计