2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共6小题，每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=白的斜渐近线方程为2x+1(2)微分方程y'+2y=xnx满足y(I)=-的解为(3)设函数(x,y,z)=1+芸+兴+层，单位向量n=一(1,1,1) ，则61218V3Oulon/ (123) =.(4)设是由锥面z=/x2+y2与半球面z=R2-x2-2围成的空间区域，Z是Q的整个边界的外侧，则「xdydz+ydzdx+zdxdy=(5）设a,z,，均为3维列向量，记矩阵A=(aj,a2,as), B=(a,+a, +ag,a, +2a, +4ag,a,+3a, +9as),如果A|=1，那么B=(6)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,…,X中任取一个数，记为Y，则P(Y=2)=二、选择题（本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在 题中横线上) (1)曲线 的斜渐近线方程为 _. (2)微分方程 满足 的解为_. (3) 设函数 , 单位向量 , 则 =._. (4)设 是由锥面 与半球面 围成的空间 区 域 , 是 的整个边界的外侧 , 则 _. (5)设 均为 3 维列向量,记矩阵 , , 如果 ,那么 . (6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 , 再从 中任取一 个数,记为 , 则 =_. 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出 的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后 的括号内) 2 1 2 + = x x y xy + 2y = x ln x 9 1 y(1) = − 6 12 18 ( , , ) 1 2 2 2 x y z u x y z = + + + {1,1,1} 3 1 n = n (1,2,3) u 2 2 z = x + y 2 2 2 z = R − x − y xdydz + ydzdx + zdxdy = 1 2 3 α , , α α 1 2 3 A = ( , , ) α α α 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B = + + + + + + ( , 2 4 , 3 9 ) α α α α α α α α α A =1 B = X 1,2, , X Y P{Y = 2}
(7)设函数/(x)=lim*/1+x3"，则()在(-00,+)内(A)处处可导(B) 恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8）设F(x）是连续函数f(x）的一个原函数，"M一N"表示"M的充分必要条件是N"，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数(B)F(x)是奇函数(x)是偶函数(C)F(x)是周期函数→f(x)是周期函数(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数(9)设函数u(x,)=p(x+)+(x-)+y()dt，其中函数 具有二阶导数，业具有一阶导数，则必有(A)0=_0u(B)0u=0uax"ay?ax""ay?(c) "u_ 0"u(D) 0u_0"uaxay"ax?axyay?（10）设有三元方程xy-zlny+e=1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y）(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z）和z=z(x,Jy)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,)和z=z(x,y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,2)
(7)设函数 ,则 在 内 (A)处处可导 (B)恰有一个不 可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个 不可导点 (8)设 是连续函数 的一个原函数, 表示 的充 分必要条件是 则必有 (A) 是偶函数 是奇函数 (B) 是 奇 函数 是偶函数 (C) 是周期函数 是周期函数 (D) 是单调函数 是单调函数 (9)设函数 , 其中函数 具有二 阶导数, 具有一阶导数,则必有 (A) (B) (C) (D) (10)设有三元方程 ,根据隐函数存在定理,存在点 的一个邻域,在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 和 (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 和 (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 和 n n n f x x 3 ( ) = lim 1+ → f x( ) (−,+) F x( ) f x( ) "M N" "M N ", F x( ) f x( ) F x( ) f x( ) F x( ) f x( ) F x( ) f x( ) + − = + + − + x y x y u(x, y) (x y) (x y) (t)dt 2 2 2 2 y u x u = − 2 2 2 2 y u x u = 2 2 2 y u x y u = 2 2 2 x u x y u = ln e 1 xz xy z y − + = (0,1,1) z z x y = ( , ) x x y z = ( , ) z z x y = ( , ) y y x z = ( , ) z z x y = ( , ) x x y z = ( , ) y y x z = ( , )
(11)设a,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a,,az，则a，A(a,+a,）线性无关的充分必要条件是(A) ±0(B) ±0(C)2 = 0(D) 2 =0(12)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A',B'分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换A*的第 1 列与第 2 列得B(B)交换A'的第1行与第2行得B(C)交换A 的第 1 列与第 2 列得-B(D)交换A' 的第1 行与第2行得-B(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为x01Y00. 4a1b0.1已知随机事件(X=0与(X+Y=1)相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4(14)设X,Xz，",X,(n≥2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S?为样本方差，则(A) n~ N(0,1)(B) ns? ~ x°(n)
(11)设 是矩阵 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别 为 ,则 , 线性无关的充分必要条件是 (A) (B) (C) (D) (12)设 为 阶可逆矩阵,交换 的第 1 行与第 2 行得矩阵 分别为 的伴随矩阵,则 (A)交换 的第 1 列与第 2 列得 (B)交换 的第 1 行 与第 2 行得 (C)交换 的第 1 列与第 2 列得 (D)交换 的第 1 行与第 2 行得 (13)设二维随机变量 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 1 0.1 已知随机事件 与 相互独立,则 (A) (B) (C) (D) (14)设 为来自总体 的简单随机样本, 为 样本均值, 为样本方差,则 (A) (B) 1 2 , A 1 2 α ,α α1 1 2 A( ) α +α 1 0 2 0 1 = 0 2 = 0 A n n( 2) A * * B A B . , AB, * A * B * A * B * A * −B * A * −B ( , ) X Y a b {X = 0} {X + Y = 1} a b = = 0.2, 0.3 a b = = 0.4, 0.1 a b = = 0.3, 0.2 a b = = 0.1, 0.4 , , , ( 2) X1 X2 Xn n N(0,1) X 2 S nX ~ N(0,1) 2 2 nS n ~ ( )
(C) (n-1)X(D)("=)xi~ F(1,n-1)~t(n-l)s2x三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分11分）设D=(x,)]x +y≤/2,x≥0,y≥0)，[1+x?+] 表示不超过1+x2+y?的最大整数.计算二重积分x[1+x?+yjdxdy(16)（本题满分12分）求幂级数Z(-1)"-(1+的收敛区间与和函数f(x）Y2nn(2n-1)n=1
(C) (D) 三 、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) (15)(本题满分 11 分) 设 , 表 示 不 超 过 的最大整数. 计算二重积分 (16)(本题满分 12 分) 求幂级数 的收敛区间与和函数 . ~ ( 1) ( 1) − − t n S n X 2 1 2 2 ( 1) ~ (1, 1) n i i n X F n X = − − {( , ) 2, 0, 0} 2 2 D = x y x + y x y [1 ] 2 2 + x + y 2 2 1+ x + y + + D xy[1 x y ]dxdy. 2 2 = − − − + 1 1 2 ) (2 1) 1 ( 1) (1 n n n x n n f x( )
17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线I与1,分别是曲线C在点(0,0）与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分[(x?+x)f"(x)dx
(17)(本题满分 11 分) 如图,曲线 的方程为 ,点 是它的一个拐 点,直线 与 分别是曲线 在点 与 处的切线,其交 点为 .设函数 具有三阶连续导数,计算定积分 C y f x = ( ) (3,2) 1 l 2 l C (0,0) (3,2) (2,4) f x( ) + 3 0 2 (x x) f (x)dx
（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0,1)上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1。证明：(1)存在e(0,1),使得f()=1-.(2)存在两个不同的点n,5=(0,1)，使得f(n)f()=1
(18)(本题满分 12 分) 已知函数 在 上连续,在 内可导,且 . 证明: (1)存在 使得 . (2)存在两个不同的点 ,使得 f x( ) [0,1] (0,1) f f (0) 0, (1) 1 = = (0,1), f ( ) = 1− , (0,1) f () f ( ) = 1
（19）（本题满分12分）设函数β(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分g,)+2g的值恒为同一常数.2x2+y4(1)证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有.a+2p-0.T2x2+y4(2)求函数β(y）的表达式
(19)(本题满分 12 分) 设函数 具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲 线 上,曲线积分 的值恒为同一常数. (1)证明:对右半平面 内的任意分段光滑简单闭曲线 有 . (2)求函数 的表达式. ( y) L 2 4 ( ) 2 L 2 y dx xydy x y + + x 0 C, 2 4 ( ) 2 0 C 2 y dx xydy x y + = + ( y)
（20）（本题满分9分）已知二次型f(x,x2,x)=(1-a)x +(1-a)x +2x +2(1+a)x,x的秩为2.(1)求a的值;2)求正交变换r=Qy，把f(x,x2,x）化成标准形(3)求方程f(x,x2,x）=0的解
(20)(本题满分 9 分) 已知二次型 的秩为2. (1)求 的值； (2)求正交变换 ,把 化成标准形. (3)求方程 =0 的解. 1 2 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f (x , x , x ) = (1− a)x + (1− a)x + 2x + 2(1+ a)x x a x y = Q ( , , ) 1 2 3 f x x x ( , , ) 1 2 3 f x x x
（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵[123]B=2465（k为常数），且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解[36k]
(21)(本题满分 9 分) 已 知 3 阶 矩阵 的 第一行 是 不全 为零 , 矩阵 ( 为常数),且 ,求线性方程组 的通解. A (a,b,c), a,b,c 123 2 4 6 3 6 k = B k AB O= Ax = 0
(22）（本题满分9分）1设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,J)=00<x<1,0<y<2x其它求：（1)(X,Y)的边缘概率密度fx(x),fr(y)福(2)Z=2X-Y的概率密度fz()
(22)(本题满分 9 分) 设 二 维 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 求:(1) 的边缘概率密度 . (2) 的概率密度 ( , ) X Y f x y ( , ) = 1 0 0 1,0 2 x y x 其它 ( , ) X Y f (x), f (y) X Y Z = 2X −Y f (z). Z