2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题（1-8小题，每小题4分,共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)x2(1)极限lim(x-a(x+b)(A) 1(B)e(C) ea-b(D)eb-a(2)设函数==z(x,J)由方程F(,=)=0 确定,其中F为可微函数,且F*0则x%+y%=axyay(A) x(B) 2(C) -x(D) -z"/ln(1-x)dx的收敛性(3）设m,n为正整数，则反常积分/x(A)仅与m 取值有关(B)仅与n取值有关(C)与m,n取值都有关(D)与m,n取值都无关(4) lim台台(n+i)(n+j)(A) f'daxa(B)x(1+x1+y)d0(1+x)(1+)d)(C) I'dxJ(D) f'dxJC0(1+x)(1+y)dy(1+x)(1+)
2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四 个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 号内.) (1)极限 = (A)1 (B) (C) (D) (2)设函数 由方程 确定,其中 为可微函数,且 则 = (A) (B) (C) (D) (3)设 为正整数,则反常积分 的收敛性 (A)仅与 取值有关 (B)仅与 取值有关 (C)与 取值都有关 (D)与 取值都无关 (4) = (A) (B) (C) (D) 2 lim ( )( ) x x x → x a x b − + e e a b− e b a− z z x y = ( , ) ( , ) 0 y z F x x = F 2 F 0, z z x y x y + x z −x −z m n, 2 1 0 ln (1 ) m n x dx x − m n m n, m n, 2 2 1 1 lim ( )( ) n n x i j n → n i n j = = + + 1 2 0 0 1 (1 )(1 ) x dx dy + + x y 1 0 0 1 (1 )(1 ) x dx dy + + x y 1 1 0 0 1 (1 )(1 ) dx dy + + x y 1 1 2 0 0 1 (1 )(1 ) dx dy + + x y
(5)设A为mxn型矩阵B为nxm型矩阵，若AB=E，则(A)秩(A)=m, 秩(B)=m(B) 秩(A)=m, 秩(B)= n(C)秩(A)= n, 秩(B)= m(D)秩(A)=n, 秩(B)= n(6)设A为4阶对称矩阵，且A2+A=0.若A的秩为3,则A相似于111(A)(B)1-1001(D)(C)-1000x2(A) 0(B) 1(C) (D)1-e-l(8)设f(x)为标准正态分布的概率密度,f(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密度,af.(x)x≤o(a>0,b>0)f(x)=bf,(x)x>0为概率密度，则a,b应满足(A)2a+3b=4(B)3a+2b= 4
(5)设 为 型矩阵 为 型矩阵,若 则 (A)秩 秩 (B) 秩 秩 (C)秩 秩 (D)秩 秩 (6)设 为 4 阶对称矩阵,且 若 的秩为 3,则 相似于 (A) (B) (C) (D) (7)设随机变量 的分布函数 则 = (A)0 (B)1 (C) (D) (8)设 为标准正态分布的概率密度 为 上均匀分布 的概率密度, f x( ) = 为概率密度,则 应满足 (A) (B) A m n ,B n m AB E= , ( ) , A = m ( ) B = m ( ) , A = m ( ) B = n ( ) , A = n ( ) B = m ( ) , A = n ( ) B = n A 2 A A+ = 0, A A 1 1 1 0 1 1 1 0 − 1 1 1 0 − − 1 1 1 0 − − − X F x( ) = 0 0 1 0 1, 2 1 e 2 x x x x − − P X{ 1} = 1 1 e 2 − − 1 1 e− − 1 f x( ) 2 , ( ) f x [ 1,3] − 1 2 ( ) ( ) af x bf x 0 0 x x ( 0, 0) a b a b, 2 3 4 a b + = 3 2 4 a b + =
(C)a+b=1(D)a+b=2二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）(9)设x=e",y=f'in(1+u)du, 求)(10) [ /x cos xdy =(11)已知曲线L的方程为y=1-x(xe[-1,1]),起点是(-1,0),终点是(1,0),则曲线积分,xydx+xdy=(12)设Q=((x,,2)/x2+J≤z≤1)，则的形心的竖坐标z(13)设a,=(1,2,-1,0),a,=(1,1,0,2),,=(2,1,1,α)，若由a,α2,,形成的向量空间的维数是2，则α=(14)设随机变量X概率分布为P(X=k)=(k = 0,1,2,.), 则 EX2三、解答题（15一23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(15)（本题满分10分）求微分方程y"-3y+2y=2xe的通解
(C) (D) 二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题 纸指定位置上.) (9)设 求 = . (10) = . (11)已知曲线 的方程为 起点是 终点是 则曲线积分 = . (12) 设 则 的 形 心 的 竖 坐 标 = . (13)设 若由 形成的 向量空间的维数是 2,则 = . (14) 设随机变量 概率分布为 则 = . 三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位 置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求微分方程 的通解. a b + =1 a b + = 2 2 0 e , ln(1 ) , t t x y u du − = = + 2 2 t 0 d y dx = 2 0 x xdy cos L y x x = − − 1 { [ 1,1]}, ( 1,0), − (1,0), 2 L xydx x dy + 2 2 = + {( , , ) | 1}, x y z x y z z 1 2 3 (1,2, 1,0) , (1,1,0,2) , (2,1,1, ) , T T T α = − = = α α 1 2 3 α , , α α X { } ( 0,1,2, ), ! C P X k k k = = = 2 EX 3 2 2 ex y y y x − + =
（16)（本题满分10分）求函数f(x)=(x2-t)e-dt 的单调区间与极值
(16)(本题满分 10 分) 求函数 的单调区间与极值. 2 2 1 ( ) ( )e x t f x x t dt − = −
（17）（本题满分10分）(1)比较[lnt[ln(1+t)"dt与[t"|ntdt(n=1,2,)的大小,说明理由记u,= f"lin[n(1+)]"di(n =1,2,),求极限lim un(1)（18）（本题满分10分）
(17)(本题满分 10 分) (1)比较 与 的大小,说明理由 (1) 记 求极限 (18)(本题满分 10 分) 1 0 ln [ln(1 )]n t t dt + 1 0 ln ( 1,2, ) n t t dt n = 1 0 ln [ln(1 )] ( 1,2, ), n n u t t dt n = + = lim . n x u →
求幂级数之1一x"的的收敛域及和函数2n-1（19）（本题满分10分）设P为椭球面:x+y+2-yz=1上的动点，若s在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹c,并计算曲面积分1=+-2ds.J4+ y +22-4yz其中是椭球面S位于曲线C上方的部分
求幂级数 的收敛域及和函数. (19)(本题满分 10 分) 设 为椭球面 上的动点,若 在点 的切平面与 面垂直,求 点的轨迹 并计算曲面积分 其中 是椭球面 位于曲线 上方的部分. 1 2 1 ( 1) 2 1 n n n x n − = − − P 2 2 2 S x y z yz : 1 + + − = S P xoy P C, 2 2 ( 3) 2 , 4 4 x y z I dS y z yz + − = + + − S C
(20)（本题满分11分）(元11(a设A=00元-1已知线性方程组Ar=b存在两个不同,b=元(1(1的解。(1)求,a.(2)求方程组Ar=b的通解
(20)(本题满分 11 分) 设 已知线性方程组 存在两个不同 的解. (1)求 (2)求方程组 的通解. 1 1 0 1 0 , 1 , 1 1 1 a = − = A b Ax b = , . a Ax b =
(21)（本题满分11分）设二次型f(x,x,x)=xAx在正交变换x=Qy下的标准形为片+号,且0 的第三列为号.0.号y22(1) 求A2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵
(21)(本题满分 11 分) 设 二 次型 在正交变换 下的标准形为 且 的第三列为 (1)求 (2)证明 为正定矩阵,其中 为 3 阶单位矩阵. 1 2 3 ( , , ) T f x x x = x x A x y = Q 2 2 1 2 y y + , Q 2 2 ( ,0, ) . 2 2 T A. A E+ E
22）（本题满分11分）设二维随机变量(X+Y)的概率密度为(x,1)=Ae-2-20-,-0<x<08,-80<y<8, 求常数及 4 条件概率密度Jmx(y/x)
(22)(本题满分 11 分) 设 二 维 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 求常数及 条件概率密度 ( ) X Y+ 2 2 2 2 ( , ) e , , , x xy y f x y A x y − + − = − − A | ( | ). Y X f y x
（23）（本题满分11分）设总体X的概率分布为X123P021-00-02其中0e(0,1)未知，以N,来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于的个数(i=1,2,3),试求常数a,,4,使T=a,N,为e 的无i=l偏估计量，并求T的方差
(23)(本题满分 11 分) 设总体 的概率分布为 1 2 3 其中 未知,以 来表示来自总体 的简单随机样本(样本容量 为 )中等于 的个数 试求常数 使 为 的无 偏估计量,并求 的方差. X X P 1− 2 − 2 (0,1) Ni X n i ( 1,2,3), i = 1 2 3 a a a , , , 3 1 i i i T a N = = T