跨煮教育KUAKAOFDUICATIOIBorn towin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.）(1) 设函数y=(t)由方程e*+cos(s)=0 确定,则类dx(2）函数u=ln(x2+y2+z)在点M(1,2,-2)处的梯度gradul=-1-元0)C）n=(A）发散(B）条件收敛(C）绝对收敛(D)收敛性与α有关(3）在曲线x=t,y=-t,z=t的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线)((B）只有2条(D）不存在(A）只有1条(C）至少有3条((4）设f(x)=3x+x2|x|,则使f"(O)存在的最高阶数n为)(A) 0(B) 1(D) 3(C) 2
Born to win 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数 y y x = ( ) 由方程 cos( ) 0 x y e xy + + = 确定,则 dy dx = _. (2) 函数 2 2 2 u x y z = + + ln( ) 在点 M (1,2, 2) − 处的梯度 M gradu = _. (3) 设 2 1, < 0, ( ) 1 , 0< , x f x x x − − = + 则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x = 处收敛于 _. (4) 微分方程 y y x x + = tan cos 的通解为 y = _. (5) 设 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b = ,其中 0, 0, 1,2 . i i a b i n = 则矩阵 A 的秩 r A( ) = _. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当 x →1 时,函数 2 1 1 1 1 x x e x − − − 的极限 ( ) (A) 等于 2 (B) 等于 0 (C) 为 (D) 不存在但不为 (2) 级数 1 ( 1) (1 cos ) n n n = − − (常数 0 ) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关 (3) 在曲线 2 3 x t y t z t = = − = , , 的所有切线中,与平面 x y z + + = 2 4 平行的切线 ( ) (A) 只有 1 条 (B) 只有 2 条 (C) 至少有 3 条 (D) 不存在 (4) 设 3 2 f x x x x ( ) 3 | | = + ,则使 (0) n f 存在的最高阶数 n 为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
凶跨煮教育DCATCABorn to win[1]0(5）要使5=0,52=都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为1([2]-120-1(A) (-2 1 1)(B)011(O1-1-102X(C)(D)2201011三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分.）e*-sinx-1(1)求lim1-/i-x2+a°z(2）设z=f(esiny,x2+y),其中f具有二阶连续偏导数，求axoy[1+x2,x≤0,f(x-2)dx(3)设(x)=求x>0,e-r四、（本题满分6分.）求微分方程y"+2y-3y=e-3的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分[[(x+az)dydz+(y+ax)dzdx+(+ay)dxdy，其中为上半球面z=a?-x-y的上侧六、(本题满分7分)设f"(x)0,>0,有f(+)<f()+f(x)七、（本题满分8分)在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x+?=1上第一卦限的点M(,n,)，问当n,取何值时，力F所做的功W最ab?大?并求出W的最大值
Born to win (5) 要使 1 2 1 0 0 , 1 2 1 = = − 都是线性方程组 Ax = 0 的解,只要系数矩阵 A 为 ( ) (A) (−2 1 1) (B) 2 0 1 0 1 1 − (C) 1 0 2 0 1 1 − − (D) 0 1 1 422 0 1 1 − − − 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.) (1) 求 0 2 sin 1 lim 1 1 x x e x x → − − − − . (2) 设 2 2 ( sin , ) x z f e y x y = + ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z x y . (3) 设 2 1 , 0, ( ) , >0, x x x f x e x − + = 求 3 1 f x dx ( 2) − . 四、(本题满分 6 分.) 求微分方程 3 2 3 x y y y e − + − = 的通解. 五、(本题满分 8 分) 计算曲面积分 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) ( ) x az dydz y ax dzdx z ay dxdy + + + + + ,其中 为上半球 面 2 2 2 z a x y = − − 的上侧. 六、(本题满分 7 分) 设 f x ( ) 0 , f (0) 0 = ,证明对任何 1 2 x x 0, 0 ,有 1 2 1 2 f x x f x f x ( ) ( ) ( ) + + . 七、(本题满分 8 分) 在变力 F yz zx xy = + + i j k 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 上第一卦限的点 M ( , , ) ,问当 , , 取何值时,力 F 所做的功 W 最 大?并求出 W 的最大值
跨考教育XKUAKAOEDUCATIORBorntowin八、(本题满分7分)设向量组α、α2、α,线性相关,向量组α、αα,线性无关,间：(1）α,能否由α、α,线性表出？证明你的结论(2）α能否由α、αz、α,线性表出？证明你的结论。九、(本题满分7分)设3阶矩阵A的特征值为2=12=2.2=3,对应的特征向量依次为[1][1][123又向量β=25 =1.553[9][3][4][i](1）将β用与,52,5,线性表出.(2）求Aβ（n为自然数）十、填空题（本题满分6分，每小题3分.）, P(AB)=0,P(AC)= P(BC)=则事件A、B、(1) 已知 P(A)=P(B)=P(C)=X16C全不发生的概率为(2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X+e-2X）=十一、(本题满分 6分)设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N(u,α2)，Y服从[-元,元]上的均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数(x)表示，其中2e 2dt)g(x)=V2元
Born to win 八、(本题满分 7 分) 设向量组 1 2 3 、 、 线性相关,向量组 234 、 、 线性无关,问： (1) 1 能否由 2 3 、 线性表出？证明你的结论. (2) 4 能否由 1 2 3 、 、 线性表出？证明你的结论. 九、(本题满分 7 分) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 = = = 1, 2, 3,对应的特征向量依次为 1 2 3 1 1 1 1 , 2 , 3 1 4 9 = = = ,又向量 1 2 3 = , (1) 将 用 1 2 3 , , 线性表出. (2) 求 n A ( n 为自然数). 十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.) (1) 已知 1 ( ) ( ) ( ) 4 P A P B P C = = = , P AB ( ) 0 = , 1 ( ) ( ) 16 P AC P BC = = ,则事件 A 、 B 、 C 全不发生的概率为_. (2) 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 2 ( ) X E X e− + = _. 十一、(本题满分 6 分) 设随机变量 X 与 Y 独立, X 服从正态分布 2 N( , ) ,Y 服从 [ , ] − 上的均匀分布,试 求 Z X Y = + 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 ( ) x 表示,其中 2 2 1 ( ) 2 t x x e dt − − = )
凶跨煮教育DUCATIOIKUAKABorntowin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）er+y -ysin(xy)(1）【答案】e+y -xsin(xy)【解析】函数y=(x)是一个隐函数，即它是由一个方程确定，写不出具体的解析式。方程两边对x求导，将y看做x的函数，得e*+(1+y)+sin(xy)(xy+y)=0.解出y"，即=y=-e"-ysin(m)dxe*+y-xsin(xy)【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果u=g(x)在点x可导，而y=f(x)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为dydy_dydu=f(u)·g(x)或dxdxdu dx2.两函数乘积的求导公式：[f(x)·g(x)) = f'(x)·g(x)+ f(x)·g'(x)(2）【答案】(1,2, -2)9【解析】对函数u求各个分量的偏导数，有2xQu2youou2zaxx+y+2oyx?+y +22zx+y+2?由函数的梯度（向量）的定义，有Jou Ou ou]1gradu=+y*+2 (2x,2y,2=),[ax"ay'az ]1(1, 2, -2)所以gradl/ =P+2++(-2) (2.4 -4) 【相关知识点】复合函数求导法则：如果u=g(x)在点x可导,而y=f(x)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)在点x可导，且其导数为dy_dy.du= f(u)·g(x)或dxdxdu dx1(3）【答案】P
Born to win 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 sin( ) sin( ) x y x y e y xy e x xy + + − − − 【解析】函数 y y x = ( ) 是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对 x 求导,将 y 看做 x 的函数,得 (1 ) sin( )( ) 0 x y e y xy xy y + + + + = .解出 y ,即 sin( ) sin( ) x y x y dy e y xy y dx e x xy + + − = = − − . 【相关知识点】1.复合函数求导法则： 如果 u g x = ( ) 在点 x 可导,而 y f x = ( ) 在点 u g x = ( ) 可导,则复合函数 y f g x = ( ) 在点 x 可导,且其导数为 ( ) ( ) dy f u g x dx = 或 dy dy du dx du dx = . 2.两函数乘积的求导公式： f x g x f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + . (2)【答案】 2 1, 2, 2 9 − 【解析】对函数 u 求各个分量的偏导数,有 2 2 2 u x2 x x y z = + + ； 2 2 2 u y 2 y x y z = + + ； 2 2 2 u z 2 z x y z = + + . 由函数的梯度(向量)的定义,有 2 2 2 1 , , 2 ,2 ,2 uuu gradu x y z x y z x y z = = + + , 所以 2 2 2 1 2 2,4, 4 1,2, 2 1 2 ( 2) 9 M gradu = − = − + + − . 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果 u g x = ( ) 在点 x 可导,而 y f x = ( ) 在点 u g x = ( ) 可导,则复合函数 y f g x = ( ) 在点 x 可导,且其导数为 ( ) ( ) dy f u g x dx = 或 dy dy du dx du dx = . (3)【答案】 1 2 2
跨煮教育KUAKAOEDUCATIORBorntowin【解析】X=元是[一元，元]区间的端点，由收敛性定理一狄利克雷充分条件知，该傅氏级数在x=元处收敛于[(-元+0)+(元-0)]=[-1+1+元21【相关知识点】收敛性定理一狄利克雷充分条件：函数f(x)在区间[-1,]上满足：（i）连续，或只有有限个第一类间断点；（ii）只有有限个极值点.则f(x)在[-1,1]上的傅里叶级数收敛，而且鲁+Z(a, cosx+b,sinx211n=1f(x),若xe(-l,I)为f(x)的连续点,[f(x+0)+f(x-0)]，若xE(-1,I)为f(x)的第一类间断点，[(- +0)+ F(I-0)],若x=±（4）【答案】y=xcosx+CcosxC为任意常数1tanxdt【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程，由于e方程两边同乘[cos.x]1，得cos.x积分/V=x+CcosxcOsx故通解为y=xcosx+Ccosx,C为任意常数.(5）【答案】1【解析】因为矩阵A中任何两行都成比例(第1行与第j行的比为），所以A中的二阶a,子式全为0,又因a,±0,b,±0,知道αb±0，A中有一阶子式非零.故r(A)=1.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零时，则此矩阵的秩为r
Born to win 【解析】 x = 是 [ , ] − 区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在 x = 处收敛于 1 1 1 2 2 [ ( 0) ( 0)] [ 1 1 ] 2 2 2 f f − + + − = − + + = . 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件： 函数 f x( ) 在区间 [ , ] −l l 上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有 限个极值点.则 f x( ) 在 [ , ] −l l 上的傅里叶级数收敛,而且 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a n n a x b x l l = + + ( ), ( , ) ( ) 1 ( 0) ( 0) , ( , ) ( ) 2 1 ( 0) ( 0) , . 2 f x x l l f x f x f x x l l f x f l f l x l − = + + − − − + + − = 若 为 的连续点, 若 为 的第一类间断点, 若 (4)【答案】 y x x C x C = + cos cos , 为任意常数 【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于 tan 1 | cos | xdx e x = ,方程两边同乘 1 cos x ,得 1 1 1 cos cos y y x C x x = = + 积分 . 故通解为 y x x C x C = + cos cos , 为任意常数. (5)【答案】1 【解析】因为矩阵 A 中任何两行都成比例(第 i 行与第 j 行的比为 i j a a ),所以 A 中的二阶 子式全为 0,又因 0, 0 i i a b ,知道 1 1 ab 0 , A 中有一阶子式非零.故 r A( ) 1 = . 【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在 r 阶子式不为零,而所有的 r +1 阶子式全为 零时,则此矩阵的秩为 r
7跨考教育XKUAKAOEDUCATIONBornto win二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点x的极限是否存在需要判定左极限x→x和右极限x→x是否存在且相等，若相等，则函数在点x的极限是存在的1x2-1 -x-1-limer-I = lim(x+1)er-1 = 0,limex-1 = lim(x+ 1)er-1 = 00x-r x-1x→ x-1x-→>1x-→10≠80，故当x→>1时函数没有极限，也不是0.故应选(D)。(2）【答案】(C)11【解析】对原级数的通项取绝对值后，再利用等价无穷小1-cos-(n→+o0),n2n=1-cosα_ α2a-1)"(1-cos -(n→+00) ,n2nnV又因为p级数：当p>1时收敛；当p≤1时发散n=I nPla?所以有收敛7=2n?a(-1)"(1-cos收敛.所以原级数绝对收敛.应选（C)。nn=l注：对于正项级数α,，确定无穷小α,关于一的阶(即与p级数作比较)是判断它的敛散性h=in的一个常用方法，该题用的就是这个方法(3）【答案】B【解析】先求出切线的方向向量，再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的值.求曲线上的点，使该点处的切向量t与平面x+2y+z=4的法向量n=(1,2,1)垂直，即可以让切线与平面平行。曲线在任意点处的切向量t={x(t),y(),=(t)=(1,-2t,3t2),nn·T=0,即1-4t+3t3=0,解得t=1,t=，(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)3因此，只有两条这种切线，应选(B)
Born to win 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】对于函数在给定点 0 x 的极限是否存在需要判定左极限 0 x x → − 和右极限 0 x x → + 是否存在且相等,若相等,则函数在点 0 x 的极限是存在的. 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim( 1) 0 1 x x x x x e x e x − − − − → → − = + = − , 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim( 1) 1 x x x x x e x e x + + − − → → − = + = − , 0 ,故当 x →1 时函数没有极限,也不是 .故应选(D). (2)【答案】(C) 【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小 2 1 1 1 cos ( ) 2 n n n − → + , 2 2 ( 1) (1 cos ) 1 cos ( ) 2 n n n n n − − = − → + , 又因为 p 级数： 1 1 p n n = 当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散. 所以有 2 2 1 1 n 2 n = 收敛. 1 ( 1) (1 cos ) n n n = − − 收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C). 注：对于正项级数 1 n n a = ,确定无穷小 n a 关于 1 n 的阶(即与 p 级数作比较)是判断它的敛散性 的一个常用方法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B 【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0 得切点 对应的 t 值. 求曲线上的点,使该点处的切向量 与平面 x y z + + = 2 4 的法向量 n =1,2,1 垂直, 即可以让切线与平面平行. 曲线在任意点处的切向量 2 = = − x t y t z t t t ( ), ( ), ( ) 1, 2 ,3 , n n ⊥ = 0,即 3 1 4 3 0 − + = t t ,解得 1 1, 3 t t = = .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上) 因此,只有两条这种切线,应选(B)
跨煮教育KUAKAOEDUCATIOIBorntowin(4)【答案】(C)【解析】因3x处处任意阶可导，只需考查x2|x(x)，它是分段函数，x=0是连接点.所以，写成分段函数的形式，有-x,x0,再考查(x)在连接点x=0处的导数是否存在，需要根据左导数和右导数的定义进行讨论p(0)=(x)|x=0 =0, p(0)=(-x)r=0 =0=p(0)=0,-3x2,x≤0,即p(x)=[3x, x>0.-6x,x06x,x>0对于=x有(0)=1,(0)=-1.所以y=x在x=0不可导，=β"(O)不存在，应选(C)(5）【答案】（A)【解析】E，E,向量对应的分量不成比例，所以E，E,是Ax=0两个线性无关的解，故n-r(A)≥2.由n=3知r(A)≤1.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2：而(D)选项秩为3.故本题选(A)【相关知识点】对齐次线性方程组Ax=0，有定理如下：对矩阵A按列分块，有A=(α,α2，",α,），则Ax=0的向量形式为xa,+xa,+.+x,a,=0那么，Ax=0有非零解α,αz,α,线性相关r(αj,α,",α,)<n≤r(A)<n三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分.）
Born to win (4)【答案】(C) 【解析】因 3 3x 处处任意阶可导,只需考查 2 x x x | | ( ) ,它是分段函数, x = 0 是连接点. 所以,写成分段函数的形式,有 3 3 , 0, ( ) , 0, x x x x x − = 对分段函数在对应区间上求微分, 2 2 3 , 0, ( ) 3 , 0, x x x x x − = 再考查 ( ) x 在连接点 x = 0 处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论. 3 0 (0) ( ) 0 x x + + = = = , 3 0 (0) ( ) 0 (0) 0 x x − − = = − = = , 即 2 2 3 , 0, ( ) 3 , 0. x x x x x − = 同理可得 6 , 0, ( ) 6 , 0, x x x x x − = (0) 0 = ,即 6 , 0 ( ) 6 | | 6 , 0 x x x x x x − = = . 对于 y x = 有 y y (0) 1, (0) 1. + − = = − 所以 y x = 在 x = 0 不可导,(0) 不存在,应选(C). (5)【答案】(A) 【解析】 1 , 2 向量对应的分量不成比例,所以 1 , 2 是 Ax = 0 两个线性无关的解,故 n r A − ( ) 2 .由 n = 3 知 r A( ) 1 . 再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组 Ax = 0,有定理如下: 对矩阵 A 按列分块,有 A , , , = ( 1 2 n ) ,则 Ax = 0 的向量形式为 1 1 2 2 0 n n x x x . + + + = 那么, Ax = 0 有非零解 1 2 n , , , 线性相关 r , , , n ( 1 2 n ) r A n. ( ) 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)
跨考教育KUAKAOEDUCATIORBornto win(1）【解析】由等价无穷小有x一→0时，1-1y222e'-1-sinxe'-1-sinx=lim原式=lim2rx-→01-V1-x2X→(0上式为“”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，所以连续应用两次洛必达法0则，有e"-cosxe'+sinx1+0洛必达lim原式洛必达lim=1x→011xr（2）【解析这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的.Oz，再求由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，所以本题可以先求axayax由复合函数求导法则得-fara-(x?+y2)=f"-e"siny+f'-2x-(e* sin y)+ f’=%ax==%(fesiny+f:2x)axoyay(fife'cosy+fi"2y)e"sin y+f'e'cosy+(fle*cosy+f2y)2xfii-e2*sinycosy+2fi"-e"(ysiny+xcosy)+4f.xy+f'.e"cosy.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u=p(x,J),v=y(x,J)都在点(x,J)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f(g(x,y),y(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在，且有OzOzOuOzOvc.ouc,Ov+f12 axaxQuaxOvaxaxou+ayQuoyovdyayJ2ay（3）【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外，被积函数的中间变量非积分变量，若先作变量代换，往往会简化计算。令x-2=t，则dx=dt.当x=1时，t=-1：当x=3时，t=1,于是
Born to win (1)【解析】由等价无穷小有 x →0 时, 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 − − − − = x x x , 原式= 0 0 2 2 1 sin 1 sin lim lim 1 1 1 2 x x x x e x e x x x → → − − − − = − − , 上式为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法 则,有 原式 0 0 cos sin lim lim 1 x x x x e x e x → → x − + 洛必达 洛必达 1 0 1 1 + = = . (2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何 复合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求 z x ,再求 ( )z y x . 由复合函数求导法则得 2 2 1 2 1 2 ( sin ) ( ) sin 2 z x x f e y f x y f e y f x x x x = + + = + , 2 1 2 ( sin 2 ) z x f e y f x x y y = + 11 12 1 21 22 ( cos 2 ) sin cos ( cos 2 )2 x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x = + + + + 2 11 12 22 1 sin cos 2 ( sin cos ) 4 cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y = + + + + . 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 u x y v x y = = ( , ), ( , ) 都在点 ( , ) x y 具 有对 x 及对 y 的偏导数,函数 z f u v = ( , ) 在对应点 ( , ) u v 具有连续偏导数,则复合函数 z f x y x y = ( ( , ), ( , )) 在点 ( , ) x y 的两个偏导数存在,且有 1 2 z z u z v u v f f x u x v x x x = + = + ； 1 2 z z u z v u v f f y u y v y y y = + = + . (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量 非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算. 令 x t − =2 ,则 dx dt = . 当 x =1 时, t =−1 ；当 x = 3 时, t =1,于是
跨煮教育KAOEDUCATIBorntowinT'r(x-2)t=L, (分α[,(++r)a+J,e~'dt=(++)-l-四、（本题满分6分.）【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程，所对应的齐次方程的特征方程r2+2r-3=(r-1)(r+3)=0有两个根为r=1,r=-3,而非齐次项e,α=-3=r为单一，故所求通特征根，因而非齐次方程有如下形式的特解Y=x·ae-3x，代入方程可得a=X解为y=C,e +C,e-e"，其中C,C,为常数.4【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y(x）是二阶线性非齐次方程y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0的通解,则y=Y(x)+y(α)是非齐次方程的通解2．二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x)，可用特征方程法求解：即y"+P(x)y'+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为y"+py+qy=0.其特征方程写为r?+pr+q=0，在复数域内解出两个特征根r,z2；分三种情况：(1）两个不相等的实数根r,，则通解为y=C,e"+C,e；(2）两个相等的实数根ri=2，则通解为y=(C,+C,x)em；(3）一对共轭复根riz2=α±iβ，则通解为y=e(C.cosβx+C,sinβx).其中C,C2为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解y(x)，可用待定系数法，有结论如下：如果f(x)=P(x)ex,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)=x*m(x)e的特解,其中Qm(x)是与P(x)相同次数的多项式，而k按a不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f(x)=e[P(x)cosのx+P,(x)sinのxl,则二阶常系数非齐次线性微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的特解可设为
Born to win ( ) 3 1 0 1 2 1 1 1 0 ( 2) ( ) 1 t f x dx f t dt t dt e dt − − − − = + + 分段 0 1 3 0 1 1 7 1 . 3 3 t t t e e − − = + − = − 四、(本题满分 6 分.) 【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程 2 r r r r + − = − + = 2 3 ( 1)( 3) 0 有两个根为 1 r =1, 2 r =−3,而非齐次项 2 , 3 x e r = − = 为单 特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解 3x Y x ae− = ,代入方程可得 1 4 a = − ,故所求通 解为 3 3 1 2 4 x x x x y C e C e e − − = + − ,其中 1 2 C C, 为常数. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 * y x( ) 是二阶线性非齐次方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的一个特解.Y x( ) 是与之对应的齐次方程 y P x y Q x y + + = ( ) ( ) 0 的通解,则 * y Y x y x = + ( ) ( ) 是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 Y x( ) ,可用特征方程法求解：即 y P x y Q x y + + = ( ) ( ) 0 中的 P x( )、Q x( ) 均是常数,方程 变为 y py qy + + = 0 .其特征方程写为 2 r pr q + + = 0 ,在复数域内解出两个特征根 1 2 r r, ； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根 1 2 r r, ,则通解为 1 2 1 2 ; rx r x y C e C e = + (2) 两个相等的实数根 1 2 r r = ,则通解为 ( ) 1 1 2 ; rx y C C x e = + (3) 一对共轭复根 1,2 r i = ,则通解为 ( 1 2 cos sin .) x y e C x C x = + 其中 1 2 C C, 为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的一个特解 * y x( ) ,可用待定 系数法,有结论如下： 如果 ( ) ( ) , x m f x P x e = 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 * ( ) ( ) k x m y x x Q x e = 的特解,其中 ( ) Q x m 是与 ( ) P x m 相同次数的多项式,而 k 按 不是特征方程的根、是特征方 程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2. 如果 ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x = + ,则二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的特解可设为
跨煮教育KUAKADCABorntowiny = xe[R(x)cosox+ R(2'(x)sin ox]其中R(x)与R(2(x)是m次多项式，m=max(l,n)，而k按+io（或-io）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.五、(本题满分8分)[解析1 将原式表成 I= [ Payd+Qdd+ Rady,则器+0 + R=3(x*+ y +2),.axyαz以考虑用高斯公式来求解，但曲面乙不是封闭的，要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的，故不采用.添加辅助面S:z=0(x+y≤α),法向量朝下，S与围成区域Q，S与取Q的外法向量.在2上用高斯公式得I + [(x + az2)dydz +(3 + ax2)dzdx +(=3 + ay2)dxdy =3[[(x2 + y2 + 22)dV.S用球坐标变换求右端的三重积分得3f(x?+2 +)d=3f2"dofsinpdp"pp'dp=3×2sinpdofp'dp=3×2×1×=元a55注意S垂直于平面yOz与平面xOz，将积分投影到xOy平面上，所以左端S上的曲面[[Pdydzdx+Qdzdx + Rdxdy积分为-0 + 0+ [[ R(x, y, O]dxdy = [[ ay dxdy = -a [ y'dxd)-a"derr?.sin?rdr（极坐标变换）-a["sin’edo[rdr =-ax)A0a+-%元元a因此5"420【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域Q是由分片光滑的闭曲面2所围成，函数P(x,Jy,z)、Q(x,y,=)、R(x,y,=)在Q上具有一阶连续偏导数,则有
Born to win * (1) (2) [ ( )cos ( )sin ] k x m m y x e R x x R x x = + , 其中 (1) ( ) R x m 与 (2) ( ) R x m 是 m 次多项式, m l n = max , ,而 k 按 +i (或 −i )不是特征 方程的根、或是特征方程的单根依次取为 0 或 1. 五、(本题满分 8 分) 【解析】将原式表成 I Pdydz Qdzdx Rdxdy = + + ,则 2 2 2 3( ) P Q R x y z x y z + + = + + . 以考虑用高斯公式来求解,但曲面 不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算 是比较复杂的,故不采用. 添加辅助面 2 2 2 S z x y a : 0( ) = + ,法向量朝下, S 与 围成区域 , S 与 取 的外 法向量.在 上用高斯公式得 3 2 3 2 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) S I x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV + + + + + + = + + . 用球坐标变换求右端的三重积分得 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 3 ( ) 3 sin a x y z dV d d d + + = 2 4 5 5 0 0 1 6 3 2 sin 3 2 1 5 5 a d d a a = = = . 注意 S 垂直于平面 yOz 与平面 xOz ,将积分投影到 xOy 平面上,所以左端 S 上的曲面 积分为 S Pdydzdx Qdzdx Rdxdy + + 2 2 0 0 ( , ,0) xy S S D = + + = = − R x y dxdy ay dxdy a y dxdy 2 2 2 0 0 sin a a d r rdr = − (极坐标变换) 4 2 2 3 5 0 0 sin 4 4 a a a d r dr a a = − = − = − . 因此 6 29 5 5 5 5 4 20 I a a a = + = . 【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成,函数 P x y z ( , , ) 、Q x y z ( , , )、 R x y z ( , , ) 在 上具有一阶连续偏导数,则有