教学建议学习目标第四章积分及其应用$4.1定积分的概念与性质84.2不定积分的概念与性质84.3禾积分的基本公式$ 4.4换元积分法$ 4.55分部积分法S4.6无限区间上的反常积分84.7积分学的应用
§4.1 定积分的概念与性质 §4.3 积分的基本公式 第四章 积分及其应用 §4.4 换元积分法 §4.2 不定积分的概念与性质 §4.5 分部积分法 §4.6 无限区间上的反常积分 §4.7 积分学的应用 教学建议 学习目标
s4.6无限区间上的反常积分f(x)dx 的积分区间是有限区间[a,b].([a,+),现将积分区间由有限区间推广到无限区间(一00,b],(18,+8)-Qf(x)dx,C.b即f(x)dx,这就是无限区间0上的反常积分 f (x)dx
§4.6 无限区间上的反常积分 的积分区间是有限区间 [a,b]. b a f (x)dx 现将积分区间由有限区间推广到无限区间 [a,+), (−,b], (−,+). 即 这就是无限区间 上的反常积分 ( )d , + a f x x ( )d , − b f x x ( )d . + − f x x
案例计算由曲线y=e-x,直线x=O,V=O所围图形的面积记所求的面积为C+811e-xdx.为了求得该图形的面积,取10b>0,先作直线 x=b.1作由定积分的几何意义，图中网 =e-xV格部分(曲边梯形)的面积为图.b~e-*dx=-e- =1-e-b.Jo显然,当直线x=b愈向右移动,Obb bbx网格部分的图形愈向右延伸，从而愈接近我们所求的面积.按我们对极限概念的理解,自然应认为所求的面积为lime-xdx = lim (1-e-b) = 1.b-→>+oo Job->+8
案 例 计算由曲线 ,直线 ,所围图 形的面积. x y − = e x = 0, y = 0 x y − = e 作 图 o x 为了求得该图形的面积,取 b 0, 先作直线 x = b. 由定积分的几何意义,图中网 格部分(曲边梯形)的面积为 − b x x 0 e d e 1 e . 0 −x b −b = − = − 网格部分的图形愈向右延伸,从而愈接近我们所求的面积.按我 们对极限概念的理解,自然应认为所求的面积为 显然,当直线 x = b 愈向右移动, lim e d lim (1 e ) 1. 0 = − = − →+ − →+ b b b x b x y 1 b b b b 记所求的面积为 e d . 0 + − x x
反常积分定义(1)函数f(x)在无限区间α,十o0)上的反常积分记作+8f(x)dx.a取b>a,若极限.blim1. f(x)dxb→>+oo Ja存在,则称反常积分收敛,并以这一极限值为该反常积分的值，即+8. /f (x)dx.f(x)dx =lim?+8af(x)dx 发散.若上述极限不存在,则称反常积分
反常积分 定义 + a f (x)dx. (1)函数 f (x) 在无限区间 [a,+) 上的反常积分记作 →+ b b a lim f (x)dx 取 b a ,若极限 存在,则称反常积分收敛,并以这一极限值为该反常积分的值,即 lim ( )d . →+ b b a = f x x + a f (x)dx 若上述极限不存在,则称反常积分 发散. + a f (x)dx
反常积分定义(2)函数f(x)在无限区间(一00,b]上的反常积分.bm f(x)dx6用极限lim.f(x)dx (a<b)存在与否来定义它的敛散性a→- Ja+8f(x)dx(3)函数f(x)在无限区间(一00,十00)上的反常积分+8定义为「+αf (x)dx =f (x)dx +f (x)dxC其中C是任一有限数,仅当等式右端的两个反常积分都收敛时左端的反常积分才收敛；否则,左端的反常积分是发散的
反常积分 定义 (2)函数 f (x) 在无限区间 (−,b] 上的反常积分 − b f (x)dx 用极限 (a b) →− b a a lim f (x)dx 存在与否来定义它的敛散性. (3)函数 f (x) 在无限区间 (−,+) 上的反常积分 + − f (x)dx 定义为 ( )d ( )d ( )d . + − + − = + c c f x x f x x f x x 其中 是任一有限数,仅当等式右端的两个反常积分都收敛时, 左端的反常积分才收敛； c 否则,左端的反常积分是发散的
练习1dx计算反常积分解：按反常积分敛散性的定义,取b>1，则+811dxdx = 1lim小b→+oo J1xb1|b =1-1先计算定积分dx二6X+81再取极限dx = lim (1 - l) = 1.J.1b-→+
解 练习1 计算反常积分 d . 1 1 2 + x x 按反常积分敛散性的定义,取 b 1, 则 + 1 2 d 1 x x →+ = b b x 1 x 2 d 1 lim 先计算定积分 , 1 1 1 1 x b b = − = − b x 1 x 2 d 1 再取极限 + 1 2 d 1 x x ) 1. 1 (1− = →+ b = b lim
为了书写方便,计算反常积分时,也采取牛顿一一莱布尼茨公式的记法f(x)的一个原函数,则即,若F(x)是函数+8?+8f(x)dx = F(x)= F(+0) - F(a)aa这里，F(+o0)要理解为极限记号,即F(+o0) = lim F(x)x→>+8
为了书写方便,计算反常积分时,也采取牛顿——莱布尼茨公 式的记法. = + a f (x)dx F(x) + a = F(+) − F(a). 这里, F(+) 要理解为极限记号,即 F(+) = lim F(x). x→+ 即,若 F(x) 是函数 f (x) 的一个原函数,则
+8练习2判定cos xdx 是收敛的还是发散的?Jo+8解cos xdx = sin Xt由于当x →十o时,sin x没有极限，所以该反常积分发散L
解 练习2 判定 + 0 cos xdx 是收敛的还是发散的? cos d sin , 0 0 + + = x x x 由于当 x → + 时, sin x 没有极限, 所以该反常积分发散