教学建议学习目标第三章导数的应用S3.1函数的单调性与极值S3.2极值的几何应用83.3边际与弹性83.4极值的经济应用$3.5曲线凹凸与拐点
§3.1 函数的单调性与极值 §3.2 极值的几何应用 §3.3 边际与弹性 教学建议 学习目标 第三章 导数的应用 §3.4 极值的经济应用 §3.5 曲线凹凸与拐点
$ 3.2极值的几何应用在资源一定的情况下实际中是最大值问题要求效益最佳的问题而在效益一定的情况下,要是最小值问题求所消耗的资源最少的问题何谓最大值？最小值？
§3.2 极值的几何应用 在资源一定的情况下, 要求效益最佳的问题 是最大值问题 实际中 而在效益一定的情况下,要 求所消耗的资源最少的问题 是最小值问题 何谓最大值?最小值?
最大值与最小值的定义设函数f(x)在区间I上,若 E I且对该区间内一切X,有tyf(x)≤f(x) 或 f(x)≥ f(x)y= f(x)则称f(x)是函数f(x)在区间 I上的最大值或最小值,分别记作M(fmax(x) 或 m(fmin(x))0xaxx bX2X3最大值与最小值统称最值Ymx = f(x4)由最大值与最小值的定义知Ymin = f(a)
最大值与最小值的定义 或 ( ) ( ), 0 f (x) f (x0 ) f x f x 设函数 在区间 上, 若 , 0 f (x) I x I 则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 在区间 I ( ( )) max M f x 或 ( ( )). min m f x 上的最大值或最小值,分别记作 且对该区间内一切 x ,有 ( ), max 4 y = f x y o a b x 1 x 2 x 3 x 4 x y = f (x) 由最大值与最小值的定义知 ( ). min y = f a 最大值与最小值统称最值
最值极值1.函数的极值是仅就函数1.而函数的最值是函数y=f(x)有定义的区间内某y= f(x)在所考察的区间一点X.的邻近，即在局部范上比较函数值的大小，故围内比较函数值的大小，故必有Ymin≤max区别Y极大<y极小，2.一个函数在一个区间上2.一个函数在一个区间上只能有一个最大值和最小值.可以有几个极大值和极小值.3.最值可在区间内部取得3.极值只能在区间内部取也可在区间端点处取得联系得若在区间内部求函数的最值，则只能在函数的极值中寻找特别是在解极值应用问题时，常常是下述情况：
极值 1. 函数的极值是仅就函数 有定义的区间内某 一点 的邻近,即在局部范 围内比较函数值的大小,故 2.一个函数在一个区间上 可以有几个极大值和极小 值. 3.极值只能在区间内部取 得. y = f (x) 0 x . 极大 极小 y y 1. 而函数的最值是函数 在所考察的区间 上比较函数值的大小,故 必有 2.一个函数在一个区间上 只能有一个最大值和最小 值. 3.最值可在区间内部取得, 也可在区间端点处取得. y = f (x) . min max y y 区别 最值 若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找. 特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况: 联系
若函数f(x)在区间 I内仅ty= f(x)有一个极大值而没有极小值，则该极大值就是函数在该区间F()内的最大值极大值b x0xoa最大值若函数f(x)在区间 I 内仅yy= f(x)有一个极小值而没有极大值则该极小值就是函数在该区间内的最小值(x极小值Xob x最小值
y 0 x O a b x 若函数 在区间 内仅 有一个极大值而没有极小值, 则该极大值就是函数在该区间 内的最大值. f (x) I 若函数 在区间 内仅 有一个极小值而没有极大值, 则该极小值就是函数在该区间 内的最小值. f (x) I y = f (x) 0 x b y O a x y = f (x) 极大值 最大值 极小值 最小值 ( ) 0 f x ( ) 0 f x
解最大值与最小值实际应用问题的程序(3)作出结论：(2)解极值问题：(1)分析问题按实际问题应用极值知识的要求给出建立目标函数求目标函数的结论最大值或最小值在充分理解题意的基础上,设出自变量与因变量.一般地,是把问题的目标，即要求的量作为因变量，把它所依赖的量作为自变量，建立二者的函数关系，即目标函数，并确定该函数的定义域；
(1)分析问题, 建立目标函数: 解最大值与最小值实际应用问题的程序 (3)作出结论: 按实际问题 的要求给出 结论. 在充分理解题意的基础上,设出自变量与因变量.一般地,是把 问题的目标,即要求的量作为因变量,把它所依赖的量作为自变 量,建立二者的函数关系,即目标函数,并确定该函数的定义域; (2)解极值问题: 应用极值知识, 求目标函数的 最大值或最小值;
案例一块边长为24cm的正方形纸板,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为多少时时,能得到一个容积最大的方盒？最大容积是多少？24解案例该案例是在资源一定的情况下,即纸板的大小给定,要求效益最佳的问题,即要使x方盒的容积最大(1)分析问题,建立目标函数按题目的要求,在纸板大小给定的条件下，要使方盒的容积最大是我们的目标.而方盒的容积依赖于截掉的小正方形的边长.这样目标函数就是方盒的容积与截掉的小正方形边长之间的函数关系
案 例 一块边长为24cm的正方形纸板,四角各截去一个 大小相同的小正方形,然后将四边折起做一个无盖 的方盒.问截掉的小正方形边长为多少时时,能得 到一个容积最大的方盒? 最大容积是多少? 该案例是在资源一定的情况下,即纸 板的大小给定,要求效益最佳的问题,即要使 方盒的容积最大. 解案例 (1) 分析问题, 按题目的要求,在纸板大小给定的条件下, 要使方盒的容积最大是我们的目标.而方盒 的容积依赖于截掉的小正方形的边长.这样, 目标函数就是方盒的容积与截掉的小正方形 边长之间的函数关系
解案例(1)分析问题,建立目标函数设截掉的小正方形的边长为X,则方盒底的边长为24一2x由此知,截掉的小正方形的边长最长为12cm.若以V表示方盒的容积,则V与X的函数关系为V = x(24 -2x),24x E (0,12)(2)解极大值问题x确定的取值,以使方盒的容积取最大值，dV=((24 - 2x)2 - 4x(24 - 2x)dx= (24 - 2x)(24 - 6x)dV=0,得驻点x= 4和 x=12 (舍).令dx
解案例 (1) 分析问题, 设截掉的小正方形的边长为 x ,则方盒底的边长为 24 − 2x, (24 2 ) , 2 V = x − x x(0,12). (2) 解极大值问题 确定的取值,以使方盒的容积取最大值. (24 2 ) 4 (24 2 ) d d 2 x x x x V = − − − = (24 − 2x)(24 − 6x). 令 0 , 得驻点 和 d d = x V x = 4 x =12 (舍). 由此知,截掉的小正方形的边长最长为12cm.若以 表示方盒 的容积,则 与 的函数关系为 V V x
解案例(2)解极大值问题dV(续)=((24 - 2x)(24 - 6x)dxdVdV>0,当x E (4,12)时<0,因为当x E(O,4)) 时dxdx所以x二4是极大值点，由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点,这也就是取最大值的点(3)结论当截掉的小正方形边长x=4 cm时,方盒容积V最大,最大容积为V = 4 ×(24-2×4)2 = 1024 (cm3)
解案例 (续) (2) 解极大值问题 x V d d = (24 − 2x)(24 − 6x). 因为当 x(0,4) 时, 0, d d x V 所以 x = 4 是极大值点. 由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点,这也就是取 最大值的点. (3)结论 当截掉的小正方形边长 cm时,方盒容积 最大,最大 容积为 x = 4 V 4 (24 2 4) 1024 2 V = − = (cm3 ). 0, d d x V 当 x(4,12) 时
练习要设计一个容积为54元m3的有盖圆柱形贮油桶，问底半径为多少时，用料最省？解 这是容积一定,要求用料最省,即在效益一定的情况下,要求所消耗的资源最少的问题(1)分析问题,建立目标函数贮油桶的容积一定，要求用料最省，这实际上就是以圆柱形贮油桶表面积最小为目标.h而圆柱形的表面积依赖于底半径和侧面高度由于圆柱形贮油桶的体积(容积已知，则侧面高度可用底半径来表示：设圆柱形贮油桶的底半径为r,其侧面高度为h,则由V=π r2h 即 54元=π r2h得h = 54
解 练习 这是容积一定,要求用料最省,即在效益一定的情况下,要求 所消耗的资源最少的问题. h r (1) 分析问题,建立目标函数 贮油桶的容积一定,要求用料最省,这实际 上就是以圆柱形贮油桶表面积最小为目标. 而圆柱形的表面积依赖于底半径和侧面高度. 由于圆柱形贮油桶的体积(容积)已知,则侧面 高度可用底半径来表示: 设圆柱形贮油桶的底半径为 r ,其侧面高度为 h ,则由 V r h 2 = π 即 r h 2 54π = π 要设计一个容积为54 m3的有盖圆柱形贮油桶,问底半 径为多少时,用料最省? π 得 . 54 2 r h =