第八节定积分的应用
第八节 定积分的应用
一、定积分的微元法KxV=回顾10求曲边梯形面积时，采用3分割、近似、求和、取极限四步Oa x x...x-5.x...x-1 b“以直代其中近似是关键的一步：在每个小区间上曲”，得到每个小曲边梯形面积的近似值 f(5)Ax,Z.得到然后再对这个近似值求和f(,)△x,，取极限,i=n定积分【f(x)dx，它就是曲边梯形的面积
1 ) , , , . ( ( ) n i i i b a f x f x dx = 然后再对这个近似值求和 取极限 得到 定积分 它就是曲边梯形的面积 ( ) , i i f x 其中近似是关键的一步：在每个小区间上“以直代 曲” ，得到每个小曲边梯形面积的近似值 1 x 2 x i−1 x i x n−1 x a i b A B x y O y f x = ( ) S , 分割 回顾： 求曲边梯形面积时 采用 、近似、求和、取极 限四步. 一、定积分的微元法
把区间分成小段[x-,x;} (i=1,2,,n)c, f (x)dx计算一段近似值f(,)△x,Zf(5)Ax,求和面积微元i=1f(x)dx转化成定积分
1 , ( 1,2, , ) i i x x i n − = 把区间分成小段 ( )i i 计算一段近似值 f x 面积微元 f x dx ( ) 1 ( ) n i i i f x = 求和 ( ) b a f x dx 转化成定积分
平面图形的面积V1.直角坐标系下的面积By=f(x)S, = J' f(x)dx.StabxVABy=f(x)AS, ='[f(x)- g(x)]dx.S2Qbxy=g(x)
二、平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积 1 ( ) . b a S f x dx = 2 ( ) ( ) . b a S f x g x dx = − b a x A B x y O y f x = ( ) S1 y O x A B b a y g x = ( ) y f x = ( ) S2
平面图形的面积2.一般平面图形的面积S=S,+S, +S3SS,S3XC
2. 一般平面图形的面积 1 2 3 S S S S = + + . x y O S1 S2 S3 二、平面图形的面积
例1 计算由 =x2-1和 =7-x2所围成的图形面积V=x2-1解由得 x, = -2, x, = 2.y=7-x所求面积 A=~[(7-x")-(x2 -1)]dx-,(8-2x*)dx8x-元643
2 2 1 2 1 2, 2. 7 y x x x y x = − = − = = − 解 由 得 2 2 例1 计算由 y x y x = − = − 1 7 . 和 所围成的图形面积 2 2 2 2 A x x dx (7 ) ( 1) − = − − − 所求面积 2 2 2 (8 2 ) x dx − = − 2 3 2 1 8 3 x x − = − 64 . 3 =
y例2计算由x=和x=y+4所围成图形的面积2J2=解由得 J = -2, J2 = 4.2x=y+4所求面积A=』y+4-dxP-(+-号)= 18
2 1 2 2 2, 4. 4 y x y y x y = = − = = + 解 由 得 2 2 4 . 2 y 例 计算由 x x y = = + 和 所围成图形的面积 2 4 2 4 2 y A y dx − = + − 所求面积 4 2 3 2 4 2 6 y y y − = + − = 18
平面图形的面积3.极坐标下的面积21r(0,)10A = limr =r(0)2-0i=1=[r(0)d0.D0Bα一
二、平面图形的面积 3. 极坐标下的面积 2 0 1 2 1 lim ( ) 2 1 ( ) . 2 n i i i A r r d → = = = x o r r = ( )
例3 计算阿基米德螺线r=a0(a>0,0≤θ≤2元）所围成图形的面积-a'e'de解所求面积 A=2元福3
2 2 2 0 1 2 A a d = 解 所求面积 3 ( 0,0 2 ) . 计算阿基米德螺线 r a a = 所围成图形的面积 例 2 2 3 0 6 a = 2 3 4 . 3 a =
三、定积分在几何学中的其他应用1.旋转体的体积2Z元 f(5,)Ax;V. = lim2-0i-11Af(x)dx元xx+dx万V, = 元 J" g'(y)dy
三、定积分在几何学中的其他应用 1. 旋转体的体积 2 0 1 2 lim ( ) ( ) . n x i i i b a V f x f x dx → = = = 2 ( ) . d y c V g y dy =