教学建议学习目标第一章函数与极限函数$1.1$1.2极限的概念$1.3极限的四则运算法则与函数的连续性81.4复利与贴现
§1.1 函数 §1.2 极限的概念 §1.3 极限的四则运算法则 与函数的连续性 §1.4 复利与贴现 教学建议 学习目标 第一章 函数与极限
$ 1.4复利与贴现一．复利公式二．贴现公式
一. 复利公式 二. 贴现公式 §1.4 复利与贴现
复利公式何谓复利计息？所谓复利计息，就是将每期利息于每期之未加入该期本金，并以此作为新本金案例1再计算下期利息.说得通俗些，就是利滚利你持有10000元钱想进行投资，现有两种投资方案(1)一年支付一次红利,年利率是12%;(2)一年分12个月支付红利,月利率是1%.问：哪一种投资方案合算？答案是：第二种投资方案合算.因为在这一年中，投资者不仅可用本金获取利息，而且可用利息赚取利息：具体计算如下：
何谓复利计息？ 所谓复利计息,就是将每期利息于每 期之末加入该期本金,并以此作为新本金 案例 再计算下期利息.说得通俗些,就是利滚利. 1 你持有10000元钱想进行投资, 现有两种投资方案 (1)一年支付一次红利, 年利率是12%; (2)一年分12个月支付红利,月利率是1%. 问: 哪一种投资方案合算? 答案是: 第二种投资方案合算. 因为在这一年中, 投资者不仅 可用本金获取利息, 而且可用利息赚取利息. 具体计算如下: 一 . 复利公式
按离散情况计算若现有本金Ao，以年利率r贷出,若以复利利息的复利公式：计息，t年末将增值到A,试计算A.若以一年为1期计算利息：A = A(1+r)1年末的本利和为案例12年末的本利和为A = A(1+r)2分析t年末的本利和为A = A(1+r).若一年计息n期：t年末的本利和为A = A(1+)ni以为每期的利息
按离散情况计算 利息的复利公式: 若现有本金 , 以年利率 贷出,若以复利 计息, 年末将增值到 ,试计算 ． A0 r At t At 若以一年为1期计算利息: 1年末的本利和为 (1 ), 1 0 A = A + r 2年末的本利和为 (1 ) , 2 2 0 A = A + r . (1 ). 0 t t t 年末的本利和为 A = A + r 若一年计息 n 期: (1 ) . 0 nt t n A A r = + t 年末的本利和为 以 n 为每期的利息 r 案例1 分析
t 年末的本利和为 A = A(1+)nt若一年计息n期：V以连续复利计算若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而利息的复利公式计息次数n80.这种情况称为连续复利.由于lim A(1+ )"t = A. lim[(1+)"r'= Aer",nn→0lim(1+r)"所以，若以连续复利计算利息=eYn→0t 年未的本利和为A = Aert
以连续复利计算 利息的复利公式: 由于 若一年计息 n 期: (1 ) . 0 nt t n A A r t 年末的本利和为 = + 若计息的“期”的时间间隔无限缩短,从而 计息次数 . 这种情况称为连续复 利． n→ e , 0 r t = A 所以，若以连续复利计算利息 t 年末的本利和为 e . 0 r t At = A lim(1+ ) = e → r n n n r r t r n n n t n n A r n A r lim (1 ) lim[(1 ) ] 0 + = 0 + → →
解案例1你持有10000元钱想进行投资，现有两种投资方案(1)一年支付一次红利,年利率是12%,合算？(2)一年分12个月支付红利,月利率是1%.已知 A。=10000,年利率r =12%.求 A(1)若以一年为1期计算利息：A, =10000(1+12%)=1120α元)(2)若一年计息12期,n =12,t = 1,且以1%为每期的利息来计算：At = 10000(1 +1%)12×l ~ 10000 ×1.126825=11268.25 (元)所以，一年分12个月按复利支付红利的投资方案更合算，能多得68.25元
解案例1 你持有10000元钱想进行投资, 现有两种投资方案 (1)一年支付一次红利, 年利率是12%; (2)一年分12个月支付红利,月利率是1%. (1)若以一年为1期计算利息: 已知 A0 =10000, 年利率 r =12% . 求 . A1 10000(1 12% ) 11200 A1 = + = (元). (2)若一年计息12期, , ,且以1%为每期的利息来计 算: n = 12 t = 1 合算? 10000(1 1% ) 10000 1.126825 12 1 1 = + A =11268.25 (元). 所以, 一年分12个月按复利支付红利的投资方案更合算,能 多得68.25元
练习1人民医院2010年5月20日从美国进口一台彩色超声波诊断仪，贷款20万美元，以复利计息，年利率4%，2019年5月20日到期一次还本付息，试确定贷款到期时还款总额(1)若一年计息2期(2)若按连续复利计息解 已知A=20,年利率 r= 4%，t=9.求 A(1)若以一年利息2期：0.04)2x9 ~20×1.428246=28.5649(万美元).Ag=20(12(2)若按连续复利计息：Ag=20e 0.04x9 ～20×1.433329=28.6667(万美元)
练习1人民医院2010年5月20日从美国进口一台彩色超声波诊 断仪, 贷款20万美元, 以复利计息,年利率 ,2019年5月20 日到期一次还本付息，试确定贷款到期时还款总额． 4% 已知 A0 = 20, 年利率 r = 4% , t = 9. 求 . 解 A9 (1)若以一年利息2期: (1)若一年计息2期; (2)若按连续复利计息. (2)若按连续复利计息: 20e 20 1.433329 28.6667 0.0 4 9 = A9 = (万美元). ) 20 1.428246 28.5649 2 0.04 20(1 2 9 + = A9 = (万美元)
二贴现公式复利问题已知现在值A确定未来值A贴现问题已知未来值A求现在值 A按离散情况计算相反的问题的贴现公式：由公式A=A.(1+r)得到以一年为1期的贴现公式A.= A(1+r)-t由公式A=A(1+)"得到以一年均分n期的贴现公式A= A(1+ r)-ntn由公式A=A.ert得到连续贴现公式A= Ae-rt
已知现在值 , 确定未来值 . A0 At 已知未来值 , 求现在值 . At A0 复利问题 贴现问题 相反的问题 得到以一年为1期的贴现公式: 按离散情况计算 的贴现公式: 由公式 t t A A (1 r) = 0 + (1 ) . 0 t t A A r − = + 得到以一年均分 n 期的贴现公式: 由公式 nt t n r A A (1 ) = 0 + (1 ) . 0 nt t n r A A − = + 由公式 r t At A e 得到连续贴现公式 = 0 : e . 0 r t A At − = 二. 贴现公式
案例2设年利率为6%，王现投资多少元.10年之未可得120000元?求现在值贴现率已知未来值(1)按离散情况计息,每年计息4期；(2)按连续复利计算解案例2已知A1o=120000,年利率r=6%,t=10.求Ao(1)每年计息4期:n=4由公式A= A(1+)-mt0.061200004x1066151.48(元)A 。= 120000(1(1 + 0.015) 4x104由公式A=A,e-rt(2)按连续复利计算：120000-0.06x1065857.4(元)A=120000e0.06x10e
案例2 设年利率为6%, 现投资多少元,10年之末可得 120000元? (1) 按离散情况计息,每年计息4期; (2)按连续复利计算． 解案例2 已知 A10 = 120000 , 年利率 r = 6% ,t = 10. 求 . A0 (1) 每年计息4期: n = 4. 已知未来值 贴现率 求现在值 66151.48 (1 0.015) 120000 ) 4 0.06 120000(1 4 10 4 10 0 + = + = − A (元). 由公式 nt t n r A A − = (1+ ) 0 (2)按连续复利计算: 65857.4 e 120000 120000e 0.06 10 0.06 10 0 = = − A (元). 由公式 r t A At − = e 0