教学建议学习目标第七章概率的基本知识及其应用87.1随机事件87.2事件的概率及概率的加法公式87.3概率的乘法公式与事件的独立性87.4随机变量与离散型随机变量87.5连续型随机变量S 7.6β随机变量的数字特征
§ 7.1 随机事件 § 7.2 事件的概率及概率的加法公式 § 7.3 概率的乘法公式与事件的独立性 教学建议 学习目标 第七章 概率的基本知识及其应用 § 7.4 随机变量与离散型随机变量 § 7.5 连续型随机变量 § 7.6 随机变量的数字特征
87.6随机变量的数字特征一.数学期望(均值)二.方差三.常见分布的期望和方差
一. 数学期望(均值) §7.6 随机变量的数字特征 二. 方差 三.常见分布的期望和方差
引言随机变量的分布能完整地描述随机变量的概率性质，但一般情况下随机变量的分布比较难以得到在许多实际问题中，我们往往并不需要知道有关随机变量分布的完整信息，只要知道它的某些特征就够了比如,可用某个学生多次考试的平均分数和与全班平均分数的偏离程度来代表该生的学习成绩常把描述随机变量取值的“平均数”和“偏离程度”等这样的一些量叫做随机变量的数字特征
引言 随机变量的分布能完整地描述随机变量的概率性质,但一 般情况下随机变量的分布比较难以得到. 比如,可用某个学生多次考试的平均分数和与全班平均分 数的偏离程度来代表该生的学习成绩. 在许多实际问题中,我们往往并不需要知道有关随机变 量分布的完整信息,只要知道它的某些特征就够了. 常把描述随机变量取值的“平均数”和“偏离程度”等 这样的一些量叫做随机变量的数字特征
案例1甲、乙两个学生10次数学考试的情况如下表成绩次数708090学生甲253532乙试问哪个学生数学成绩好些？
甲、乙两个学生10次数学考试的情况如下表 案例1 甲 乙 次数 成绩 学生 试问哪个学生数学成绩好些？ 70 80 90 3 5 5 2 2 3
数学期望(均值)一.案例1次数成绩分析907080学生甲523不能单看某一次成绩乙532要比平均成绩！70×2+80×5+90×3甲学生的平均成绩一1082>81=70×0.2+80x0.5+90x0.3=81乙学生成绩好些！乙学生的平均成绩=70×3+80×2+90×510= 70×0.3+80×0.2+ 90×0.5 = 82
70 80 90 甲 2 5 3 乙 3 2 5 次数 成绩 学生 甲学生的平均成绩 案例1 分析 不能单看某一次成绩, 要比平均成绩! 10 70 2 + 805 + 903 = = 70 0.2 + 80 0.5 + 90 0.3 = 81, 乙学生的平均成绩 10 703 + 80 2 + 905 = = 70 0.3 + 8 0 0.2 + 9 0 0.5 = 8 2. 82>81 乙学生成 绩好些! 一 . 数学期望(均值)
案例1分析（续）70×2+80×5+90×3甲学生的平均成绩二10=70x0.2+80×0.5+90×0.3=81这是甲学生的成绩与其相应的概率乘积之和70×3+80×2+90×5乙学生的平均成绩=一10= 70×0.3+80×0.2+90×0.5= 82这是乙学生的成绩与其相应的概率乘积之和
甲学生的平均成绩 乙学生的平均成绩 10 70 2 + 805 + 903 = = 70 0.2 + 80 0.5 + 90 0.3 = 81, 10 703 + 80 2 + 905 = = 70 0.3 + 8 0 0.2 + 9 0 0.5 = 8 2. 这是甲学生的成绩与其 相应的概率乘积之和 这是乙学生的成绩与其 相应的概率乘积之和 案例1 分析(续)
数学期望离散型随机变量X的所有可能取值定义7.8x(k = 1,2,,n)与其相应的概率Pk乘积之和称为随机变量X的数学期望,记作E(X)即,若离散型随机变量X的分布列为XXXiXPnPP2P1则=E(X) = XiPi +X2P, +...+XPk +...+XnPnXkPk二k=1数学期E(X)是一个确定的常量,它是X的所有可能取值与各自的相应概率为权(即占的比重)的加权平均值：
则 . 1 = = n k k k x p k k n n E X = x p + x p ++ x p ++ x p 1 1 2 2 ( ) 即, 若离散型随机变量 X 的分布列为 数学期望 定义7.8 离散型随机变量 X 的所有可能取值 数学期望 E(X ) 是一个确定的常量,它是 X 的所有可能取值与 各自的相应概率为权(即占的比重)的加权平均值. X P 1 x p1 2 x 2 p . . n x pn x (k 1,2, , n) k = 与其相应的概率 乘积之和, k p 称为随机变量 X 的数学期望,记作 E(X)
例如若离散型随机变量X的分布列为2X07P151515则15=13=3E(X)= 0×+1x1515
则 . 5 3 1 5 9 1 5 1 2 1 5 7 1 1 5 7 E(X ) = 0 + + = = 例如 若离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 15 7 15 7 15 1
练习1保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔偿100000元的概率为0.001，赔偿10000元的概率为0.005，赔偿5000元的概率为0.05,赔偿1000元的概率为0.1,若不计其他费用，保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元，试问每年应向每个被保险人收取保险费多少元？解设X表示保险公司对每个被保险人赔偿的钱数（元）：则X的分布列为10000001000050001000P0.0010.0050.050. 10.844X的数学期望为E(X)=100000×0.001+10000×0.005+5000×0.05+1000×0.1+0×0.844=500(元)
练习1 解 设 表示保险公司对每个被保险人赔偿的钱数(元), 则 的分布列为 X X X 的数学期望为 (元) E(X ) = 100000 0.001+10000 0.005 +1000 0.1+ 0 0.844 = 500 + 5000 0.05 100000元的概率为0.001,赔偿10000元的概率为0.005,赔偿 5000元的概率为0.05,赔偿1000元的概率为0.1,若不计其他费 用,保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,试问每年 应向每个被保险人收取保险费多少元? 保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔偿 X 100000 10000 P 5000 1000 0 0.001 0.005 0.05 0. 1 0.844
练习1保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔偿100000元的概率为0.001，赔偿10000元的概率为0.005，赔偿5000元的概率为0.05，赔偿1000元的概率为0.1.若不计其他费用，保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元，试问每年应向每个被保险人收取保险费多少元？(续）保险公司平均对每个被保险人赔偿的钱数E(X)=100000×0.001+10000×0.005+5000×0.05+1000×0.1+0×0.844=500(元)由于保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元，所以每年应向每个被保险人收取保险费为：E(X)+100=600(元)
保险公司平均对每个被保险人赔偿的钱数 (元) E(X ) = 100000 0.001+10000 0.005 +1000 0.1+ 0 0.844 = 500 + 5000 0.05 E(X ) +100 = 600 由于保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,所 以每年应向每个被保险人收取保险费为: (元) 练习1 100000元的概率为0.001,赔偿10000元的概率为0.005,赔偿 5000元的概率为0.05,赔偿1000元的概率为0.1,若不计其他费 用,保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,试问每年 应向每个被保险人收取保险费多少元? 保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔偿 (续)