《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 一元函数积分学 4.2不定积分的换元积分法（2/2）

第一节不定积分的换元积分法

第二节 不定积分的换元积分法

第一类换元法设定理2.2F f(p(t)p(t)dt = F(t)+C,[f(x)dx±=0()则[f(p(t)p'(t)dt福= F(β-'(x))+C

第二类换元法 f t t dt F t C ( ( )) ( ) ( ) ,   = + 定理  2.2 设 1 F x C ( ( )) .  − = + ( ) ( ) ( ( )) ( ) x t f x dx f t t dt    =  则  

dx求例13x+vxdx2tdtx=t解t+tx+vx2= 2ln(t + 1)+ C= 2In(Vx +1)+C

13 . dx x x + 例 求  2 2 2 2 1 2ln( 1) 2ln( 1) . dx tdt x t x x t t dt t t C x C = + + = + = + + = + +    解

例14求[x(1+x)房dr6t5解dxdtx(1+ /x)t3(1+ t)6t-dt6][1-dl1+= 6(t - arctant)+ C= 6(/x -arctan /x)+ C

3 1 . ( 14 1 ) dx x x + 例 求  5 6 3 3 2 2 2 2 6 6 1 6 (1 ) (1 ) 6 1 1 6 1 1 6( arctan ) 6( arctan ) . x t t dx dt x x t t t dt t dt t t t C x x C = + + = +   = −     + = − + = − +     解

1求例15dx.1+e2tx = In(t2 - 1)解dtdxt(t?-1dtdtN++Cnt +11+e* -1+ C.=lnV1+e* +1

1 15 . 1 x dx + e 例 求  2 2 2 1 2 ln( 1) 1 ( 1) 2 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 1 ln . 1 1 x x x x t t dx dt e t t dt t dt t t t C t e C e = − + − = −   = −     − + − = + + + − = + + +     解

例16 求 Va -xdx (a>0)解[Na'-x'dxx =asint[acost·acostdt↑1+cos2ta21dt?2sin2t+Ca2 -x2 +C-xvaarcsin2a

2 2 16 a x dx a −  ( . 0) 例 求  2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos 1 cos 2 2 sin 2 2 4 1 arcsin . 2 2 a x dx x a t a t a tdt t a dt t t a C a x x a x C a − =  + =   = + +     = + − +    解

1求例17dx (a> 0)+xatantrasec?解dtdxasect+=J sectdt= In sect + tant+ C+CVa' +x|+Clr+其中 C, =C-lna

2 2 7 1 1 dx a( 0). a x  + 例 求  2 2 2 2 2 2 1 1 sec tan sec sec ln sec tan ln 1 ln . x a t a t dx dt a x a t tdt t t C x x C a a x a x C = + = = + +   = + + +     = + + +    解 1 其中 C C a = − ln

1例18求dx (a> 0),0atantsect?=asect=L解dxdtatanta-J sectdt= In sect+ tant+ C-1+CIna=In x+ x? -a+C,其中 C, =C-lna

2 2 8 1 1 dx a( 0). x a  − 例 求  2 2 2 2 2 1 1 tan sec sec tan sec ln sec tan ln 1 ln . x a t a t t dx dt x a a t tdt t t C x x C a a x x a C = − = = + +   = + − +     = + − +    解 1 其中 C C a = − ln