第三节几种可降阶的高阶微分方程
第三节 几种可降阶的高阶微分方程
一、y(n) = f(x)型例1 求 y" = sin x-cosx 的通解解 y"=[(sinx-cosx)dx=-cosx- sinx+Cy'=J(-cosx- sin x+C)dx= -sinx+ cosx+C,x+C2y=[(-sinx+ cosx+C,x+C,)dx= cosx+sinx+Cx +C,x+C3
( ) ( ) n 一 、y f x = 型 例1 求 y x x = − sin cos . 的通解 1 (sin cos ) cos sin , y x x dx x x C = − = − − + 解 1 1 2 ( cos sin ) sin cos , y x x C dx x x C x C = − − + = − + + + 1 2 2 1 2 3 ( sin cos ) cos sin . y x x C x C dx x x C x C x C = − + + + = + + + +
二、y"= f(x,y')型例2 求 y"+ y'tanx =sin2x的通解解令u=y'，原方程可化为u+utanx=sin2x,解这个一阶线性微分方程得u = cos x(-2cosx +C),即 y' = cosx(-2cos x+C,),原方程的通解为y= [cosx(-2cosx + C,)dxsin2x +C, sinx + C,=x-一2
二、y f x y = ( , ) 型 例2 求 y y x x + = tan sin 2 . 的通解 解 令 u y u u x x = + = , tan sin 2 , 原方程可化为 1 u x x C = − + cos ( 2cos ), 解这个一阶线性微分方程得 1 1 2 cos ( 2cos ) 1 sin 2 sin . 2 y x x C dx x x C x C = − + = − − + + 原方程的通解为 1 即 y x x C = − + cos ( 2cos )
三、y"= f(y,y')型du做换元u=y'得y"=udy将方程转化为一阶微分方程du=f (y,u)dy
三、y f y y = ( , ) 型 , du u y y u dy 做换元 = = 得 = ( , ). du u f y u dy 将方程转化为一阶微分方程
例3求微分方程y"=2 yy满足 y(0)=1, y(0)=2 的特解du解令u=y',则y"=udydudu原方程化为2y)= 0,2yu.福dyA若u=0 则 y=C(不合题意,舍去);du若-2y=0则 u= y2 +C1dy即 y'= y2 +C
, , du u y y u dy 解 令 = = 则 2 , ( 2 ) 0, du du u yu u y dy dy 原方程化为 = − = 若 u y C , = = 0 ( ); 则 不合题意 舍去 2 (0) 1, (0) 2 3 . y yy y y = = = 例 求微分方程 满足 的特解 2 1 2 0 du y= u y C , dy 若 − = + 则 2 1 即 y y C , = +
例3求微分方程y"=2yy满足 y(0)=1,y'(0)=2 的特解解即y'=y2+Ci,由 y(0)=1, y(0)=2得C =1,故得=y2+1，解得 arctan y=x + C,T由y(0)=1得C,=,元所求特解为arctany = x+4元即y=tan(x +二)
2 (0) 1, (0) 2 3 . y yy y y = = = 例 求微分方程 满足 的特解 2 1 解 即 y y C , = + arctan , 4 y x+ 所求特解为 = 1 由 y y C (0) 1, (0) 2 1, = = = 得 2 2 故得 y y y x C = + = + 1, arctan , 解得 2 (0) 1 , 4 y C 由 = = 得 tan( ). 4 y x 即 = +