第二节洛必达法则
第二节 洛必达法则
000或型极限一08定义若当x→a(或 x→)时,两个函数 f(x)则极限和 g(x)都趋于0 或都趋于无穷大,()80或称为型未定式limX-0g(x)08x-80-sin xI-cosx例limlim1x-→01x-→0Insinax)limx-→0 In sin bx8
x x x x x x x ax bx 2 0 0 0 sin 0 1 cos 0 lim ( ); lim ( ); 0 0 lnsin lim ( ). lnsin → → → − 例 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 , ( ) 0 lim . x ( ) 0 x x a x f x g x f x → g x → → → 若当 或 时 两个函数 和 都趋于 或都趋于无穷大 定 则极限 称为 或 型未定式 义 0 0 一 、 或 型极限
洛必达法则定理设 (1) 当 x→a 时，f(x) 和 g(x) 都趋于 0;(2)在点 a 的某去心邻域内 f(x）和 g（x)都存在且 g(x)≠ 0;f'(x)存在（或为无穷大）(3)g(x)都存在且 g(x)±0;818则 limg(x)x-→a08二注和二上述定理对所有型未定式都成立08
x a x a x a f x g x a f x g x g x f x g x g x f x f x g x g x (1) , ( ) ( ) 0; (2) ( ) ( ) ( ) 0; ( ) (3) . ( ) ( ) 0; ( ) ( ) lim lim . → → ( ) ( ) → = 设 当 时 和 都趋于 在点 的某去心邻域内 和 都存在且 存在（或为无穷大） 都存在且 则 定 理 洛必达法则 0 . 0 注 上述定理对所有 和 型未定式都成立
In(1 + x)例1求极限limx-→01In(1 + x)1+x解 limlim8大2xx-→0x→0
x x x 2 0 ln(1 ) 1 lim . → + 例 求极限 x x x x x x 2 0 0 1 ln(1 ) 1 lim = lim = . → → 2 + + 解
x2 -3x + 2例2求极限lim-1 x -x?-x+1x3 -3x+23x2 -3解limlim-1 x3 -x? -x+1x-1 3x2 -2x -16xlim二6x - 2r-1132
x x x xxx 2 3 2 1 3 2 li . 1 2 m → − + − − + 例 求极限 x x x x x x x x x x x x x 3 2 3 2 2 1 1 1 3 2 3 3 lim = lim 1 3 2 1 6 = lim 6 2 3 = . 2 → → → − + − − − + − − − 解
x-sinx例33求极限Jimtx-01-cosxx-sinx解limlimts3.x?x-→0x-→0sinxlim6xx→06
x x x x 3 0 sin 3 lim . → − 例 求极限 x x x x x x x x x x 3 2 0 0 0 sin 1 cos lim = lim 3 sin lim 6 1 = . 6 → → → − − = 解
二、0.8与8-8型例4求极限 limxexx-0X2lim x’ex =解Jimt→0 2x-→0ot-2x-31lim-2x-3x-0=8
x x x e 2 1 2 0 4 lim . → 例 求极限 x x x x x x e x e x x e x 2 2 2 1 1 2 2 0 0 1 3 3 0 lim = lim 2 lim 2 . − → → − − → − = − = 解 二、0 − 与 型
x例5求极限lim(Inxx-1 x-1xlnx-x(x-1)Y解早lim(limInx(x-1)lnxx-1x-1 x-→1Inx- 2x+ 2lim=x-1x-→1Inx +xlnx-2x2 +2xlimxlnx+x-1x-→1Inx - 4x +3limInx + 2x-→112
x x x 1 x x lim( ). l 5 → 1 n − − 例 求极限 1 1 1 2 1 2 1 ln ( 1) lim( )= lim 1 ln ( 1)ln ln 2 2 lim 1 ln ln 2 2 lim ln 1 ln 4 3 lim ln 2 1 . 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → − − − − − − + = − + − + = + − − + = + = − 解
二、0,1° 与8° 型例6limxl-x5求极限x-→0InxInxlimInri-x= limel-x = ex-01-x解limxl-x = limex-→0x-→0x→0lim=ex-0-x
x x x 1 1 0 6 lim . − → 例 求极限 x x x x x x x x x x x x x x e e e e e 1 1 0 0 1 ln ln lim 1 1 ln 1 0 0 0 1 lim 1 lim lim lim . − → → − − − → → → − − = = = = = 解 0 0 0 , 1 二、 与 型
例7求极限 lim(sin x)*x→0tInsinxlim1X-0+lim xInsinx解lim(sin x)* = ex-0+x=ex-0+-x"cosxlimlimsinx=ex-0-x= ex-o+
x x x 0 7 lim(sin ) . → + 例 求极限 x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e 0 0 2 0 0 ln sin lim 1 lim ln sin 0 cos 1 lim lim sin 1 lim(sin ) . → + → + + → → + → − − − = = = = = 解