第八章多元函数微分学及其应用第一节多元函数的极限与连续
第八章 多元函数微分学及其应用 第一节 多元函数的极限与连续
平面点集与n维空间一1.平面点集二元有序数组（x，y）与平面xOv中的点不加区分平面xOy记为R2邻域：设8>0，称平面点集U(P,0)=(x,)(x-x,) +(y-y)<8为点P(xo,y)的S邻域称点集U(P,8)=(x,y)0</(x-x,) +(y-y0)°<8为点P(xo,y）的去心S邻域
一 、平面点集与n维空间 1. 平面点集 2 ( , ) . x y xOy xOy R 二元有序数组 与平面 中的点不加区分 平面 记为 0 0 0 ( , ) 0, P x y . 邻域： 点 的 设 称平面点集 为 邻域 2 2 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) P x y x x y y = − + − 0 0 0 点 P x y ( , )的 . 称点 去心 集 为 邻域 o 2 2 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 ( ) ( ) P x y x x y y = − + −
2.n维空间n元有序实数组(x,xz,…,x,)全体称为n维空间记为 R" = {(x,x2,..,x,) I x, e R, i = 1,2,...n).设M(x,xX2,…,x,), N(y1,J2,…,yn)是n维空间两点，定义距离[MN = /(x, - y)" +(x - y,)* +..+(x, - y,)设>0，称点集U(P,S)=(Pe R"I PP, <S)为点P的S邻域
2. n维空间 1 2 1 2 ( , , , ) , {( , , , ) | , 1,2, }. n n n i n x x x R x x n = = x x R i n 元有序实数组 全体称为 维空间 记为 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ( , , , ), ( , , , ) , ( ) ( ) ( ) . n n n n M x x x N y y y n MN x y x y x y = − + − + + − 设 是 维空间两 点 定义距离 0 0 0 0, ( , ) { | | } . n P P R PP P = 点 设 称 为 的 点 邻域 集
多元函数的概念1.一元函数例1 1正圆锥体的体积 V=元r"h
1 2 1 . 3 例 正圆锥体的体积 V r h = 二、多元函数的概念 1. 二元函数
定义设D是R中非空子集，女如果对于D任意一点(x,J)，按照对应法则f，都有唯一的实数z和它对应，则称f为定义在D上的二元函数记作z = f(x,y), (x,y)e D.其中D称为f的定义域，，与(x,v)对应的实数，全体函数z称为函数f在(x,y)处的函数值,值的集合f(D) = (f(x,y)I(x,y)eD)称为f的值域
2 , ( , ), , , ( , ), ( , ) . D R D x y f z f D z f x y x y D = 设 是 中非空子集 如果对于 任意一点 按照对应法则 都有唯一的实数 和 它对应 则称 为定 定义 义在 上的二元 . 记 函数 作 , ( , ) ( , ) , ( ) { ( , ) | ( , ) } D f x y z f x y f D f x y x y D f = 定义域 函数值 其中 称为 的 与 对应的实数 称为函数 在 处的 全体函数 值的集合 称为 的值域
例2 求函数 z=arcsin(x2+2)的定义域解 所求定义域为 (x,y)Ix2+y°≤1)
2 2 例2 求函数 z x y = + arcsin( ) . 的定义域 2 2 解 所求定义域为 {( , ) | 1}. x y x y +
2.n元函数定义设D是R"的点集，如果对于D中任意一点按照对应法则f，都有唯P(xi,x2,..,x,), 一的实数u和对应，则称f为定义在D上的n元函数.记作u= f(x,x2,...,x,), (xi,x2,...,x.)eD.D称为f的定义域，数集(u|u= f(xi,x,,.,x,),(xi,x,...,x,)e D)称为f的值域
2. n元函数 1 2 1 2 1 2 , ( , , , ), , , ( , , , ), ( , , , ) . n n n n D R D P x x x f u f D u f x x x x x n = x D 设 是 的点集 如果对于 中任意一点 按照对应法则 都有唯 一的实数 和对应 则称 为定义 定义 元函数 在 上 的 . 记作 1 2 1 2 , { | ( , , , ), ( , , , ) } n n D f u u f x x x x x x D f = 称为 的定义域 数集 称为 的值域
三、多元函数的极限定义设多元函数f(P)定义在点集D上，PED若>0,>0,当IPP时,恒有If(P)-a<,则称a为P→P时 f(P)的极限一元函数的极限也称一重极限
0 0 0 ( ) , , 0, 0, | | , | ( ) | , ( ) f P D P D PP f P a a P P f P − → 设多元函数 定义在点集 上 若 当 时 恒有 则称 时 定 为 义 的极限. 三、多元函数的极限 二元函数的极限也称二重极限
例2设函数f(x,y)= sin /x2 + y2证明limf(x,y) = 0.(x,y)-→(0,0)证明 >0, 要使 If(x,)-0,只需 /x2 +y2<8,取=8,则当/(x-0)2+(-0)2<时If(x,y) -0<8,lim f(x,y) = 0.(x,y)-→(0,0)
2 2 ( , ) (0,0) ( , ) sin , lim ( , ) 2 0. x y f x y x y f x y → = + = 设函数 证明 例 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 0, | ( , ) 0 | , , = , ( 0) ( 0) , | ( , ) 0 | , lim ( , ) 0. x y f x y x y x y f x y f x y → − + − + − − = 要使 只需 取 证 则当 时 明
四、多元函数的连续定义设多元函数f(P)定义在点集D上，PED若 lim f(P)= f(P),P-→Po则称 f(P)在P,连续．f(P)在P,不连续时称f(P）在P间断
四、多元函数的连续 0 0 0 0 0 0 ( ) , , lim ( ) ( ( ) , ( ( ) ) ) P P f P f P D P D f P f P f P f P P P P → = 定义 在 连 设多元函数 定义在点集 上 若 则称 . 在 不连续 称 在 续 时 间断