
第3章向量空间与线性方程组解的结构03向量空间与线性方程组解的结构《线性代数》
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 1 向量空间与线性方程组解的结构 《线性代数》 03

目录/Contents?E3.1向量组及其线性组合3.2向量组的线性相关性3.3向量组的秩与矩阵的秩3.4线性方程组解的结构3.5向量空间
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 2 目录/Contents 3.1 3.2 3.3 3.4 向量组的线性相关性 向量组的秩与矩阵的秩 线性方程组解的结构 3.5 向量空间 向量组及其线性组合

目录/Contents?兰3.1向量组及其线性组合一、向量的概念及运算二、向量组及其线性组合三、向量组的等价
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 3 目录/Contents 3.1 向量组及其线性组合 一、向量的概念及运算 二、向量组及其线性组合 三、向量组的等价

一、向量的概念及运算第3章向量空间与线性方程组解的结构1.n维向量的概念定义1由n个数aa",a,组成的有序数组称为n维向量若n维向量写成的形式,称为n维列向量;若n维向量写成a,az,",a的形式,称为n维行向量这n个数称为该向量的n个分量,其中α,称为第i个分量我们常用α,β,...来表示n维列向量,而用α,βT,..来表示n维行向量
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 4 由 n 个数 1 2 , , , n a a a 组成的有序数组称为 n 维向量. 若 n 维向量写成 1 2 n a a a 的形式,称为 n 维列向量; 若 n 维向量写成 1 2 , , , n a a a 的形式,称为 n 维行向量. 这 n 个数称为该向量的 n 个分量,其中 i a 称为第i 个分量. 我们常用 , , ,.来表示 n 维列向量,而用 T T T , , ,.来表示n 维行向量. 1. n 维向量的概念 一、向量的概念及运算 定义1

一、向量的概念及运算第3章向量空间与线性方程组解的结构S当a,a,a是复数时,n维向量称为n维复向量当a,a2a,是实数时,n维向量称为n维实向量.今后我们所讨论的向量都是实向量0分量都是零的向量称为零向量,记为0,即0-或0=(0,0,..,0)0向量称为向量的负向量,记为一α,-a
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 5 分量都是零的向量称为零向量,记为0 , 即 0 0 0 0 = 或0 = (0,0, ,0). 向量 1 2 n a a a − − − 称为向量 1 2 n a a a = 的负向量,记为− . 当 1 2 , , , n a a a 是复数时, n 维向量称为 n 维复向量, 当 1 2 , , , n a a a 是实数时, n 维向量称为 n 维实向量. 今后我们所讨论的向量都是实向量. 一、向量的概念及运算

、向量的概念及运算第3章向量空间与线性方程组解的结构62.向量的运算9b,a8a设keR则有b.a.这两种运算称为(ka)(a,+b)向量的线性运算ka,a,+b(2)ka=(1) α+β=:kaa,+bu(b)aba,b,a,b,+ab,a,ba,b,a,b(3)αβ=(a,a,",a.)=ab,+a,b,+..+a.b.;ap!(b,b,"*,b.)***+(b.(abab..aba)0
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 6 2. 向量的运算 设 1 1 2 2 , n n a b a b a b = = ,k R ,则有 (1) 1 1 2 2 n n a b a b a b + + + = + ; (2) 1 2 n ka ka k ka = ; 这两种运算称为 向量的线性运算 (3) ( ) 1 T 2 1 2 1 1 2 2 , , , n n n n b b a a a a b a b a b b = = + + + ; ( ) 1 1 1 1 2 1 T 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 , , , n n n n n n n n a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b = = . 一、向量的概念及运算

一、向量的概念及运算第3章向量空间与线性方程组解的结构例1设有线性方程组a+ax+.+anx,=bax+a2x+..+anx=bamx,+amx,+.+ammx,=ba(i=12,."",n将第1个未知量x的系数写成一个m维列向量α,=a常数写成一个m维列向量β=则该方程组也可用向量的形式来表达:xa+xa,+...+xa,=β
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7 设有线性方程组 将第i 个未知量 i x 的系数写成一个m维列向量 常数写成一个 m 维列向量 1 2 m b b b = , 则该方程组也可用向量的形式来表达: 1 1 2 2 . n n x x x + + + = 一、向量的概念及运算 ( ) 1 2 1,2, , i i i mi a a i n a = = , 例1 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + =

二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构8定义2由若干个维数相同的向量构成的集合,称为向量组例如,例1中未知量的系数构成的m维列向量Oon(i=12.:.n)的全体构成一个向量组α, =...ami
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 8 例如,例 1 中未知量的系数构成的m 维列向量 二、向量组及其线性组合 ( ) 1 2 1,2, , i i i mi a a i n a = = 的全体构成一个向量组. 定义 2 由若干个维数相同的向量构成的集合,称为向量组

二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构Oauai2dy.a21a22an例2设矩阵A对矩阵A分块如下::目+**(amlam2.amnRRa12airau..dnlam2an=(,a2,",.)=A=BTamlaam2au)on)(j=1,2,.,n), T =(an,a2,-am)(i=1,2,.,m)其中α=:aml
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 9 设矩阵 对矩阵 A 分块如下: ( ) T 11 12 1 1 T 21 22 2 2 1 2 T 1 2 , , , n n n m m mn m a a a a a a a a a = = = A , 其中 ( ) 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a = = , ( )( ) T 1 2 , , , 1,2, , i i i in = = a a a i m . 二、向量组及其线性组合 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a = A 例 , 2

二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构10则m维向量组α.α.α称为矩阵A的列向量组n维向量组p.BB称为矩阵A的行向量组反之,给定一个m维向量组αα,α则得到一个以αα,α为列的mxn矩阵A=(ααα.)给定一个n维向量组.则得到一个以T.,β为行的mXxn矩阵A因此,一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一对应关系一
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 10 反之,给定一个m 维向量组 1 2 , , , n, 则得到一个以 1 2 , , , n 为列的m n 矩阵A= ( 1 2 , , , n ) ; 给定一个 n 维向量组 T T T 1 2 , , , m, 则得到一个以 T T T 1 2 , , , m 为行的m n 矩阵 T 1 T 2 T m = A . 因此,一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一一对应关系. 则 m 维向量组 1 2 , , , n 称为矩阵 A 的列向量组, n 维向量组 T T T 1 2 , , , m 称为矩阵 A 的行向量组. 二、向量组及其线性组合