第二讲83.3柯西积分公式83.4解析函数的高阶导数
第二讲 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数
83.3柯西积分公式(Cauchyintegral formula）
§3.3 柯西积分公式 （Cauchy integral formula）
分析设D-单连通,f(z)在D内解析zoE D,C是D内围绕z的一条闭曲线,则一般f(z)在2.不解析)dz ± 0Jc z- Zoz-Zo由复合闭路定理得任意包含在内部的DC曲线C CC的内部ZOf(z)f(z)Cdz=dz.JC1JO7. Z01 7. - Zo
0 ( ) . ( ) , , , ( ) , 0 0 0 0 0 一般 在 不解析 是 内围绕 的一条闭曲线 则 设 单连通 在 内解析 − − − C dz z z f z z z z f z z D C D z D f z D − = − 1 0 0 ( ) ( ) C C dz z z f z dz z z f z 曲 线 的内部 任意包含 在内部的 由复合闭路定理得 C Cz 1 0 , 分析 D C z 0 C 1
特别取Ci ={zl z-zo|=8(8 >0可充分小)：f(z)的连续性在C上的函数值f(z)当→0时,f(z)→f(zo)D.猜想积分Z.08→0f(z)f(z)dz=$dz →CiJc z-ZoC1 Z. - Zo1→ f(0) fe -dz = 2πif(zo)这个猜想是对的这就是下面的定理
2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 1 dz i f z z z f z dz z z f z dz z z f z C C C = − → → − = − → { ( 0 )} C 1 = z z − z 0 = 可充分小 0 , ( ) ( ) ( ) , ( ) 0 f z f z f z C f z 当 → 时 → 的连续性 在 上的函数值 这个猜想是对的,这就是下面的定理. D C z0C1 ∴猜想积分 特别取
柯西积分公式定理3.7设f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内是D内任一点，则解析，在D=DUC上连续，z有7dzf(zo)2元其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为柯西积分公式
其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为 柯西积分公式. . 定理3.7 设f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内 解析， 是D内任一点，则 有 0 在D = DC上连续，z 柯西积分公式 − = C dz z z f z i f z 0 0 ( ) 2 1 ( )
f(z)lodz = 2元i f(zo)z-Zo第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函该奇点在被积函数解析数在C内有一个奇点zo.式的分母。2元i,n = 1.1dz0,n±1.Z-Z0=此经典例题是柯西积分公式的特例，z)-1
( ) ( ) 0 0 dz 2 i f z z z f z C = − 第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函 数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析 式的分母。 = = − − = 0, 1. 2 , 1, d ( ) 1 0 0 n i n z z z z z r n 此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1
说明：1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质推论1（平均值公式）设f(z)在/z-zR 内解析在C:lz-zl=R上连续，则f(z0)= 2" f(zo + Re'0)de
说明: 1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一 点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一， 可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。 推论1（平均值公式）设 f z( ) 在 | | z z R − 0 内解析， 在C :| z − z0 |= R上连续，则 2 1 ( ) f z0 = + 2 0 0 f (z Re )d i
证明因为C:z= Zo+Rei 则f(z)dzf(zo)2元iZ- Zof(zo + Reie2元RieideReieJo2元i12元f(zo +Rei)de2元J0说明：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值. + = 2 0 0 Re ( Re ) 2 1 Rie d f z i i i i = + 2 0 0 ( Re ) 2 1 f z d i − = = + C i dz z z f z i f z C z z 0 0 0 ( ) 2 1 ( ) : R e 证明 因 为 则
推论2设f(z)在由简单闭曲线C、C, 围成的二连通区域D内解析，并在曲线C、C,上连续，C,在C的内部,z为D内一点，则f(z)f(z)dz.dz.f(z)2πi Jci z-Zo2πi Jc2 z - Zo例1求下列积分的值sin z7(2)§,l-2 (9 - 2)(z +i)1dz:dz.=27
推论2 设 f (z) 在由简单闭曲线 C1、C2 围成的二连通 区域 D内解析， 并在曲线 C1 、C2 上连续，C2 在C1 的内部， z0 为D内一点，则 − = 1 0 0 ( ) 2 1 ( ) C dz z z f z i f z − − 2 0 ( ) 2 1 C dz z z f z i 例1 求下列积分的值 ( ) =2 =2 − + 2 . (9 )( ) ; 2 sin (1) z z dz z z i z dz z z
sinz解:(1)fdz = 2πi sinz lz=o= 0z=2ZZ元9-(2)=2 (9-2)(=+1)dz2元7-5J=2 z-(-i)2求:dzz+1z-3[=/=4解22dzdz3z+1Z+Zz=4Z1z=4z=4f(z)=1及22元i.1+2元i.2=6元=
2 sin | 0 sin (1) 0 2 = = = = z z dz i z z z 解 ： = =− = = − = − − − = − + 2 2 2 2 2 5 | 9 2 ( ) 9 (9 )( ) (2) z z i z z z dz i z i z z dz z z i z = − + + 4 3 2 1 1 z dz z z 求： （ ） 解 i i i dz z z dz dz z z f z z z z 2 1 2 2 6 3 2 1 ) 3 2 1 1 ( ( ) 1 2 4 4 4 = + = − + + = − + + = = = = 及