第2章方阵的行列式02方阵的行列式《线性代数》
第2章 方阵的行列式 1 方阵的行列式 《线性代数》 02
目录/Contents?E山2.1行列式的定义2.2行列式的性质2.3行列式按行（列）展开2.4矩阵求逆公式与克莱默法则
第2章 方阵的行列式 2 目录/Contents 2.1 2.2 2.3 2.4 行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 矩阵求逆公式与克莱默法则
目录/Contents?兰.山2.1行列式的定义一、 排列二、n阶行列式三、几类特殊的n阶行列式的值
第2章 方阵的行列式 3 目录/Contents 2.1 行列式的定义 一、排列 二、n 阶行列式 三、几类特殊的 n 阶行列式的值
一、排列第2章方阵的行列式41.排列及其逆序数定义1从1,2,…，n中任意选取r个不同的数排成一列，称为排列定义2将1,2,n这n个不同的数排成一列，称为n阶全排列，也简称为全排列例如，设有1,2,3,4,5五个元素，则31是五个元素的一个排列，312是五个元素的一个排列，也可以看成是1,23三个元素的一个全排列；4215是五个元素的一个排列，而42153是五个元素的一个全排列n阶全排列的总数为n!=n·（n-1)3·2·1.全排列12.n称为n个数的标准排列特点：元素是按从小到大的自然顺序排列的
第2章 方阵的行列式 4 1. 排列及其逆序数 从1, 2, , n中任意选取 r 个不同的数排成一列，称为排列. 将1, 2, , n这 n 个不同的数排成一列，称为 n 阶全排列，也简称为全排列. 例如， 设有1, 2,3, 4,5五个元素， 则31是五个元素的一个排列， 312是五个元素的一个排列，也可以看成是1, 2,3三个元素的一个全排列； 4215是五个元素的一个排列， 而42153是五个元素的一个全排列. n 阶全排列的总数为n n n ! 1 3 2 1 = − ( ) . 一、排列 定义1 定义2 全排列12 n 称为 n 个数的标准排列. 特点：元素是按从小到大的自然顺序排列的
一、排列第2章方阵的行列式5定义3在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列的逆序数记为（）.例如，全排列0从而42153的逆序数为（42153)=5t(42153)=0+1+2+0+2=5
第 2 章 方阵的行列式 5 在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的 数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列 1 2 n i i i 的逆序数记为 (i i i 1 2 n ). 例如，全排列 4 2 1 5 3 从而42153的逆序数为 (42153 5 ) = . 4 2 1 5 3 0 1 2 0 2 (42153 0 1 2 0 2 5 ) = + + + + = . 一、排列 定义 3
一、排列第2章方阵的行列式62. 奇排列与偶排列定义4逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列例如，(213)=1，所以213是一个奇排列：而(312)=2，所以312是一个偶排列。定义5只交换排列中某两个数的位置，其它的数保持不动而得到一个新排列的变换，称为一个对换若交换的是相邻位置的两个元素，则称该对换为相邻对换例如，经过2、1对换，排列42153就变成了排列41253，这个对换是相邻对换；经过2、5对换，排列42153就变成了排列45123，这个对换不是相对换
第2章 方阵的行列式 6 2. 奇排列与偶排列 逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列. 例如， (213) 1 = ，所以213是一个奇排列； 而 (312) 2 = ，所以312是一个偶排列。 只交换排列中某两个数的位置，其它的数保持不动而得到一个新排列的变换，称为一个对换. 若交换的是相邻位置的两个元素，则称该对换为相邻对换. 例如，经过2、1对换，排列42153就变成了排列41253，这个对换是相邻对换； 经过2、5对换， 排列42153就变成了排列45123， 这个对换不是相邻对换. 一、排列 定义4 定义5
>>>一、排列第2章方阵的行列式定理1对换改变排列的奇偶性*证明(1-1)先证相邻对换的情况.排列..iab...j.(1-2)经过a.b相邻对换变成排列i.ba..j.j..显然，a,b与其它数构成的逆序在排列(1-1)和排列(1-2)中是一样的，不同的只是a,b的次序当ab时，ab原来是逆序，对换后ba是标准序，于是排列(1-2)的逆序数是排列(1-1)的逆序数减少1.所以无论增加还是减少1，相邻对换都改变了排列的奇偶性
第 2 章 方阵的行列式 7 对换改变排列的奇偶性. *证明 先证相邻对换的情况. 排列 1 1 k s i i ab j j (1-1) 经过a b, 相邻对换变成排列 1 1 k s i i ba j j . (1-2) 显然， a b, 与其它数构成的逆序在排列(1-1)和排列(1-2)中是一样的，不同的只是a b, 的次序. 当a b 时， ab原来是标准序，对换后ba 构成一个逆序， 于是排列(1-2)的逆序数是排列(1-1)的逆序数增加1； 当a b 时，ab原来是逆序，对换后ba 是标准序， 于是排列(1-2)的逆序数是排列(1-1)的逆序数减少1. 所以无论增加还是减少1，相邻对换都改变了排列的奇偶性. 一、排列 定理 1
>一、排列8第2章方阵的行列式对于不相邻的对换，不妨假设原排列为aii,b，经过a,b对换后变为排列.biia这个改变过程实际上就是通过先将a依次与其后面相邻的元素作s+1次相邻对换变为ii,ba，再通过将b依次与前面相邻的元素作S次相邻对换变而得到共进行了2s+1次相邻对换，所以改变了排列的奇偶性定理2在1阶排列中，偶排列和奇排列各占一半，即各有个*证明记P（S.、T.）为所有n阶（奇、偶）排列构成的集合，则P=S,UT.并且s.nT=の于是P/=S.+l。任意取定一个对换:P,→P，显然映射。是单射并且(S.)=T、(T.)cS于是有S,,]、5,]，所以,2P/-
第2章 方阵的行列式 8 对于不相邻的对换，不妨假设原排列为 1 s ai i b ， 经过a b, 对换后变为排列 1 s bi i a ， 这个改变过程实际上就是通过先将a 依次与其后面相邻的元素作s +1次相邻对换变为 1 s i i ba ， 再通过将b 依次与前面相邻的元素作 s 次相邻对换变而得到. 一共进行了2 1 s + 次相邻对换，所以改变了排列的奇偶性. 在n阶排列中，偶排列和奇排列各占一半，即各有 ! 2 n 个. *证明 记P n （ n S 、T n ）为所有n阶（奇、偶）排列构成的集合， 则P S T n n n = 并且S T n n = ， 于是 P S T n n n = + 。任意取定一个对换 : P P n n → ， 显然映射 是单射并且 (S T n n ) 、 (T S n n ) ， 于是有 S T n n 、 T S n n ， 所以 1 1 ! 2 2 S T P n n n n = = = 。 一、排列 定理 2
>>>二、n阶行列式9第2章方阵的行列式1.n阶行列式的定义aua12..ainan+++aalaan由n个元素a,(i,j=1,2"n)排成n行n列的正方形的数表：：:：anlan2aanZ (-1)(APP)ap a2pam.由这个数表所决定的数APaP.称为由n个元素a(i,j=1,2..n)构成的n阶行列式a2aamaa21记为D, =即:..:ala.aanaa行标anana2nD.Z(-1)(PPrP)apapam.:."..列标AP2aaa,2a对所有的n阶全排列pPp求和
第2章 方阵的行列式 9 1. n 阶行列式的定义 由 2 n 个元素 ( , 1,2, , ) ij a i j n = 排成 n 行 n 列的正方形的数表： 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a ， 由这个数表所决定的数 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n p p p p p np p p p a a a − 称为由 2 n 个元素 ( , 1,2, , ) ij a i j n = 构成的 n 阶行列式， 记为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 即： 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n n n p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = − . 对所有的n阶全排 列 1 2 n p p p 求和 行标 列标 二、n 阶行列式
二、n阶行列式10第2章方阵的行列式(aa2Aia...a2a22aA=记矩阵主:.(ana...则行列式通常也称为方阵A的行列式，记为A有时为了表明行列式是由元素a,构成的，也简记为A=det(a)、a或an阶行列式具有三个特点：01是对所有的n阶全排列pP.p,求和，所以展开式中共有n!项；OPTIONPiP2""-P.02每一项aeamam是取自不同行不同列的n个元素的乘积；OPTION每一项anaam的行标排成一个标准排列列标排列pP2P的奇偶性决定了乘03积ana2pam前的符号.OPTION
第2章 方阵的行列式 10 则行列式通常也称为方阵 A 的行列式，记为 A . 有时为了表明行列式是由元素 ij a 构成的，也简记为 A = det(aij)、 ij n n a 或 ij n a . 记矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a = A ， n 阶行列式具有三个特点： 1 2 n p p p 是对所有的 n 阶全排列 p p p 1 2 n 求和，所以展开式中共有n!项； 每一项 1 2 p p np 1 2 n a a a 是取自不同行不同列的 n 个元素的乘积； 每一项 1 2 p p np 1 2 n a a a 的行标排成一个标准排列，列标排列 1 2 n p p p 的奇偶性决定了乘 积 1 2 p p np 1 2 n a a a 前的符号. 二、n 阶行列式 01 OPTION 02 OPTION 03 OPTION