S6.2共形映射的基本问题H第六童$ 6.2 共形映射的基本问题一、问题一Ya&Song共形映射问题二(基本问题)二、[XaSongXaSongXuSongy
1 第 六 章 共 形 映 射 §6.2 共形映射的基本问题 §6.2 共形映射的基本问题 一、问题一 二、问题二(基本问题)
S6.2共形映射的基本问题H问题一I、第六章对于给定的区域D和定义在区域D上G=f(D)的函数W=f(z)，求象集合共形映射1.保域性定理定理设函数w=f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，P140则其象集合G=f(D)仍然为区域定理6.2证明(略)意义保域性定理将解析函数的象集合的求解问题变成了求象区域的问题2
2 第 六 章 共 形 映 射 §6.2 共形映射的基本问题 一、问题一 的函数 w = f (z), 求象集合 对于给定的区域D和定义在区域D上 G = f (D). 1. 保域性定理 定理 设函数 w = f (z) 在区域D内解析，且不恒为常数， 则其象集合 G = f (D) 仍然为区域。 证明 (略) 意义 保域性定理将解析函数的象集合的求解问题变成了 求象区域的问题。 P140 定理 6.2
S6.2共形映射的基本问题H一、问题一第六章2.边界对应原理定理设区域D的边界为简单闭曲线C，函数w=f(z)在闭域共形映射P140D=D+C上解析，且将曲线C双方单值地映射为简单定理6.3闭曲线「。当z沿C的正向绕行时，相应的w的绕行方向定为「的正向，并令G是以「为边界的区域，则W=f(z)将D共形映射为G。证明(略)W3W2W23
3 第 六 章 共 形 映 射 §6.2 共形映射的基本问题 G C D 一、问题一 2. 边界对应原理 定理 设区域D的边界为简单闭曲线C，函数 w = f (z) 在闭域 D = D + C 上解析，且将曲线C 双方单值地映射为简单 闭曲线 Γ . 当 z 沿 C 的正向绕行时，相应的 w 的绕行 方向定为 Γ 的正向， 并令 G 是以 Γ 为边界的区域，则 w = f (z) 将 D 共形映射为G。 Γ Γ G 1 z 2z 3 z w1 w2 w3 w1 w2 w3 证明 (略) P140 定理 6.3
S6.2共形映射的基本问题H一、问题一第六章2.边界对应原理定理设区域D的边界为简单闭曲线C，函数w=f(z)在闭域共形映射D=D+C上解析，且将曲线C双方单值地映射为简单闭曲线「．当z沿C的正向绕行时，相应的w的绕行方向定为「的正向，并令G是以「为边界的区域，则W=f(z)将D共形映射为G。意义边界对应原理进一步将解析函数的象区域的求解问题变成了求象曲线的问题
4 第 六 章 共 形 映 射 §6.2 共形映射的基本问题 意义 边界对应原理进一步将解析函数的象区域的求解问题 变成了求象曲线的问题。 一、问题一 2. 边界对应原理 定理 设区域D的边界为简单闭曲线C，函数 w = f (z) 在闭域 D = D + C 上解析，且将曲线C 双方单值地映射为简单 闭曲线 Γ . 当 z 沿 C 的正向绕行时，相应的 w 的绕行 方向定为 Γ 的正向， 并令 G 是以 Γ 为边界的区域，则 w = f (z) 将 D 共形映射为G
S6.2共形映射的基本问题H1一、问题一第六章补3.求象区域的一般方法设函数w=f(z)在闭域 D=D+C上解析，且为一一映射共形映射(l)令z=x+iy,w=u+iv,则有x=(u, v),[u=u(x, y),(B)(A)3二y=y(u, v).(v=v(x, y);(2)求边界曲线C的象曲线「。(x =x(t),[u=u(x(t), y(t)由(A)式●若C的方程为(y= y(t),(v= v(x(t), y(t)),u=u(t),(参数式）即得象曲线厂的方程v=r(t).5
5 第 六 章 共 形 映 射 §6.2 共形映射的基本问题 一、问题一 3. 求象区域的一般方法 则有 设函数 w = f (z) 在闭域 D = D + C 上解析，且为一一映射。 u = u(x(t), y(t)), v = v (x(t), y(t)), (1) 令 z = x + i y , w = u + iv , u = u(x , y), v = v (x , y); (A) x = (u, v), y = (u, v). (B) (2) 求边界曲线 C 的象曲线 Γ . ( ), ~ u = u t ( ). ~ v = v t 即得象曲线 Γ 的方程 (参数式) x = x (t), y = y (t), 若C的方程为 (参数式) 由(A)式 补
S6.2共形映射的基本问题HT一、问题一第六章3.求象区域的一般方法设函数w=f(z)在闭域 D=D+C上解析，且为一一映射共形映射(l)令z=x+iy,w=u+iv，则有x=p(u, v),[u=u(x, y),(B)(A)3二y=y(u, v).(v=v(x, y);(2)求边界曲线C的象曲线「.●若C的方程为F(x，J)=0，(方程式)由(B)式F(p(u,v), y(u,v))= 0,即得象曲线┌的方程F(u,v)=0.(方程式)6
6 第 六 章 共 形 映 射 §6.2 共形映射的基本问题 由(B)式 F( (u,v),(u,v)) = 0, 即得象曲线 Γ 的方程 ( , ) 0. (方程式) ~ F u v = 若C的方程为 F (x , y) = 0, (方程式) 一、问题一 3. 求象区域的一般方法 则有 设函数 w = f (z) 在闭域 D = D + C 上解析，且为一一映射。 (1) 令 z = x + i y , w = u + iv , u = u(x , y), v = v (x , y); (A) x = (u, v), y = (u, v). (B) (2) 求边界曲线 C 的象曲线 Γ
S6.2共形映射的基本问题HT一、问题一第六章3.求象区域的一般方法设函数w=f(z)在闭域 D=D+C上解析，且为一一映射共形映射(l)令z=x+iy,w=u+iv,则有x=(u, v);[u=u(x, y),(B)(A)3Ly=y(u, v)lv=v(x, y);(2)求边界曲线C 的象曲线「.(3)求象区域方法一沿边界C的正向找三点，考察象点的走向。方法二在区域D的内部找一点，考察象点的位置。注意对于具体的函数，将还会有一些特殊的方法。王7
7 第 六 章 共 形 映 射 §6.2 共形映射的基本问题 (3) 求象区域. 方法一 沿边界C的正向找三点，考察象点的走向。 方法二 在区域D的内部找一点，考察象点的位置。 注意 对于具体的函数，将还会有一些特殊的方法。 一、问题一 3. 求象区域的一般方法 则有 设函数 w = f (z) 在闭域 D = D + C 上解析，且为一一映射。 (1) 令 z = x + i y , w = u + iv , u = u(x , y), v = v (x , y); (A) x = (u, v), y = (u, v). (B) (2) 求边界曲线 C 的象曲线 Γ
S6.2共形映射的基本问题H11第六章例已知函数w:区域D如图所示，求象区域G。z+iy=x1i解 (1)由w=有z=(z)z+iw共形映射D令z=x+iy,w=u+iv1则有 x+iyV=u+ivuV221u?+y?u+yu? +v?+y+ux=Vu?+v.2u? +y?8
8 第六章共形映射 §6.2 共形映射的基本问题 (1) 由 , 有 1 z i w + 解 = , 1 i w z = − 则有 i u i v x i y − + + = 1 , 2 2 2 2 i i u v v u v u − + − + = 令 z = x + i y , w = u + i v , . 2 2 2 2 u v u v v y + + + , = − 2 2 u v u x + = (z) D C y = x
S6.2共形映射的基本问题HU1第六章例已知函数W：区域D如图所示，求象区域Gz+iu?+y?+yV=Xu解(1) x =u? +μ2'u?+y?(z)共形映射(2)求边界曲线C的象曲线T。曲线C的方程为x-y=0由(1)式u? +v? +u+v= 0,(w)即得象曲线下的方程为(v+→)=(9
9 第六章共形映射 §6.2 共形映射的基本问题 解 (1) . 2 2 2 2 u v u v v y + + + , = − 2 2 u v u x + = ( z ) D C y = x (2) 求边界曲线 C 的象曲线 Γ . 由(1) 式 即得象曲线 Γ 的方程为 曲线C 的方程为 x − y = 0 , 0, 2 2 u + v + u + v = . 22 21 21 2 2 2 (u + ) + (v + ) = ( ) (w) Γ−1
S6.2共形映射的基本问题H1第六童例已知函数W：区域D如图所示，求象区域G。z+iu?+y?+yy=xu解(1) x =u? +μ2'u?+y?(z)共形映射D(2)求边界曲线C的象曲线「.(3)求象区域方法一 在D的内部取一点zo=i,(w)1代入函数w=z+i得到象点wo2故象区域G在曲线『的“内部”10
10 第 六 章 共 形 映 射 §6.2 共形映射的基本问题 G 解 (1) . 2 2 2 2 u v u v v y + + + = − (z) C , 2 2 u v u x + = (2) 求边界曲线 C 的象曲线 Γ . (w) 0z Γ (3) 求象区域. 代入函数 , 1 z i w + = 方法一 在 D 的内部取一点 , 0 z = i , 2 1 0 得到象点 w = − i 故象区域 G 在曲线 Γ 的“内部”。 w0 D y = x −1