试卷二参考答案一、判断题（正确的打“/”，错误的打“×”，每题2分，共20分）1、（×）；2、（V）3、（×）;4、（V）;5、（V）;6、（×）;7、（V）;8、（V）;9、（V）;10、（×）.二、填空题（每空2分，共20分）51、单：2、复平面上处处；3、v(x,y) ; 4、8元；0z-i二8.7、W=9、limit；10、Plot6、1;1alz+i(a三、求解下列各题（每题6分，共30分）sin ? z在|=|=2内，函数f(=)有两个奇点1、解令f(=)=-2(2-i)2分z=0为可去奇点，Res[f(2),0]=0，z=i为一阶极点，Res[f(),i]=lim(=-i)f(z)sinz-sn?i,-4分22原式=2元i(Res[f(=),0]+Res[f(=),i)=-2元isini--6分2、解-3分61- 2+1z+1-62-56[()-5分+....(z+1)"=+1<6-6分6n+I3、解由于z=3是f(2)的二阶极点，-2分1d所以有 Res[f(-),3] =2-5分2.(≥ -3)2d=lim(e=)=e-6分
试卷二 参考答案 一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每题 2 分，共 20 分） 1、（×）; 2、（√）3、（×）;4、（√）;5、（√）; 6、（×）;7、（√）;8、（√）;9、（√）;10、（×）. 二、填空题（每空 2 分，共 20 分） 1、 单 ；2、 复平面上处处 ；3、 v(x, y) ；4、8i ； 5、 e 1 ； 6、 1 ； 7、 z i z i w + − = ； 8、 a F a 1 ； 9、 limit ；10、 Plot . 三、求解下列各题（每题 6 分，共 30 分） 1、 解 令 ( ) sin ( ) 2 2 z z i z f z − = ，在 | z | = 2 内，函数 f (z) 有两个奇点． z = 0 为可去奇点，Res[ f (z), 0] = 0，-2 分 z = i 为一阶极点，Res[ ( ), ] lim ( ) ( ) 1 f z i z i f z z = − → i z z z i 2 2 2 sin sin = = − = ，-4 分 原式 i f z f z i i i 2 = 2 (Res[ ( ), 0]+ Res[ ( ), ]) = −2 sin -6 分 2、 解 分 分 1 6 6 6 ( 1) 6 1 6 1 6 1 1 6 1 3 6 1 1 1 6 1 1 6 1 5 1 0 1 2 + − − − − − + = − + + + + + + + = − + − − − − − + − = − + − = − = + z z z z z z z z n n n n -5 分 3、解 由于 z = 3 是 f (z) 的二阶极点， -2 分 所以有 ( ) ( ) ( ) − − − = → 2 2 0 ( 3) lim 3 2 1! 1 Res[ ,3] z e z dz d f z z z -5 分 ( ) 3 3 lim e e z z = = → -6 分
z +i令2=22，则W=-2分4、解z1-1W888888(2)88(z)21+iw=2=2221-i8888888.....(4 分)(6 分)即像区域为单位圆的外部(如图)注：本题也可由21=22，22=-1三步完成Wz1+iZ25、解：对方程两边取拉式变换，并利用线性性质和微分性质有3s--3分s*Y(s) - Sy(O) - y(O) +3sY(s)- 3y(O) +Y(s) =(Y(s) = L((0), -s? +1代入初值即得1-5分Y(s) =5? +1'根据sint的拉式变换结果，有-6分y(t) = L-'[Y(s)] = sin t.四、证明下列各题（3分+5分，共8分）Im zy= lim-1分1、证lim f(-)= lim3ox+ymozk-2分令y=kx(k为任意实数），则上述极限为1+ki-3分随k变化而变化，因而极限不存在.a'uOu = 3x* +12xy-6y2,2、证：（1）=6x+12y;ax?axa"uu = 6x -6xy-6y2,-6x-12yay?ayu,ou因此，在z平面有=0故u(x,J)是调和函数-1分ax?Tay?(2）利用C一R条件，先求出v(x,J)的两个偏导数OvOuy_ Qu = 3x2 +12xy-6y2+--6x2 -6xy-6y2, -2分ax"ayayax
4、 解 令 2 1 z = z ，则 z i z i w − + = 1 1 ，-2 分 (4 分) (6 分) 即像区域为单位圆的外部(如图). 注：本题也可由 2 1 z = z ， z i z i z + − = 1 1 2 ， 2 1 z w = 三步完成. 5、 解：对方程两边取拉式变换，并利用线性性质和微分性质有 , ( ( ) ( ( )), 1 3 ( ) (0) (0) 3 ( ) 3 (0) ( ) 2 2 Y s L y t s s s Y s sy y sY s y Y s = + − − + − + = -3 分 代入初值即得 1 1 ( ) 2 + = s Y s , -5 分 根据 sin t 的拉式变换结果，有 ( ) [ ( )] sin . 1 y t = L Y s = t − -6 分 四、证明下列各题（3 分+5 分，共 8 分） 1、 证 ( ) lim , Im lim lim 0 0 0 0 x iy y z z f z y z z x + = = → → → → -1 分 令 y = kx,(k为任意实数）, 则上述极限为 ki k 1+ ,-2 分 随 k 变化而变化,因而极限不存在. -3 分 2、证：（1） x y x u x x y y x u 3 12 6 , 6 12 2 2 2 2 = + = + − ； x y y u x x y y y u 6 6 6 , 6 12 2 2 2 2 = − − = − − 因此, 在 z 平面有 0 2 2 2 2 = + y u x u 故 u(x, y) 是调和函数.-1 分 （2）利用 C—R 条件，先求出 v(x, y) 的两个偏导数. 2 2 2 2 6 6 6 , 3x 12x y 6y x u y v x x y y y u x v = + − = = − − − = − -2 分 (z) (z1) (w) 1 2 1 z = z z i z i w − + = 1 1
则v(x, y)= J(e0) (2y-2x)dx+(2x +2y)dy+C(x,)= Jo0)-(6x2 -6xy-6y )x+(3x2 +12xy-3y )= J(-6x )x+ f"(3x* +12xy- 3y*)b= -2x +3xy+6xy?- y +Cf()=u(x,y)+i(x,y)= x3 +6x y-3xy2 -2y3+i(-2x3 + 3xy+6xy2 - y3 +C)----4 分f(-)=(1- 2i)-3 +iC.由条件f(0)=0,得C=0,于是f(=)=(1-2i)-3---5分五、求下列函数的积分变换（每题5分，共10分）1、解F(o)=F[r()]= [ f(t)e-jotdt -----1 分= ()-(+o) dt ---2 分1β-jo-3分β+jo-β+0?1振幅谱为|F()4分B2+025分相位谱为argF(の)=-arctan一(eja -e-ja)[eja2、解由于sin at=2分2j-jα有 2[r()] =[sin αa =一 [ (eia - (e-ia )]---4 分a-5分52+α2j(s-jαs+jα)六、实验题（每题3分，共12分）1、解 syms z;f=exp(2*z) / ((z 2)*(sin(z)));-----2 分diff(f)------3分2、解syms z
则 v x y y x dx x y dy C x y = − + + + ( , ) (2 2 ) (2 2 ) ( , ) (0, 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y x y y C x dx x x y y dy v x y x x y y dx x x y y dy x y x y = − + + − + = − + + − = − − − + + − 3 2 2 3 0 2 2 0 2 2 2 , 0,0 2 2 2 3 6 6 3 12 3 , 6 6 6 3 12 3 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) = 3 2 2 3 x + 6x y − 3xy − 2y + ( 2 3 6 ) 3 2 2 3 i − x + x y + xy − y +C -4 分 f (z) = ( − i)z + iC 3 1 2 . 由条件 ( ) ( ) ( ) 3 f 0 = 0,得C = 0,于是f z = 1− 2i z -5 分 五、求下列函数的积分变换（每题 5 分，共 10 分） 1、解 F() = ℱ f (t) f (t)e dt − j t + − = -1 分 ( ) ( ) f t e dt − + j t + = 0 -2 分 2 2 1 + − = + = j j -3 分 振幅谱为 ( ) 2 2 1 + F = -4 分 相位谱为 ( ) = − arg F arctan -5 分 2、解 由于 ( ), 2 1 sin j t j t e e j t − = − ℒ s j e j t − = 1 -2 分 有 ℒ f (t) = ℒ j t 2 1 sin = [ℒ ( ) j t e - ℒ ( ) j t e − ]-4 分 = 2 2 1 1 2 1 + = + − j s − j s j s -5 分 六、实验题（每题 3 分，共 12 分） 1、 解 syms z； f=exp(2*z)/((z^2)*(sin(z)));-2 分 diff(f)-3 分 2、 解 syms z
xl=int(cosh(3*z)，z,pi/6*i,0）x2=int((z-1)*exp(-z),z, 0, i)解 syms tw------1分3、f=2*(cos(5*t))~2; ------2分F=fourier(f)------3分4、解syms t s;syms omega; ------1分f=sin(omega*t);-------2 分L=laplace(f)-------3分
x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0) x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i) 3、 解 syms t w -1 分 f=2*(cos(5*t))^2; -2 分 F=fourier(f) -3 分 4、解 syms t s; syms omega; -1 分 f=sin(omega*t);-2 分 L=laplace(f)-3 分