89.2拉普拉斯变换的性质线性与相似性质微分性质二三、积分性质四、延迟与位移性质五、周期函数的像函数六、卷积与卷积定理
§9.2拉普拉斯变换的性质 一、线性与相似性质 二、微分性质 三、积分性质 四、延迟与位移性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理
XaSongas9.2Laplace变换的性质在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的Laplace变换均假定存在，它们的增长指数均假定为c。且F(s)= L[f(t)l, G(s)= L[g(t)]XuS积分、极限及求和等·对于涉及到的一些运算（如求导的次序交换问题，均不另作说明。XuSongh
对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。 所涉及到的函数的Laplace F(s) = G(s) = [ g(t)]. 在下面给出的基本性质中， 且 [ f (t)], 变换均假定存在，它们的增长指数均假定为c。 §9.2 Laplace变换的性质
XeSonga线性性质与相似性质P216线性性质P216性质设a，b为常数，则有L[a f(t)+ b g(t))= a F(s)+ bG(s);L-1[a F(s)+ bG(s)] = a f(t)+ b g(t).证明(略)XeSou
证明 (略) 性质 一、线性性质与相似性质 1. 线性性质 P216 P216
例9.4 求 f(t)=sinkt（k为实数）的拉氏变换L[sin kt] = sin kt e-s"' d tLKa_e-jkt)e-stdte2k1s? +k?2(s-jks+jks同理可得 [coskl=了+k
例9.4 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换 ( ) 0 j j 0 ( j ) ( j ) 0 0 2 2 [sin ] sin e d 1 (e e )e d 2 j j e d e d 2 j 1 1 2 j j st kt kt st s k t s k t kt kt t t t t k s k s k s k + − + − − + + − − − + = = − − = − − = − = − + + L 同理可得 2 2 [cos ] s kt s k = + L
5s -1例9.5已知F(s)求 L'[F(s)](s +1)(s - 2)35s -1'[F(s)] = L's-2CS+02= 2LlS+-
1 1 1 1 1 2 5 1 2 3 [ ( )]. [ ] [ ] ( 1)( 2) 1 2) 1 1 2 [ ] 3 [ ] 2 3 1 2 t t s F s s s s s e e s s − − − − − − − = = + + − + − = + = + + − L L L L L 例9.5已知 5 1 ( ) , ( 1)( 2) s F s s s − = + − 1 [ ( )]. F s − 求 L
XeSonga线性性质与相似性质P2172相似性质（尺度性质）设a为任一正实数，则[f(at)]=二F性质L[f(at)]= (f(at)e-stdt证明XaSong今x=at+8f(x)e a dx1XaSoa0
+ − 0 ( ) d 1 f x e x a x a s 令 x = at . 1 = a s F a + − = 0 [ f (at)] f (at)e d t st 证明 性质 一、线性性质与相似性质 2. 相似性质(尺度性质) P217
XeSongka微分性质P2171导数的象函数P217性质LLf'(t)= sF(s)- f(O)L[ f'(t)]= (+° f'(t)e-stdt =e-std f(t)证明0aSo= f(t)e-s$t+ +sf+ f(t)e-s$tdt,由 If(t)|≤ Mect, 有 If(t)e-st }≤ Me-(Res-c)t因此当Res=β>c时，有 lim f(t)e-st =0,t→+8即得 L[f'(t)I = sF(s)- f(O)
二、微分性质 性质 [ f (t)] = sF(s) − f (0). ( ) ( ) d , 0 0 e e + − + − = f t + s f t t st st 证明 + − = 0 [ f (t)] f (t)e d t st + − = 0 e d f (t) st 由 | ( )| e , ct f t M lim ( )e = 0, − →+ st t 因此当 Re s = c 时，有 f t | ( ) | , ( Re ) e e st s c t f t M − − − 有 即得 [ f (t)] = sF(s) − f (0). ▲ 1. 导数的象函数 P217 P217
XaSongla微分性质1导数的象函数性质Ll f'(t)I= sF(s)- f(O);一般地，有L[f(n)(t)I = s" F(s)- sn-I f(0) - sn-2 f'(0)-...- f(n-1)(0)其中，f(k)(0) 应理解为 lim f(k)(t).t>0+Laplace变换的这一性质非常重要，可用来求解微分S9.4将专门介绍方程（组）的初值问题
二、微分性质 [ f (t)] = sF(s) − f (0); 1. 导数的象函数 性质 其中， (0) 应理解为 (k ) f lim ( ). ( ) 0 f t k t→ + [ ( )] ( ) f t n ( ) (0) (0) (0). −1 −2 ( −1) = − − − − n n n n s F s s f s f f 一般地，有 ▲ Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。 （§9.4 将专门介绍 ）
特别地，当 f(0)= f'(O)== f(n-I)(0)=0 时LLf(n)(t)l = s"F(s)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程
特别地，当 ( 1) (0) (0) (0) 0 n f f f − = = = = 时， ( ) L[ ( )] ( ) n n f t s F s = 此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程
例 求 f(t)=cosot 的Laplace变换参见例9.4，与这里方法不同解因为f(O) = 1, f'(0) = 0, f"(t) = -o°cosot根据微分性质和线性性质L[- cos ot] = s’ L[cosot]- sf(0) - f'(0),-o' L[cos ot] = s'L[cos ot] - S,S所以L[cos t] =?+0?0使用同样方法，可得L[sinのt]=+0Y
2 2 L L [ cos ] [cos ] (0) (0), − = − − t s t sf f 例 求 f t t ( ) cos = 的Laplace变换. 解 因为 2 f f f t (0) 1, (0) 0, ( ) cos t, = = = − 2 2 − = − L L [cos ] [cos ] , t s t s 所以 2 2 L[cos ] . s t s = + 参见例9.4, 与这里方法不同 根据微分性质和线性性质 使用同样方法，可得 2 2 L[sin ] . t s = +