《工程数学（线性代数）》课程教学资源（PPT课件）第1章 线性方程组与矩阵

第1章线性方程组与矩阵01线性方程组与矩阵《线性代数》

第1章 线性方程组与矩阵 1 线性方程组与矩阵 《线性代数》 01

目录/Contents?E山1.1矩阵的概念及运算1.2分块矩阵1.3线性方程组与矩阵的初等变换1.4初等矩阵与矩阵的逆矩阵

第1章 线性方程组与矩阵 2 目录/Contents 1.1 1.2 1.3 1.4 矩阵的概念及运算 分块矩阵 线性方程组与矩阵的初等变换 初等矩阵与矩阵的逆矩阵

目录/Contents?1.1矩阵的概念及运算一、矩阵的定义二、矩阵的线性运算三、矩阵的乘法四、矩阵的转置

第1章 线性方程组与矩阵 3 目录/Contents 1.1 矩阵的概念及运算 一、矩阵的定义 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、矩阵的转置

一、矩阵的定义第1章线性方程组与矩阵4由m个方程n个未知量xi,x"x构成的线性（即：一次）方程组可以表示为：am+a2x+...+a,x,=b,a2xj+a22x2+..+a2nx,=b2amx,+am2x+.+amx,=bm该线性方程组由常数a(i=12...m.j=1.2.n)和b(i=1,2.,m)完全确定可以用一个m×(n+1)个数排成的m行n+1列的数表baaiainai2.·b,a22a2na21A=：.*::bmam2amamn

第1章 线性方程组与矩阵 4 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b     =   A 该线性方程组由常数a i m j n ij ( = = 1,2, , ; 1,2, , )和b i m i ( =1,2, , )完全确定， 可以用一个m n  + ( 1)个数排成的 m 行n+1列的数表 一、矩阵的定义 由m 个方程 n 个未知量 1 2 , , , n x x x 构成的线性（即：一次）方程组可以表示为：

一、矩阵的定义第1章线性方程组与矩阵5定义1mxn个数a（i=1,2m,j=1,2,…,n）排成的m行n列的数表ania12ana21a22a2n.:...am2amnaml称为一个mxn矩阵，简记为（a），也记为（a）数a,位于矩阵（a）的第i行第j列，称为矩阵的（i,）元素其中i称为元素a的行标j称为元素a的列标一般地，常用英文大写字母A,B,或字母α.β.y.表示矩阵

第 1 章 线性方程组与矩阵 5 11 12 1 21 22 2 1 2 nn m m mn a a a a a a a a a       数 ij a 位于矩阵(aij)的第i 行第 j 列，称为矩阵的(i j , )元素， 其中i 称为元素 ij a 的行标， j 称为元素 ij a 的列标. m n 个数a i m j n ij ( = = 1,2, , ; 1,2, , ) 排成的m行 n 列的数表 称为一个m n 矩阵，简记为 (aij)， 也记为 ( ij)m n a  . 一般地，常用英文大写字母 A B, , 或字母   , , , 表示矩阵. 一、矩阵的定义 定义 1

一、矩阵的定义第1章线性方程组与矩阵6元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵本书除特别指明外，都是指实矩阵011x1的矩阵A=（a）就记为A=aOPTION021xn的矩阵（a,a2,a）称为行矩阵，也称为n维行向量OPTIONnx1的矩阵称为列矩阵，也称为n维列向量03a

第1章 线性方程组与矩阵 6 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 本书除特别指明外，都是指实矩阵. 称为复矩阵. 1 1 的矩阵 A= (a)就记为 A= a . 1n的矩阵 n1的矩阵 称为行矩阵，也称为 n 维行向量. 称为列矩阵，也称为 n 维列向量. (a a a 1 2 , , , n ) 1 2 n a a a             一、矩阵的定义 01 OPTION 02 OPTION 03 OPTION

一、矩阵的定义第1章线性方程组与矩阵所有元素都是零的mxn矩阵称为零矩阵，记为0m，或简记为0(aa12ain.a21a22...a2nmxn矩阵称为n阶方阵:ant..aman2元素α(i=1,2,,n)所在的位置称为n阶方阵的主对角线个n阶方阵主对角线上方的元素全为零，即00an0ana21:::.ana,2an称该n阶方阵为下三角矩阵其元素特点是：当i<j时，a,=0

第1章 线性方程组与矩阵 7 所有元素都是零的 m n 矩阵称为零矩阵，记为Om n ，或简记为O . 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a             称为 n 阶方阵. 元素a i n ii ( =1,2, , )所在的位置称为 n 阶方阵的主对角线. 一个 n 阶方阵主对角线上方的元素全为零，即 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a a a a             ， 称该 n 阶方阵为下三角矩阵，其 元素特点是：当i j  时， 0 ij a = . 一、矩阵的定义 m n 矩阵

一、矩阵的定义第1章线性方程组与矩阵8类似地，有上三角矩阵aitaina12.0a22azn.....:...00..aan其元素特点是：当i>j时，α,=0n阶方阵00a00a,00a称为n阶对角矩阵，简称对角阵，记为diag（a,asa）

第1章 线性方程组与矩阵 8 类似地，有上三角矩阵 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a             ， 其元素特点是：当i j  时， 0 ij a = . n 阶方阵 1 2 0 0 0 0 0 0 n a a a             称为 n 阶对角矩阵，简称对角阵，记为diag a a a ( 1 2 , , , n ). 一、矩阵的定义

一、矩阵的定义9第1章线性方程组与矩阵如果n阶对角矩阵diag(a,az",a.）对角线上的元素全相等，即a=a，=·=a，则称其为数量矩阵当a=a,==a,=1时，这个数量矩阵就称为n阶单位矩阵，简称为单位阵记为E或E即0定义2两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵如果两个同型矩阵A=(a,）mxn和B=(b）mxn中所有对应位置的元素都相等，即α，=bu，其中i=1,2,mj=1,2；，则称矩阵A和B相等，记为A=B

第1章 线性方程组与矩阵 9 如 果 n 阶 对 角 矩 阵 diag a a a ( 1 2 , , , n ) 对 角 线 上 的 元 素 全 相 等 ， 即 a a a 1 2 = = = n ，则称其为数量矩阵. 当 1 2 1 n a a a = = = = 时，这个数量矩阵就称为 n 阶单位矩阵，简称为单位阵， 记为En或 E即， 1 0 0 0 1 0 0 0 1       =       E . 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵. 如果两个同型矩阵 ( ) A = aij m n 和 ( ) B = bij m n 中所有对应位置的元素都相等， 即 a b ij ij = ，其中 i m j n = = 1, 2, , ; 1, 2, ,， 则称矩阵A和 B 相等，记为 A B= . 一、矩阵的定义 定义2

二、矩阵的线性运算10第1章线性方程组与矩阵1.矩阵的加法定义3设A=(α，）mn和B=(b，）mm是两个同型矩阵，则矩阵A与B的和记为A+B，规定：(a+ba2+bi2.an+binazi+b21 a22 +b22 . a2n+barA+B=:：：(am+bmlam2+bm2a..amm+bmm矩阵的加法满足如下的运算规律：设A,B,c是任意三个mxn矩阵，则交换律：A+B=B+A；结合律：（A+B)+C=A+(B+C）；3A+O=Om+A=Ad

第1章 线性方程组与矩阵 10 1. 矩阵的加法 设 ( )ij m n a A =  和 ( )ij m n b B =  是两个同型矩阵，则矩阵 A 与B 的和记为 A B+ ，规定： 矩阵的加法满足如下的运算规律： 设 A B C , , 是任意三个m n 矩阵，则 交换律： A B B A + = + ； 二、矩阵的线性运算 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + +   + + +   + =       + + + A B . 结合律：( ) ( ) A B C A B C + + = + + ； A O O A A + = + = m n m n   . 1 2 3 定义3